مخطط التباين

المخطط التبايني هو تمثيل بياني للعلاقة المكانية بين أزواج من نقاط البيانات، ويُستخدم عادةً في الإحصاء الجيولوجي والإحصاء المكاني . يُستخدم هذا المصطلح أحيانًا كمرادف للمخطط التبايني الجزئي ، ولكن بعض الباحثين يستخدمون الأخير للإشارة إلى نصف المخطط التبايني، ولذا يُنصح بتجنبه. ^{[ 1 ]} وبالمثل، قد يكون مصطلح التباين الجزئي مُضللاً، لأن القيم الموضحة في المخطط التبايني هي التباينات الكاملة للملاحظات عند مسافة مكانية محددة (تأخير). ^{[ 1 ]}

يُعدّ التباين المكاني (Variogram) وظيفةً أساسيةً في الإحصاء الجيولوجي، إذ يُستخدم لنمذجة الارتباط الزمني/المكاني للظاهرة المرصودة. وبالتالي، يُفرّق بين التباين المكاني التجريبي ، الذي يُمثّل تصويرًا مرئيًا لارتباط مكاني/زمني مُحتمل، ونموذج التباين المكاني الذي يُستخدم لاحقًا لتحديد أوزان دالة التنبؤ المكاني (Kriging) . تجدر الإشارة إلى أن التباين المكاني التجريبي هو تقدير تجريبي لتغاير عملية غاوسية . لذا، قد لا يكون موجبًا تمامًا ، وبالتالي لا يُمكن استخدامه مباشرةً في التنبؤ المكاني دون قيود أو معالجة إضافية. وهذا يُفسّر سبب استخدام عدد محدود من نماذج التباين المكاني، وأكثرها شيوعًا النماذج الخطية والكروية والغاوسية والأسية.

على سبيل المثال، في تعدين الذهب ، يُعطي مخطط التباين مقياسًا لمدى اختلاف نسبة الذهب في عينتين مأخوذتين من منطقة التعدين تبعًا للمسافة بينهما. فالعينات المأخوذة من مسافات بعيدة تختلف بنسبة أكبر من العينات المأخوذة من مسافات متقاربة.

شبه التباين${\displaystyle \gamma (h)}$عرّف ماثيرون (1963) هذا المصطلح لأول مرة بأنه نصف متوسط ​​مربع الفرق بين دالة ونسخة مترجمة منها مفصولة بمسافة معينة.${\displaystyle h}$[ ^{2 ] [ 3 ]} رسميًا^​

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2}}\iiint _{V}\left[f(M+h)-f(M)\right]^{2}dM,}$

أين${\displaystyle M}$هي نقطة في الحقل الهندسي${\displaystyle V}$، و${\displaystyle f(M)}$هي القيمة عند تلك النقطة. التكامل الثلاثي يتم على ثلاثة أبعاد.${\displaystyle h}$هي مسافة الفصل (مثلاً بالأمتار أو الكيلومترات) المطلوبة. على سبيل المثال، القيمة${\displaystyle f(M)}$قد يمثل ذلك محتوى الحديد في التربة، في موقع ما${\displaystyle M}$(مع الإحداثيات الجغرافية لخطوط العرض والطول والارتفاع) فوق منطقة ما${\displaystyle V}$مع عنصر الحجم${\displaystyle dV}$للحصول على شبه التباين لقيمة معينة${\displaystyle \gamma (h)}$سيتم أخذ عينات من جميع أزواج النقاط التي تقع على تلك المسافة المحددة. عمليًا، من المستحيل أخذ عينات في كل مكان، لذلك يتم استخدام التباين التجريبي بدلاً من ذلك.

التباين المكاني هو ضعف التباين المكاني النصفي، ويمكن تعريفه بشكل مختلف على أنه تباين الفرق بين قيم الحقل في موقعين (${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$و${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$لاحظ تغيير الترميز من${\displaystyle M}$ل${\displaystyle \mathbf {s} }$و${\displaystyle f}$ل${\displaystyle Z}$) عبر تطبيقات المجال (كريسي 1993):

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})={\text{var}}\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)=E\left[((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))-E[Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})])^{2}\right].}$

إذا كان للحقل العشوائي المكاني متوسط ​​ثابت${\displaystyle \mu }$وهذا يعادل القيمة المتوقعة لمربع الزيادة في القيم بين المواقع${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$و${\displaystyle s_{2}}$(واكرناجل 2003) (حيث${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$و${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$(هي نقاط في المكان وربما في الزمان):

