عملية النقطة

لتعريف عمليات النقاط العامة، نبدأ بفضاء احتمالي${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ومساحة قابلة للقياس${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$أين${\displaystyle S}$هو فضاء هاوسدورف قابل للعد من الدرجة الثانية مضغوط محليًا و${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هي جبر بوريل سيجما الخاص بها . لنفترض الآن نواة ذات قيم صحيحة ومحدودة محليًا${\displaystyle \xi }$ من${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$داخل${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$أي، عملية رسم الخرائط ${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}}$بحيث:

1. لكل${\displaystyle \omega \in \Omega }$،${\displaystyle \xi (\omega ,\cdot )}$هي مقياس محلي محدود (ذو قيم صحيحة) على${\displaystyle S}$.
2. لكل${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$،${\displaystyle \xi (\cdot ,B):\Omega \to \mathbb {Z} _{+}}$متغير عشوائي على${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$.

تُعرّف هذه النواة مقياسًا عشوائيًا بالطريقة التالية. نود أن نفكر في${\displaystyle \xi }$ باعتبارها تحديدًا لعملية ربط تقوم بربط${\displaystyle \omega \in \Omega }$إلى حد ما${\displaystyle \xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ (أي،${\displaystyle \Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$)، أين${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$هي مجموعة جميع القياسات المحدودة محليًا على${\displaystyle S}$والآن، لجعل هذه العلاقة قابلة للقياس، نحتاج إلى تحديد${\displaystyle \sigma }$-فيلد فر${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$. هذا${\displaystyle \sigma }$يتم إنشاء الحقل - كجبر أدنى بحيث تكون جميع خرائط التقييم من الشكل ${\displaystyle \pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)}$، أين${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$صغيرة الحجم نسبياً ، وقابلة للقياس. مزودة بهذا${\displaystyle \sigma }$-الحقل، ثم${\displaystyle \xi }$هو عنصر عشوائي، حيث لكل ${\displaystyle \omega \in \Omega }$،${\displaystyle \xi _{\أوميغا }}$هو مقياس محدود محليًا على${\displaystyle S}$.

الآن، من خلال عملية نقطية على${\displaystyle S}$نحن نعني ببساطة مقياسًا عشوائيًا ذا قيمة عددية صحيحة (أو ما يعادله، نواة ذات قيمة عددية صحيحة).${\displaystyle \xi }$تم بناؤها كما سبق. المثال الأكثر شيوعًا لفضاء الحالة S هو الفضاء الإقليدي Rⁿ أو مجموعة جزئية منه ^، حيث تُعطى حالة خاصة مثيرة للاهتمام بشكل خاص بواسطة نصف الخط الحقيقي [0,∞). ومع ذلك، لا تقتصر عمليات النقاط على هذه الأمثلة، ويمكن استخدامها أيضًا، من بين أمور أخرى، إذا كانت النقاط نفسها مجموعات جزئية مضغوطة من Rⁿ ^، وفي هذه الحالة يُشار عادةً إلى ξ باسم عملية الجسيم .

على الرغم من اسم عملية النقطة، فإن S قد لا تكون مجموعة فرعية من الخط الحقيقي، كما قد يشير ذلك إلى أن ξ هي عملية عشوائية .

يمكن تمثيل كل حالة (أو حدث) من عملية النقطة ξ على النحو التالي:

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

أين${\displaystyle \delta }$يرمز إلى مقياس ديراك ، و n متغير عشوائي ذو قيمة صحيحة و${\displaystyle X_{i}}$هي عناصر عشوائية من المجموعة S. إذا${\displaystyle X_{i}}$من شبه المؤكد أن تكون 's متميزة (أو ما يعادلها، من شبه المؤكد)${\displaystyle \xi (x)\leq 1}$للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$)، عندئذٍ تُعرف عملية النقطة بالبسيطة .

هناك تمثيل آخر مختلف ولكنه مفيد للحدث (حدث في فضاء الأحداث، أي سلسلة من النقاط) وهو تدوين العد، حيث يتم تمثيل كل حالة على أنها${\displaystyle N(t)}$الدالة، وهي دالة متصلة تأخذ فترة زمنية:

${\displaystyle N{\begin{cases}{\mathbb {R} ^{2}}\to {\mathbb {N} }\\(t_{1},t_{2})\mapsto \int _{t_{1}}^{t_{2}}\xi (t)\,dt\end{cases}}}$

وهو عدد الأحداث في فترة الملاحظة${\displaystyle (t_{1},t_{2}]}$ويُشار إليه أحيانًا بـ${\displaystyle N_{t_{1},t_{2}}}$، و${\displaystyle N_{T}}$أو${\displaystyle N(T)}$يقصد${\displaystyle N_{0,T}}$.

