كريغينغ

تتنبأ طريقة كريغينغ بقيمة دالة عند نقطة معينة بحساب المتوسط ​​المرجح للقيم المعروفة للدالة في جوار تلك النقطة. ترتبط هذه الطريقة ارتباطًا وثيقًا بتحليل الانحدار . تستنتج كلتا النظريتين أفضل مُقدِّر خطي غير متحيز بناءً على افتراضات حول التغايرات ، وتستخدمان نظرية غاوس-ماركوف لإثبات استقلال التقدير عن الخطأ، وتستخدمان صيغًا متشابهة جدًا. ومع ذلك، فإنهما مفيدتان في أطر مختلفة: تُستخدم طريقة كريغينغ لتقدير تحقق واحد لحقل عشوائي، بينما تعتمد نماذج الانحدار على مشاهدات متعددة لمجموعة بيانات متعددة المتغيرات.

يمكن أيضًا اعتبار تقدير كريغينغ بمثابة دالة تكعيبية في فضاء هيلبرت ذي نواة مُولِّدة ، حيث تُعطى النواة المُولِّدة بواسطة دالة التغاير. ^{[ 2 ]} ويكمن الاختلاف مع منهج كريغينغ الكلاسيكي في التفسير: فبينما تستند الدالة التكعيبية إلى استيفاء ذي معيار أدنى قائم على بنية فضاء هيلبرت، فإن كريغينغ يستند إلى خطأ التنبؤ التربيعي المتوقع القائم على نموذج عشوائي.

إن طريقة كريجينج باستخدام أسطح الاتجاه متعددة الحدود متطابقة رياضياً مع طريقة المربعات الصغرى المعممة لتركيب منحنى متعدد الحدود .

يمكن فهم طريقة كريغينغ أيضاً على أنها شكل من أشكال التحسين البايزي . ^{[ 3 ]} تبدأ طريقة كريغينغ بتوزيع مسبق على الدوال . ويأخذ هذا التوزيع المسبق شكل عملية غاوسية:${\displaystyle N}$تتوزع عينات دالة ما توزيعًا طبيعيًا ، حيث يمثل التباين المشترك بين أي عينتين دالة التباين المشترك (أو النواة ) للعملية الغاوسية عند الموقع المكاني لنقطتين. ثم تُلاحظ مجموعة من القيم، ترتبط كل قيمة منها بموقع مكاني. ويمكن الآن التنبؤ بقيمة جديدة عند أي موقع مكاني جديد بدمج التوزيع الغاوسي المسبق مع دالة الاحتمال الغاوسية لكل قيمة من القيم المرصودة. ويكون التوزيع اللاحق الناتج غاوسيًا أيضًا، بمتوسط ​​وتباين مشترك يمكن حسابهما بسهولة من القيم المرصودة وتباينها ومصفوفة النواة المشتقة من التوزيع المسبق.

في النماذج الجيوإحصائية، تُفسَّر البيانات المأخوذة على أنها نتاج عملية عشوائية. ولا يعني تضمين هذه النماذج للشك في مفاهيمها أن الظاهرة - كالغابة أو الخزان الجوفي أو الرواسب المعدنية - ناتجة عن عملية عشوائية، بل يسمح ببناء أساس منهجي للاستدلال المكاني على الكميات في المواقع غير المرصودة، ولتحديد مقدار الشك المرتبط بالمُقدِّر.

في سياق هذا النموذج، تُعدّ العملية العشوائية ببساطة طريقةً للتعامل مع مجموعة البيانات المُجمّعة من العينات. وتتمثل الخطوة الأولى في التعديل الجيوإحصائي في إنشاء عملية عشوائية تُجسّد مجموعة البيانات المرصودة على أفضل وجه.

قيمة من الموقع${\displaystyle x_{1}}$يُفسَّر (التسمية العامة لمجموعة من الإحداثيات الجغرافية ) على أنه تحقق${\displaystyle z(x_{1})}$المتغير العشوائي${\displaystyle Z(x_{1})}$في الفضاء${\displaystyle A}$حيث تكون مجموعة العينات متفرقة، هناك${\displaystyle N}$تحققات المتغيرات العشوائية${\displaystyle Z(x_{1}),Z(x_{2}),\ldots ,Z(x_{N})}$، مترابطة فيما بينها.