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)^{2}\right].}$

في حالة العملية المستقرة ، يمكن تمثيل التباين المكاني والتباين المكاني الجزئي كدالة.${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma (0,0+h)}$الفرق${\displaystyle h=\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}}$بين المواقع فقط، من خلال العلاقة التالية (كريسي 1993):

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{s}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}).}$

وإذا كانت العملية متناحية الخواص أيضًا ، فيمكن تمثيل التباين المكاني والتباين المكاني الجزئي بدالة.${\displaystyle \gamma _{i}(h):=\gamma _{s}(he_{1})}$من المسافة ${\displaystyle h=\|\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}\|}$فقط (كريسي 1993):

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{i}(h).}$

المؤشرات${\displaystyle i}$أو${\displaystyle s}$لا تُكتب عادةً. تُستخدم هذه المصطلحات لجميع أشكال الدالة الثلاثة. علاوة على ذلك، يُستخدم مصطلح "التباين المكاني" أحيانًا للدلالة على التباين المكاني الجزئي، والرمز${\displaystyle \gamma }$يُستخدم أحيانًا للإشارة إلى التباين المكاني، مما يُسبب بعض الالتباس. ^{[ 4 ]}

وفقًا لـ (كريسي 1993، تشيلز وديلفينر 1999، واكرناجل 2003) فإن المخطط التبايني النظري له الخصائص التالية:

• التباين النصفي غير سالب${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})\geq 0}$، لأنه يمثل القيمة المتوقعة للمربع.
• شبه التباين${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})=\gamma _{i}(0)=E\left((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1}))^{2}\right)=0}$عند مسافة 0 تكون دائمًا 0، لأن${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1})=0}$.
• تكون الدالة شبه تباينية إذا وفقط إذا كانت دالة سالبة محددة شرطيًا، أي لجميع الأوزان${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{N}}$رهناً بـ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=0}$والمواقع${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{N}}$وهذا صحيح:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}\gamma (\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j})w_{j}\leq 0,}$

وهذا يتوافق مع حقيقة أن التباين${\displaystyle \operatorname {var} (X)}$ل${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$يتم الحصول عليها من خلال معكوس هذا المجموع المزدوج ويجب أن تكون غير سالبة.

• إذا كانت دالة التغاير C لعملية مستقرة موجودة، فإنها ترتبط بالتباين المكاني من خلال

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})+C(\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{2})-2C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

• إذا وُجد التباين V ودالة الارتباط c لعملية مستقرة، فإنهما يرتبطان بالتباين النصفي من خلال

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=V(1-c(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2}))}$

• وعلى العكس من ذلك، يمكن الحصول على دالة التغاير C لعملية مستقرة من شبه التباين والتباين كما يلي:

${\displaystyle C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=V-\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

• إذا لم يكن للحقل العشوائي الثابت أي تبعية مكانية (أي${\displaystyle C(h)=0}$لو${\displaystyle h\not =0}$)، يكون شبه التباين ثابتًا${\displaystyle \operatorname {var} (Z(\mathbf {s} ))}$في كل مكان باستثناء نقطة الأصل، حيث تكون القيمة صفرًا.
• الدالة شبه التباينية هي دالة متناظرة ،${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{2}\right]=\gamma (\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{1})}$.
• وبالتالي، فإن شبه التباين المتساوي الخواص هو دالة زوجية${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma _{s}(-h)}$.
• إذا كان الحقل العشوائي ثابتًا وإرجوديًا ، فإن${\displaystyle \lim _{h\to \infty }\gamma _{s}(h)=\operatorname {var} (Z(\mathbf {s} ))}$يتوافق مع تباين الحقل. وتُسمى نهاية شبه التباين مع زيادة المسافة أيضًا بعتبة التباين .
• ونتيجة لذلك، قد يكون شبه التباين غير متصل فقط عند نقطة الأصل. ويُشار أحيانًا إلى ارتفاع القفزة عند نقطة الأصل باسم "النقطة الأساسية " أو "تأثير النقطة الأساسية".

