حقل عشوائي

الموسوعة الحرة

في الفيزياء والرياضيات ، الحقل العشوائي هو دالة عشوائية على نطاق عشوائي (عادةً ما يكون فضاءً متعدد الأبعاد مثلRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}أي أنها دالةو(x){\displaystyle f(x)}تأخذ قيمة عشوائية عند كل نقطةx∈Rن{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}(أو أي مجال آخر). ويُنظر إليه أحيانًا على أنه مرادف لعملية عشوائية مع بعض القيود على مجموعة مؤشراتها. أي، وفقًا للتعريفات الحديثة، فإن الحقل العشوائي هو تعميم لعملية عشوائية حيث لم يعد من الضروري أن تكون المعلمة الأساسية "زمنًا" حقيقيًا أو صحيحًا ، بل يمكن أن تأخذ قيمًا عبارة عن متجهات متعددة الأبعاد أو نقاط على مشعب ما . [ 1 ]

التعريف الرسمي

بالنظر إلى فضاء احتمالي(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}الحقل العشوائي ذو القيم X هو مجموعة من المتغيرات العشوائية ذات القيم X المفهرسة بعناصر في فضاء طوبولوجي T. أي أن الحقل العشوائي F هو مجموعة

{Fت:ت∈تي}{\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}

حيث كلFت{\displaystyle F_{t}}هو متغير عشوائي ذو قيمة X.

أمثلة

في صيغته المنفصلة، ​​الحقل العشوائي هو قائمة من الأرقام العشوائية التي تُحدد مؤشراتها بمجموعة منفصلة من النقاط في فضاء ما (على سبيل المثال، الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n ). لنفترض وجود أربعة متغيرات عشوائية،X1{\displaystyle X_{1}}،X2{\displaystyle X_{2}}،X3{\displaystyle X_{3}}، وX4{\displaystyle X_{4}}تقع هذه المتغيرات العشوائية في شبكة ثنائية الأبعاد عند النقاط (0,0)، (0,2)، (2,2)، و(2,0) على التوالي. لنفترض أن كل متغير عشوائي يمكن أن يأخذ القيمة -1 أو 1، وأن احتمال قيمة كل متغير عشوائي يعتمد على جيرانه المباشرين. هذا مثال بسيط على حقل عشوائي منفصل.

وبشكل أعم، القيم لكلXأنا{\displaystyle X_{i}}يمكن تعريف الحقل العشوائي على نطاق متصل. في الشبكات الأكبر، قد يكون من المفيد أيضًا اعتبار الحقل العشوائي متغيرًا عشوائيًا "ذو قيم دالة" كما هو موضح أعلاه. في نظرية الحقل الكمومي، يُعمم هذا المفهوم ليشمل دالة عشوائية ، تأخذ قيمًا عشوائية على فضاء من الدوال .

توجد أنواع عديدة من الحقول العشوائية، من بينها حقل ماركوف العشوائي (MRF)، وحقل جيبس ​​العشوائي ، والحقل العشوائي الشرطي (CRF)، والحقل العشوائي الغاوسي . في عام 1974، اقترح جوليان بيساج طريقة تقريبية تعتمد على العلاقة بين حقول ماركوف العشوائية وحقول جيبس ​​العشوائية.

خصائص المثال

تُظهر حقول ماركوف العشوائية خاصية ماركوف

P(Xأنا=xأنا|Xج=xج،أنا≠ج)=P(Xأنا=xأنا|Xج=xج،ج∈∂أنا)،{\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,}

لكل اختيار من القيم(xج)ج{\displaystyle (x_{j})_{j}}هنا كل∂أنا{\displaystyle \partial _{i}}هي مجموعة جيران أنا{\displaystyle i}بمعنى آخر، يعتمد احتمال أن يأخذ متغير عشوائي قيمةً ما على المتغيرات العشوائية المجاورة له مباشرةً. ويُعطى احتمال متغير عشوائي في حقل ماركوف العشوائي بالصيغة التالية:

P(Xأنا=xأنا|∂أنا)=P(Xأنا=xأنا،∂أنا)∑كP(Xأنا=ك،∂أنا)،{\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},}

حيث يكون المجموع (الذي يمكن أن يكون تكاملاً) على القيم الممكنة لـ k . ومن الصعب أحيانًا حساب هذه الكمية بدقة.