تشكل مجموعة المتغيرات العشوائية دالة عشوائية، لا يُعرف منها سوى تحقق واحد – المجموعة${\displaystyle z(x_{i})}$من البيانات المرصودة. مع وجود قيمة واحدة فقط لكل متغير عشوائي، يستحيل نظريًا تحديد أي معلمة إحصائية للمتغيرات الفردية أو الدالة. يتمثل الحل المقترح في الصيغة الجيوإحصائية في افتراض درجات متفاوتة من الاستقرار في الدالة العشوائية، وذلك لتمكين استنتاج بعض القيم الإحصائية.

على سبيل المثال، إذا افترضنا، بناءً على تجانس العينات في المنطقة${\displaystyle A}$عندما يكون المتغير موزعًا، فإن الفرضية القائلة بأن العزم الأول ثابت (أي أن جميع المتغيرات العشوائية لها نفس المتوسط)، ثم يفترض المرء أنه يمكن تقدير المتوسط ​​عن طريق المتوسط ​​الحسابي للقيم المأخوذة من العينة.

تُعرَّف فرضية الاستقرار المتعلقة بالعزم الثاني على النحو التالي: يعتمد الارتباط بين متغيرين عشوائيين فقط على المسافة المكانية بينهما، وهو مستقل عن موقعهما. وبالتالي، إذا${\displaystyle \mathbf {h} =x_{2}-x_{1}}$و${\displaystyle h=|\mathbf {h} |}$، ثم:

${\displaystyle C{\big (}Z(x_{1}),Z(x_{2}){\big )}=C{\big (}Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ){\big )}=C(h),}$

${\displaystyle \gamma {\big (}Z(x_{1}),Z(x_{2}){\big )}=\gamma {\big (}Z(x_{i}),Z(x_{i}+\mathbf {h} ){\big )}=\gamma (h).}$

لتبسيط الأمر، نُعرّف${\displaystyle C(x_{i},x_{j})=C{\big (}Z(x_{i}),Z(x_{j}){\big )}}$و${\displaystyle \gamma (x_{i},x_{j})=\gamma {\big (}Z(x_{i}),Z(x_{j}){\big )}}$.

تسمح هذه الفرضية باستنتاج هذين المقياسين - التباين المكاني والتباين المشترك :

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-Z(x_{j}){\big )}^{2},}$

${\displaystyle C(h)={\frac {1}{|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}{\big (}Z(x_{i})-m(h){\big )}{\big (}Z(x_{j})-m(h){\big )},}$

أين:

${\displaystyle m(h)={\frac {1}{2|N(h)|}}\sum _{(i,j)\in N(h)}\left(Z(x_{i})+Z(x_{j})\right)}$؛

${\displaystyle N(h)}$يشير إلى مجموعة أزواج الملاحظات${\displaystyle i,\;j}$بحيث${\displaystyle |x_{i}-x_{j}|=h}$، و${\displaystyle |N(h)|}$يمثل عدد الأزواج في المجموعة.

في هذه المجموعة،${\displaystyle (i,\;j)}$و${\displaystyle (j,\;i)}$يشيران إلى العنصر نفسه. عموماً، "مسافة تقريبية".${\displaystyle h}$يتم استخدامها، وتطبيقها باستخدام هامش خطأ معين.

الاستدلال المكاني، أو تقدير كمية ما${\displaystyle Z\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$، في موقع غير مرئي${\displaystyle x_{0}}$، ويتم حسابها من خلال توليفة خطية من القيم المرصودة${\displaystyle z_{i}=Z(x_{i})}$والأوزان${\displaystyle w_{i}(x_{0}),\;i=1,\ldots ,N}$:

${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})={\begin{bmatrix}w_{1}&w_{2}&\cdots &w_{N}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\vdots \\z_{N}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})Z(x_{i}).}$

الأوزان${\displaystyle w_{i}}$تهدف هذه النقاط إلى تلخيص إجراءين بالغَي الأهمية في عملية الاستدلال المكاني:

• يعكس ذلك "القرب" الهيكلي للعينات من موقع التقدير${\displaystyle x_{0}}$؛
• وفي الوقت نفسه، ينبغي أن يكون لها تأثير في إزالة الفصل، وذلك لتجنب التحيز الناجم عن تجمعات العينات المحتملة .