بشكل عام، يلزم استخدام مخطط التباين التجريبي للبيانات المقاسة، لأن معلومات العينة${\displaystyle Z}$لا تتوفر هذه المعلومات لكل موقع. على سبيل المثال، قد تتضمن معلومات العينة تركيز الحديد في عينات التربة، أو شدة البكسل على الكاميرا. ولكل معلومة من معلومات العينة إحداثيات.${\displaystyle \mathbf {s} =(x,y)}$بالنسبة لفضاء عينة ثنائي الأبعاد حيث${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هي إحداثيات جغرافية. في حالة الحديد الموجود في التربة، قد يكون حيز العينة ثلاثي الأبعاد. وإذا كان هناك تباين زمني أيضًا (مثل محتوى الفوسفور في بحيرة)، فإن${\displaystyle \mathbf {s} }$قد يكون متجهًا رباعي الأبعاد${\displaystyle (x,y,z,t)}$في حالة اختلاف وحدات الأبعاد (مثل المسافة والوقت)، يتم استخدام عامل قياس.${\displaystyle B}$يمكن تطبيق ذلك على كل منها للحصول على مسافة إقليدية معدلة . ^{[ 5 ]}

يُشار إلى الملاحظات النموذجية بـ${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{i})=z_{i}}$يمكن إجراء الملاحظات في${\displaystyle M}$إجمالي المواقع المختلفة ( حجم العينة ). وهذا من شأنه أن يوفر مجموعة من الملاحظات${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{M}}$في المواقع${\displaystyle \mathbf {s} _{1},\ldots ,\mathbf {s} _{M}}$بشكل عام، تُظهر الرسوم البيانية قيم شبه التباين كدالة لمسافة الفصل${\displaystyle h_{k}}$لعدة خطوات${\displaystyle k=1,\ldots }$في حالة شبه التباين التجريبي، تكون مسافة الفصل هي الفاصل الزمني${\displaystyle h_{k}\pm \delta }$يُستخدم بدلاً من المسافات الدقيقة، وعادةً ما تُفترض الظروف المتساوية الخواص (أي أن${\displaystyle \gamma }$إنها مجرد وظيفة لـ${\displaystyle h}$ولا يعتمد على متغيرات أخرى مثل موقع المركز). ثم، شبه التباين التجريبي${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta )}$يمكن حسابها لكل فئة :

${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h_{k}\pm \delta ):={\frac {1}{2N_{k}}}\sum _{(i,j)\in S_{k}}|z_{i}-z_{j}|^{2}}$

أو بعبارة أخرى، كل زوج من النقاط يفصل بينهما${\displaystyle h_{k}}$(مع هامش خطأ في عرض الصندوق)${\displaystyle \delta }$يتم العثور على هذه النقاط. تشكل هذه النقاط مجموعة النقاط

${\displaystyle S_{k}=S(h_{k}\pm \delta )\equiv \{(\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}):h_{k}-\delta <|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}|<h_{k}+\delta ;i,j=1,\ldots ,M\}}$

عدد هذه النقاط في هذه الخانة هو${\displaystyle N_{k}=|S_{k}|}$( حجم المجموعة ). ثم لكل زوج من النقاط${\displaystyle i,j}$يتم إيجاد مربع الفرق في الملاحظة (مثل محتوى عينة التربة أو شدة البكسل) (${\displaystyle |z_{i}-z_{j}|^{2}}$تُجمع هذه الفروق المربعة معًا وتُقسّم على العدد الطبيعي.${\displaystyle N_{k}}$بحسب التعريف، يتم تقسيم النتيجة على 2 بالنسبة للتباين النصفي عند هذا الفصل.

لتحقيق سرعة حسابية، لا نحتاج إلا إلى أزواج النقاط الفريدة. على سبيل المثال، بالنسبة لزوجين من الملاحظات [${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$] مأخوذة من مواقع ذات فصل${\displaystyle h\pm \delta }$فقط [${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$يجب أخذ ذلك في الاعتبار، حيث أن الأزواج [${\displaystyle (z_{b},z_{a}),(z_{d},z_{c})}$لا تقدم أي معلومات إضافية.

لا يمكن حساب التباين التجريبي عند كل مسافة تأخير${\displaystyle h}$ونظرًا لاختلاف التقدير، لا يُمكن ضمان صحة التباين المكاني، كما هو مُعرّف أعلاه. مع ذلك، تتطلب بعض الطرق الإحصائية الجغرافية ، مثل طريقة كريغينغ، تباينات مكانية شبه صحيحة. في الإحصاء الجغرافي التطبيقي، غالبًا ما يتم تقريب التباينات المكانية التجريبية بدالة نموذجية لضمان صحتها. من أهم هذه النماذج: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• نموذج التباين الأسي

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)(1-\exp(-h/(ra)))+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• نموذج التباين الكروي

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(\left({\frac {3h}{2r}}-{\frac {h^{3}}{2r^{3}}}\right)1_{(0,r)}(h)+1_{[r,\infty )}(h)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• نموذج التباين الغاوسي

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(1-\exp \left(-{\frac {h^{2}}{r^{2}a}}\right)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

المعلمة${\displaystyle a}$تختلف قيمها باختلاف المراجع، وذلك بسبب الغموض في تعريف النطاق (على سبيل المثال).${\displaystyle a=1/3}$[ ^{8 ]} دالة المؤشر^​${\displaystyle 1_{A}(h)}$يساوي 1 إذا${\displaystyle h\in A}$وصفر فيما عدا ذلك.