التطبيقات

عند استخدامها في العلوم الطبيعية ، غالبًا ما تكون القيم في حقل عشوائي مرتبطة مكانيًا. على سبيل المثال، لا تختلف القيم المتجاورة (أي القيم ذات المؤشرات المتجاورة) بنفس القدر الذي تختلف به القيم المتباعدة. هذا مثال على بنية التغاير ، والتي يمكن نمذجة أنواع عديدة منها في حقل عشوائي. أحد الأمثلة على ذلك هو نموذج إيزينغ، حيث تُدرج أحيانًا تفاعلات الجوار الأقرب فقط كتبسيط لفهم النموذج بشكل أفضل.

يُستخدم الحقل العشوائي بشكل شائع في توليد الرسومات الحاسوبية، وخاصة تلك التي تحاكي الأسطح الطبيعية مثل الماء والأرض . كما استُخدم الحقل العشوائي في نماذج باطن الأرض كما في [ 2 ] .

في علم الأعصاب ، ولا سيما في دراسات التصوير الوظيفي للدماغ المرتبطة بالمهام باستخدام التصوير المقطعي بالإصدار البوزيتروني (PET) أو التصوير بالرنين المغناطيسي الوظيفي (fMRI) ، يُعد التحليل الإحصائي للحقول العشوائية أحد البدائل الشائعة لتصحيح المقارنات المتعددة للعثور على المناطق ذات التنشيط ذي الدلالة الإحصائية الحقيقية . [ 3 ] وبشكل أعم، يمكن استخدام الحقول العشوائية لتصحيح تأثير البحث في أماكن أخرى في الاختبارات الإحصائية، حيث يكون المجال هو فضاء المعلمات الذي يتم البحث فيه. [ 4 ]

كما أنها تستخدم في تطبيقات التعلم الآلي .

الحقول العشوائية ذات القيم الموترية

تُعدّ الحقول العشوائية ذات فائدة كبيرة في دراسة العمليات الطبيعية باستخدام طريقة مونت كارلو ، حيث تتوافق هذه الحقول مع خصائص متغيرة مكانيًا بشكل طبيعي. وينتج عن ذلك حقول عشوائية ذات قيم موترية، حيث يلعب عنصر الحجم الإحصائي ( SVE ) دورًا محوريًا، وهو عبارة عن صندوق مكاني يمكن حساب متوسط ​​خصائصه. وعندما يصبح عنصر الحجم الإحصائي كبيرًا بما يكفي، تصبح خصائصه حتمية، ويُستعاد عنصر الحجم التمثيلي (RVE) لفيزياء الوسط المتصل الحتمية. أما النوع الثاني من الحقول العشوائية الذي يظهر في نظريات الوسط المتصل، فهو حقول الكميات التابعة (درجة الحرارة، الإزاحة، السرعة، التشوه، الدوران، قوى الجسم والسطح، الإجهاد، إلخ). [ 5 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فانمارك، إريك (2010). الحقول العشوائية: التحليل والتركيب . شركة وورلد ساينتيفيك للنشر. ISBN 978-9812563538.
  2. ↑ كارديناس، آي سي (2023). "نهج ثنائي الأبعاد لتحديد عدم اليقين الطبقي من بيانات الآبار باستخدام حقول عشوائية غير متجانسة" . جيولوجيا هندسية . doi : 10.1016/j.enggeo.2023.107001 .
  3. ↑ وورسلي، كيه جيه؛ إيفانز، إيه سي؛ ماريت، إس؛ نيلين، بي. (نوفمبر 1992). "تحليل إحصائي ثلاثي الأبعاد لدراسات تنشيط تدفق الدم الدماغي في الدماغ البشري" . مجلة تدفق الدم الدماغي والأيض . 12 (6): 900-918 . doi : 10.1038/jcbfm.1992.127 . ISSN 0271-678X . PMID 1400644 .  
  4. ↑ فيتيلز، عوفر؛ غروس، إيلام (2011). "تقدير أهمية الإشارة في بحث متعدد الأبعاد". فيزياء الجسيمات الفلكية . 35 : 230-234 . arXiv : 1105.4355 . doi : 10.1016/j.astropartphys.2011.08.005 .
  5. ↑ ماليارينكو، أناتولي؛ أوستوجا-ستارزيفسكي، مارتن (2019). الحقول العشوائية ذات القيم الموترية لفيزياء الأوساط المتصلة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9781108429856.

للمزيد من القراءة