عند حساب الأوزان${\displaystyle w_{i}}$، هناك هدفان في الشكلية الإحصائية الجغرافية: عدم التحيز والحد الأدنى من تباين التقدير .

إذا كانت سحابة القيم الحقيقية${\displaystyle Z(x_{0})}$يتم رسمها مقابل القيم المقدرة${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})}$، إن معيار عدم التحيز العالمي، أو الاستقرار الجوهري أو الاستقرار بالمعنى الواسع للمجال، يعني أن متوسط ​​التقديرات يجب أن يساوي متوسط ​​القيم الحقيقية.

أما المعيار الثاني فينص على أن متوسط ​​مربعات الانحرافات${\displaystyle {\big (}{\hat {Z}}(x)-Z(x){\big )}}$يجب أن يكون الحد الأدنى، مما يعني أنه عندما تكون سحابة القيم المقدرة مقابل سحابة القيم الحقيقية أكثر تشتتًا، يكون المقدر أقل دقة.

القيمة المجهولة${\displaystyle Z(x_{0})}$يُفسَّر على أنه متغير عشوائي موجود في${\displaystyle x_{0}}$وكذلك قيم عينات الجيران${\displaystyle Z(x_{i}),\ i=1,\ldots ,N}$المُقدِّر${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})}$يُفسر أيضًا على أنه متغير عشوائي موجود في${\displaystyle x_{0}}$، نتيجة للتركيبة الخطية للمتغيرات.

تسعى طريقة كريغينغ إلى تقليل متوسط ​​مربع الخطأ التالي في التقدير${\displaystyle Z(x_{0})}$، رهناً بانعدام التحيز:

${\displaystyle \epsilon (x_{0})={\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0})={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times Z(x_{i})-Z(x_{0}).}$

يمكن الآن التعبير عن معياري الجودة المشار إليهما سابقًا بدلالة المتوسط ​​والتباين للمتغير العشوائي الجديد${\displaystyle \epsilon (x_{0})}$:

انعدام التحيز

بما أن الدالة العشوائية ثابتة،${\displaystyle E[Z(x_{i})]=E[Z(x_{0})]=m}$يجب أن يكون مجموع الأوزان مساوياً لـ 1 لضمان عدم تحيز النموذج. ويمكن توضيح ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})]=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})\times E[Z(x_{i})]-E[Z(x_{0})]=0}$

${\displaystyle \Leftrightarrow m\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})-m=0\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{0})=1\Leftrightarrow \mathbf {1} ^{T}\cdot W=1.}$

الحد الأدنى من التباين

يمكن أن يمتلك اثنان من المقدرين${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})]=0}$لكن التشتت حول متوسطها هو ما يحدد الفرق بين جودة المُقدِّرات. ولإيجاد مُقدِّر بأقل تباين، نحتاج إلى تقليل${\displaystyle E[\epsilon (x_{0})^{2}]}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (\epsilon (x_{0}))&=\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\\&={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot \operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})&Z(x_{0})\end{bmatrix}}^{T}\right)\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

راجع مصفوفة التغاير للحصول على شرح مفصل.

${\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon (x_{0}))={\begin{bmatrix}W^{T}&-1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Var} _{x_{i}}&\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\\\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}&\operatorname {Var} _{x_{0}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}W\\-1\end{bmatrix}},}$

حيث الحروف${\displaystyle \left\{\operatorname {Var} _{x_{i}},\operatorname {Var} _{x_{0}},\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\right\}}$يرمز إلى

${\displaystyle \left\{\operatorname {Var} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T}\right),\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )},\operatorname {Cov} \left({\begin{bmatrix}Z(x_{1})&\cdots &Z(x_{N})\end{bmatrix}}^{T},Z(x_{0})\right)\right\}.}$

بمجرد تحديد نموذج التغاير أو مخطط التباين ،${\displaystyle C(\mathbf {h} )}$أو${\displaystyle \gamma (\mathbf {h} )}$صالحة في جميع مجالات تحليل${\displaystyle Z(x)}$ثم يمكننا كتابة تعبير لتباين التقدير لأي مقدر كدالة للتغاير بين العينات والتغايرات بين العينات والنقطة المراد تقديرها:

${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Var} {\big (}\epsilon (x_{0}){\big )}=W^{T}\cdot \operatorname {Var} _{x_{i}}\cdot W-\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}+\operatorname {Var} _{x_{0}},\\\operatorname {Var} {\big (}\epsilon (x_{0}){\big )}=\operatorname {Cov} (0)+\sum _{i}\sum _{j}w_{i}w_{j}\operatorname {Cov} (x_{i},x_{j})-2\sum _{i}w_{i}C(x_{i},x_{0}).\end{cases}}}$

يمكن استخلاص بعض النتائج من هذا التعبير. تباين التقدير:

• لا يمكن قياسها كمياً بواسطة أي مقدر خطي، بمجرد افتراض ثبات المتوسط ​​والتباينات المكانية، أو المخططات التباينية؛
• يزداد عندما يقل التباين المشترك بين العينات والنقطة المراد تقديرها. وهذا يعني أنه عندما تكون العينات أبعد عن${\displaystyle x_{0}}$، يصبح التقدير أسوأ؛
• ينمو مع التباين المسبق${\displaystyle C(0)}$من المتغير${\displaystyle Z(x)}$عندما يكون المتغير أقل تشتتًا، يكون التباين أقل في أي نقطة من المنطقة.${\displaystyle A}$؛
• لا يعتمد ذلك على قيم العينات، مما يعني أن نفس التكوين المكاني (مع نفس العلاقات الهندسية بين العينات والنقطة المراد تقديرها) يعيد إنتاج نفس تباين التقدير في أي جزء من المنطقة.${\displaystyle A}$وبهذه الطريقة، لا يقيس التباين عدم اليقين في التقدير الناتج عن المتغير المحلي.

نظام المعادلات

${\displaystyle W={\underset {\mathbf {1} ^{T}\cdot W=1}{\operatorname {arg\,min} }}\left(W^{T}\cdot \operatorname {Var} _{x_{i}}\cdot W-\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}^{T}\cdot W-W^{T}\cdot \operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}+\operatorname {Var} _{x_{0}}\right).}$

يؤدي حل مشكلة التحسين هذه (انظر مضاعفات لاغرانج ) إلى نظام كريغينغ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {W}}\\\mu \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\operatorname {Var} _{x_{i}}&\mathbf {1} \\\mathbf {1} ^{T}&0\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Cov} _{x_{i}x_{0}}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{1},x_{n})&1\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\gamma (x_{n},x_{1})&\cdots &\gamma (x_{n},x_{n})&1\\1&\cdots &1&0\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\gamma (x_{1},x^{*})\\\vdots \\\gamma (x_{n},x^{*})\\1\end{bmatrix}}.}$

المعامل الإضافي${\displaystyle \mu }$هو مُضاعِف لاغرانج يُستخدم في تقليل خطأ كريغينغ${\displaystyle \sigma _{k}^{2}(x)}$احتراماً لشرط الحياد.

يُعدّ التنبؤ المكاني البسيط أبسط أنواع التنبؤات من الناحية الرياضية، ولكنه الأقل عمومية. ^{[ 9 ]} فهو يفترض معرفة القيمة المتوقعة للحقل العشوائي ويعتمد على دالة التغاير . ومع ذلك، في معظم التطبيقات، لا تكون القيمة المتوقعة ولا التغاير معروفتين مسبقًا.

الافتراضات العملية لتطبيق طريقة كريجينج البسيطة هي:

• استقرار المجال بالمعنى الواسع (ثبات التباين).
• التوقع يساوي صفرًا في كل مكان:${\displaystyle \mu (x)=0}$.
• دالة التغاير المعروفة${\displaystyle c(x,y)=\operatorname {Cov} {\big (}Z(x),Z(y){\big )}}$.

تُعدّ دالة التغاير خيارًا تصميميًا بالغ الأهمية، إذ تُحدّد خصائص العملية الغاوسية، وبالتالي سلوك النموذج. تُشفّر دالة التغاير معلوماتٍ حول، على سبيل المثال، السلاسة والدورية، وهو ما ينعكس في التقدير الناتج. ومن دوال التغاير الشائعة جدًا دالة التربيع الأسي، التي تُفضّل بشدة تقديرات الدوال السلسة. ^{[ 10 ]} ولهذا السبب، قد تُنتج تقديراتٍ غير دقيقة في العديد من التطبيقات العملية، لا سيما عندما تحتوي الدالة الأساسية الحقيقية على انقطاعات وتغيرات سريعة.