يُستخدم المخطط التبايني التجريبي في الإحصاء الجيولوجي كتقدير أولي لنموذج المخطط التبايني اللازم للاستيفاء المكاني بواسطة طريقة كريجينج .

• استُخدمت المخططات التباينية التجريبية للتغير المكاني والزماني لمتوسط ​​عمود ثاني أكسيد الكربون لتحديد معايير التزامن للقياسات الفضائية والأرضية. ^{[ 5 ]}
• تم حساب المتغيرات التجريبية لكثافة مادة غير متجانسة (جيلسوكربون). ^{[ 9 ]}
• تُحسب المخططات التباينية التجريبية من خلال رصد الحركة الأرضية القوية الناتجة عن الزلازل . ^{[ 10 ]} تُستخدم هذه النماذج لتقييم المخاطر والخسائر الزلزالية للبنية التحتية الموزعة مكانيًا. ^{[ 11 ]}

على سبيل المثال، الحد التربيعي في التباين المكاني${\displaystyle (Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))^{2}}$يمكن استبدالها بقوى مختلفة: يُعرَّف المادوجرام بالفرق المطلق ،${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|}$ويُعرَّف مخطط الرودوغرافيا بالجذر التربيعي للفرق المطلق .${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{0.5}}$يُقال إن المقدرات القائمة على هذه القوى المنخفضة أكثر مقاومة للقيم المتطرفة . ويمكن تعميمها على أنها "متغير مكاني من الرتبة α ".

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right|^{\alpha }\right]}$،

حيث يكون التباين المكاني من الرتبة 2، والتباين المكاني من الرتبة 1، والتباين المكاني من الرتبة 0.5. ^{[ 12 ]}

عند استخدام مخطط التباين المكاني لوصف ارتباط متغيرات مختلفة، يُطلق عليه اسم مخطط التباين المكاني المتقاطع . تُستخدم مخططات التباين المكاني المتقاطع في التنبؤ المكاني المشترك . أما إذا كان المتغير ثنائيًا أو يُمثل فئات من القيم، فإننا نتحدث حينها عن مخططات التباين المكاني المؤشرة . تُستخدم مخططات التباين المكاني المؤشرة في التنبؤ المكاني المؤشر .

• كريسي، ن.، 1993، إحصاءات البيانات المكانية، وايلي إنترساينس.
• تشيلز، جيه بي، بي. ديلفينر، 1999، الإحصاء الجيولوجي، نمذجة عدم اليقين المكاني، وايلي-إنترساينس.
• واكرناجل، هـ.، 2003، الإحصاء الجغرافي متعدد المتغيرات، سبرينغر.
• Burrough, PA and McDonnell, RA, 1998, Principles of Geographic Information Systems.
• إيزوبيل كلارك، 1979، الإحصاء الجيولوجي العملي، دار النشر للعلوم التطبيقية .
• كلارك، آي.، 1979، الإحصاء الجيولوجي العملي ، دار النشر للعلوم التطبيقية.
• ديفيد، م.، 1978، تقدير احتياطي الخام الإحصائي الجيولوجي ، دار النشر إلسيفير.
• هالد، أ.، 1952، النظرية الإحصائية مع التطبيقات الهندسية ، جون وايلي وأولاده، نيويورك.
• Journel, AG and Huijbregts, Ch. J., 1978 Mining Geostatistics , Academic Press.
• جلاس، إتش جيه، 2003، طريقة لتقييم جودة التباين المكاني، مجلة معهد جنوب أفريقيا للتعدين والمعادن .

• الذكاء الاصطناعي والإحصاء الجغرافي: مورد تعليمي حول الإحصاء الجغرافي والإحصاء المكاني
• الإحصاء الجغرافي: محاضرة ألقاها رودولف دوتر في جامعة فيينا التقنية. مؤرشفة بتاريخ 15 ديسمبر 2007 على موقع Wayback Machine.