النواة (الإحصائيات)

يُستخدم مصطلح "النواة" في التحليل الإحصائي للإشارة إلى دالة النافذة . ويحمل مصطلح "النواة" عدة معانٍ مختلفة في فروع الإحصاء المختلفة.

في الإحصاء، وخاصةً في الإحصاء البايزي ، تُعرف نواة دالة كثافة الاحتمال (pdf) أو دالة كتلة الاحتمال (pmf) بأنها شكل الدالة بعد حذف أي عوامل لا تعتمد على أي من المتغيرات في المجال. ^{[ 1 ]} تجدر الإشارة إلى أن هذه العوامل قد تكون دوالًا لمعاملات دالة كثافة الاحتمال أو دالة كتلة الاحتمال. تُشكل هذه العوامل جزءًا من عامل التوحيد لتوزيع الاحتمال ، وهي غير ضرورية في كثير من الحالات. على سبيل المثال، في أخذ عينات الأرقام شبه العشوائية ، تتجاهل معظم خوارزميات أخذ العينات عامل التوحيد. بالإضافة إلى ذلك، في التحليل البايزي للتوزيعات المسبقة المترافقة ، يتم تجاهل عوامل التوحيد عمومًا أثناء الحسابات، ويُؤخذ في الاعتبار النواة فقط. في النهاية، يُفحص شكل النواة، وإذا تطابق مع توزيع معروف، يُمكن إعادة عامل التوحيد. وإلا، فقد يكون غير ضروري (على سبيل المثال، إذا كان المطلوب فقط أخذ عينات من التوزيع).

بالنسبة للعديد من التوزيعات، يمكن كتابة النواة بصيغة مغلقة، ولكن ليس ثابت التطبيع.

ومن الأمثلة على ذلك التوزيع الطبيعي . ودالة كثافة الاحتمال الخاصة به هي

${\displaystyle p(x|\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

والنواة المرتبطة بها هي

${\displaystyle p(x|\mu ,\sigma ^{2})\propto e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

لاحظ أنه تم حذف العامل الموجود أمام الدالة الأسية، على الرغم من أنه يحتوي على المعامل${\displaystyle \sigma ^{2}}$لأنه ليس دالة لمتغير المجال${\displaystyle x}$.

تُستخدم نواة فضاء هيلبرت ذي النواة المُستنسخة في مجموعة التقنيات المعروفة باسم طرق النواة لأداء مهام مثل التصنيف الإحصائي ، وتحليل الانحدار ، وتحليل التجميع على البيانات في فضاء ضمني. ويُعد هذا الاستخدام شائعًا بشكل خاص في مجال تعلم الآلة .

في الإحصاءات اللامعلمية ، تُعدّ النواة دالة ترجيح تُستخدم في تقنيات التقدير اللامعلمية . تُستخدم النوى في تقدير كثافة النواة لتقدير دوال كثافة المتغيرات العشوائية ، أو في انحدار النواة لتقدير القيمة المتوقعة الشرطية لمتغير عشوائي. كما تُستخدم النوى في السلاسل الزمنية ، في استخدام مخطط الفترة لتقدير الكثافة الطيفية حيث تُعرف بدوال النافذة . ومن استخداماتها الأخرى تقدير شدة متغيرة مع الزمن لعملية نقطية ، حيث تُدمج دوال النافذة (النوى) مع بيانات السلاسل الزمنية.

عادةً، يجب أيضًا تحديد عرض النواة عند تشغيل تقدير غير معلمي.

وظائف النواة شائعة الاستخدام

تُستخدم عدة أنواع من دوال النواة بشكل شائع: المنتظمة، والمثلثة، وإيبانشنيكوف، ^{[ 2 ]} والرباعية (ثنائية الوزن)، والمكعب الثلاثي، ^{[ 3 ]} وثلاثية الوزن، والغوسية، والتربيعية ^{[ 4 ]} وجيب التمام.

في الجدول أدناه، إذا${\displaystyle K}$إذا كانت الدالة ذات نطاق محدود ، فإن${\displaystyle K(u)=0}$بالنسبة لقيم u التي تقع خارج نطاق الدعم.

دوال النواة، K ( u )			${\displaystyle \textstyle \int u^{2}K(u)du}$	${\displaystyle \textstyle \int K(u)^{2}du}$	الكفاءة [ أ ] بالنسبة إلى نواة إيبانيتشنيكوف
نافذة مستطيلة موحدة	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{2}}}$ يدعم:${\displaystyle |u|\leq 1}$	" وظيفة عربة الشحن "	${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	92.9%
مثلث الشكل	${\displaystyle K(u)=(1-|u|)}$ يدعم:${\displaystyle |u|\leq 1}$		${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	98.6%
إيبانيتشنيكوف (قطع مكافئ)	${\displaystyle K(u)={\frac {3}{4}}(1-u^{2})}$ يدعم:${\displaystyle |u|\leq 1}$		${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$	100%
رباعي (وزن مزدوج)	${\displaystyle K(u)={\frac {15}{16}}(1-u^{2})^{2}}$ يدعم:${\displaystyle |u|\leq 1}$		${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{7}}}$	99.4%
وزن ثلاثي	${\displaystyle K(u)={\frac {35}{32}}(1-u^{2})^{3}}$ يدعم:${\displaystyle |u|\leq 1}$		${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$	${\displaystyle {\frac {350}{429}}}$	98.7%
مكعب ثلاثي	${\displaystyle K(u)={\frac {70}{81}}(1-{\left|u\right|}^{3})^{3}}$ يدعم:${\displaystyle |u|\leq 1}$		${\displaystyle {\frac {35}{243}}}$	${\displaystyle {\frac {175}{247}}}$	99.8%
التوزيع الغاوسي	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}}$		${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}}$	95.1%
جيب التمام	${\displaystyle K(u)={\frac {\pi }{4}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}u\right)}$ يدعم:${\displaystyle |u|\leq 1}$		${\displaystyle 1-{\frac {8}{\pi ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}}$	99.9%
الخدمات اللوجستية	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{e^{u}+2+e^{-u}}}}$		${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	88.7%
دالة سيجمويد	${\displaystyle K(u)={\frac {2}{\pi }}{\frac {1}{e^{u}+e^{-u}}}}$		${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi ^{2}}}}$	84.3%
نواة سيلفرمان [ 5 ]	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {|u|}{\sqrt {2}}}}\cdot \sin \left({\frac {|u|}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}}$	غير قابل للتطبيق

• تقدير كثافة النواة
• مُنعّم النواة
• النواة العشوائية
• نواة موجبة محددة
• تقدير الكثافة
• تقدير كثافة النواة متعددة المتغيرات
• طريقة النواة

• لي، تشي؛ راسين، جيفري س. (2007). الاقتصاد القياسي غير البارامتري: النظرية والتطبيق . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-12161-1.

• زوكيني، والتر. "تقنيات التنعيم التطبيقية الجزء 1: تقدير كثافة النواة" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 سبتمبر 2018 .

• كومانيشيو، د؛ مير، ب (2002). "تحويل المتوسط: منهج قوي لتحليل فضاء الميزات". معاملات IEEE في تحليل الأنماط والذكاء الآلي . 24 (5): 603-619 . CiteSeerX 10.1.1.76.8968 . doi : 10.1109/34.1000236 .