نظام المعادلات

لا تخضع أوزان التكريج في التكريج البسيط لشرط عدم التحيز، ويتم تحديدها بواسطة نظام معادلات التكريج البسيط :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}.}$

وهذا مماثل للانحدار الخطي لـ${\displaystyle Z(x_{0})}$من جهة أخرى${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$.

تقدير

يُعطى الاستيفاء باستخدام طريقة كريجينج البسيطة بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{0})={\begin{pmatrix}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}.}$

يُعطى خطأ التنبؤ المكاني (Kriging) بالصيغة التالية:

${\displaystyle \operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big )}=\underbrace {c(x_{0},x_{0})} _{\operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )}}-\underbrace {{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}'{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{1})&\cdots &c(x_{1},x_{n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\c(x_{n},x_{1})&\cdots &c(x_{n},x_{n})\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}c(x_{1},x_{0})\\\vdots \\c(x_{n},x_{0})\end{pmatrix}}} _{\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0}){\big )}},}$

مما يؤدي إلى النسخة المعممة للمربعات الصغرى من نظرية جاوس-ماركوف (تشايلز وديلفينر 1999، ص  159):

${\displaystyle \operatorname {Var} {\big (}Z(x_{0}){\big )}=\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0}){\big )}+\operatorname {Var} {\big (}{\hat {Z}}(x_{0})-Z(x_{0}){\big )}.}$

انظر أيضًا إلى فوضى كثيرات الحدود البايزية

• إن تقدير كريجينج غير متحيز:${\displaystyle E[{\hat {Z}}(x_{i})]=E[Z(x_{i})]}$.
• يُراعي تقدير كريجينج القيمة المرصودة فعلياً:${\displaystyle {\hat {Z}}(x_{i})=Z(x_{i})}$(بافتراض عدم حدوث خطأ في القياس).
• تقدير كريجينج${\displaystyle {\hat {Z}}(x)}$يُعد أفضل مُقدِّر خطي غير متحيز لـ${\displaystyle Z(x)}$إذا تحققت الافتراضات. ومع ذلك (على سبيل المثال، كريسي 1993): ^{[ 11 ]}
  • كما هو الحال مع أي طريقة، إذا لم تتحقق الافتراضات، فقد يكون التنبؤ المكاني سيئًا.
  • قد تكون هناك طرق غير خطية و/أو متحيزة أفضل.
  • لا توجد ضمانات للخصائص عند استخدام مخطط التباين الخاطئ. ومع ذلك، عادةً ما يتم الحصول على استيفاء "جيد".
  • الأفضل ليس بالضرورة جيدًا: على سبيل المثال، في حالة عدم وجود تبعية مكانية، يكون استيفاء كريجينج جيدًا بقدر المتوسط ​​الحسابي.
• يوفر كريغينغ${\displaystyle \sigma _{k}^{2}}$كمقياس للدقة. ومع ذلك، يعتمد هذا المقياس على صحة مخطط التباين المكاني.

يُعدّ استيفاء البيانات الناتجة كمتغيرات استجابة في عمليات المحاكاة الحاسوبية الحتمية، مثل محاكاة طريقة العناصر المحدودة (FEM) ، مجالًا آخر بالغ الأهمية وسريع النمو في الهندسة ^{[ 28 ]} . في هذه الحالة، يُستخدم التكريج كأداة للنمذجة الفوقية ، أي نموذج صندوق أسود مبني على مجموعة مُصممة من التجارب الحاسوبية . في العديد من المشكلات الهندسية العملية، مثل تصميم عملية تشكيل المعادن ، قد تستغرق محاكاة FEM واحدة عدة ساعات أو حتى بضعة أيام. لذلك، من الأجدى تصميم وتشغيل عدد محدود من عمليات المحاكاة الحاسوبية، ثم استخدام مُستَكمِل التكريج للتنبؤ السريع بالاستجابة عند أي نقطة تصميم أخرى. ولهذا السبب، يُستخدم التكريج غالبًا كنموذج بديل ، يُنفَّذ داخل إجراءات التحسين ^{[ 29 ]} . كما يُمكن استخدام النماذج البديلة القائمة على التكريج في حالة المدخلات العددية المختلطة ^{[ 30 ] .}

1. شيليس، جان بول؛ ديساسيس، نيكولا (2018). "خمسون عامًا من طريقة كريغينغ". دليل العلوم الجيولوجية الرياضية . تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. ص 589-612 . doi : 10.1007/978-3-319-78999-6_29 . ISBN  978-3-319-78998-9. S2CID 125362741 . 
2. أغتربيرغ، إف بي، الرياضيات الجيولوجية، الخلفية الرياضية وتطبيقات علوم الأرض ، شركة النشر العلمي إلسيفير، أمستردام، 1974.
3. كريسي، إن إيه سي، أصول كريجينج، الجيولوجيا الرياضية ، المجلد  22، الصفحات  239-252، 1990.
4. كريج، دي جي، نهج إحصائي لبعض تقييمات المناجم والمشاكل ذات الصلة في ويتواترسراند ، رسالة ماجستير من جامعة ويتواترسراند، 1951.
5. Link, RF and Koch, GS, Experimental Designs and Trend-Surface Analysis, Geostatistics , A colloquium, Plenum Press, New York, 1970.
6. ماثيرون، ج.، "مبادئ الإحصاء الجيولوجي"، الجيولوجيا الاقتصادية ، 58، ص  1246-1266، 1963.
7. ماثيرون، ج.، "الوظائف العشوائية الجوهرية وتطبيقاتها"، Adv. Appl. Prob. ، 5، ص  439-468، 1973.
8. ميريام، دي إف (محرر)، الإحصاء الجيولوجي ، ندوة، مطبعة بلينوم، نيويورك، 1970.
9. موكوس، ج.، "حول الطرق البايزية للبحث عن القيم القصوى". وقائع المؤتمر الفني للاتحاد الدولي لمعالجة المعلومات. 1974.

• أبراموفيتز، م.، وستيجون، إ. (1972)، كتيب الدوال الرياضية، منشورات دوفر ، نيويورك.
• بانيرجي، إس.، كارلين، بي بي، وجيلفاند، إيه إي (2004). النمذجة والتحليل الهرمي للبيانات المكانية. تشابمان آند هول/سي آر سي برس، مجموعة تايلور آند فرانسيس.
• تشيلز، جيه-بي. و بي. ديلفينر (1999) الإحصاء الجيولوجي، نمذجة عدم اليقين المكاني ، سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء.
• كلارك، آي، وهاربر، دبليو في، (2000) الإحصاء الجيولوجي العملي 2000 ، إيكوس أمريكا الشمالية، الولايات المتحدة الأمريكية.
• كريسي، ن. (1993) إحصاءات البيانات المكانية ، وايلي، نيويورك.
• ديفيد، م. (1988) دليل التقدير الجيولوجي الإحصائي المتقدم التطبيقي لاحتياطيات الخامات ، دار النشر العلمية إلسيفير
• Deutsch, CV, and Journel, AG (1992), GSLIB – مكتبة البرامج الإحصائية الجغرافية ودليل المستخدم، مطبعة جامعة أكسفورد ، نيويورك، 338  صفحة.
• جوفيرتس، ب. (1997) الإحصاء الجغرافي لتقييم الموارد الطبيعية ، مطبعة جامعة أكسفورد، نيويورك، ISBN 0-19-511538-4.
• Isaaks, EH, and Srivastava, RM (1989), An Introduction to Applied Geostatistics, Oxford University Press, New York, 561  pp.
• Journel, AG and CJ Huijbregts (1978) Mining Geostatistics , Academic Press London.
• جورنيل، أ. ج. (1989)، أساسيات الإحصاء الجيولوجي في خمسة دروس، الاتحاد الجيوفيزيائي الأمريكي، واشنطن العاصمة
• بريس، دبليو إتش؛ تيوكولسكي، إس إيه؛ فيترلينغ، دبليو تي؛ فلانيري، بي بي (2007)، "القسم 3.7.4. الاستيفاء باستخدام طريقة كريغينغ" ، وصفات عددية: فن الحوسبة العلمية (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-88068-8. أيضاً، "القسم 15.9. انحدار العملية الغاوسية" .
• Stein, ML (1999), الاستيفاء الإحصائي للبيانات المكانية: بعض النظريات لـ Kriging ، Springer، نيويورك.
• واكرناغل، هـ. (1995) الإحصاء الجيولوجي متعدد المتغيرات - مقدمة مع تطبيقات ، سبرينغر برلين