مقياس التوقع Eξ (المعروف أيضًا باسم مقياس المتوسط ) لعملية نقطية ξ هو مقياس على S يُسند إلى كل مجموعة جزئية بوريل B من S العدد المتوقع لنقاط ξ في B. أي،

${\displaystyle E\xi (B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{لكل }}B\in {\mathcal {B}}.}$

دالة لابلاس${\displaystyle \Psi _{N}(f)}$إن عملية النقطة N هي دالة من مجموعة جميع الدوال ذات القيم الموجبة f على فضاء الحالة لـ N ، إلى${\displaystyle [0,\infty )}$تم تعريفها على النحو التالي:

${\displaystyle \Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]}$

تؤدي هذه الدوال دورًا مشابهًا لدور الدوال المميزة للمتغير العشوائي . وتنص إحدى النظريات المهمة على أن: عمليتين نقطيتين لهما نفس القانون إذا كانت دوال لابلاس الخاصة بهما متساوية.

ال${\displaystyle n}$قوة عملية النقطة،${\displaystyle \xi ^{n},}$يتم تعريفها على فضاء المنتج${\displaystyle S^{n}}$كما يلي  :

${\displaystyle \xi ^{n}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\prod _{i=1}^{n}\xi (A_{i})}$

بحسب نظرية الفئة الرتيبة ، فإن هذا يُحدد بشكل فريد مقياس الضرب على ${\displaystyle (S^{n},B(S^{n})).}$التوقع${\displaystyle E\xi ^{n}(\cdot )}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle n}$مقياس العزم النوني . مقياس العزم الأول هو مقياس المتوسط.

يترك${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$الشدات المشتركة لعملية نقطية${\displaystyle \xi }$فيما يتعلق بمقياس ليبيغ، فإن الدوال${\displaystyle \rho ^{(k)}:(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to [0,\infty )}$بحيث يكون لأي مجموعات بوريل محدودة منفصلة${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$

${\displaystyle E\left(\prod _{i}\xi (B_{i})\right)=\int _{B_{1}\times \cdots \times B_{k}}\rho ^{(k)}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,dx_{1}\cdots dx_{k}.}$

لا توجد شدات مشتركة دائمًا للعمليات النقطية. ونظرًا لأن عزوم المتغير العشوائي تحدد هذا المتغير في كثير من الحالات، فمن المتوقع الحصول على نتيجة مماثلة للشدات المشتركة. وقد ثبت ذلك بالفعل في العديد من الحالات. ^{[ 2 ]}

عملية نقطية${\displaystyle \xi \subset \mathbb {R} ^{d}}$يُقال إنها ثابتة إذا${\displaystyle \xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}}$له نفس التوزيع مثل${\displaystyle \xi }$للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}.}$بالنسبة لعملية النقطة الثابتة، فإن المقياس المتوسط${\displaystyle E\xi (\cdot )=\lambda \|\cdot \|}$لبعض الثوابت${\displaystyle \lambda \geq 0}$وأين${\displaystyle \|\cdot \|}$يرمز إلى مقياس ليبيغ. هذا${\displaystyle \lambda }$يُطلق عليه شدة العملية النقطية. العملية النقطية المستقرة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$يكاد يكون من المؤكد أن يكون عدد النقاط الإجمالي إما صفرًا أو عددًا لا نهائيًا. لمزيد من المعلومات حول عمليات النقاط الثابتة والقياس العشوائي، يُرجى الرجوع إلى الفصل 12 من كتاب دالي وفير-جونز. ^{[ 2 ]} تم تعريف ودراسة الثبات لعمليات النقاط في فضاءات أكثر عمومية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

تحويل عملية النقطة هو دالة تقوم بتحويل عملية نقطة إلى عملية نقطة أخرى.

أبسط مثال وأكثرها شيوعًا لعملية النقاط هو عملية بواسون النقطية ، وهي تعميم مكاني لعملية بواسون . يمكن وصف عملية بواسون (العد) على الخط بخاصيتين  : عدد النقاط (أو الأحداث) في فترات منفصلة مستقل ويتبع توزيع بواسون . يمكن أيضًا تعريف عملية بواسون النقطية باستخدام هاتين الخاصيتين. أي، نقول إن عملية النقاط${\displaystyle \xi }$تكون عملية نقطة بواسون إذا تحقق الشرطان التاليان

1)${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$مستقلة بالنسبة للمجموعات الفرعية المنفصلة ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}.}$

2) لأي مجموعة جزئية محدودة${\displaystyle B}$،${\displaystyle \xi (B)}$له توزيع بواسون بمعامل${\displaystyle \lambda \|B\|,}$أين ${\displaystyle \|\cdot \|}$يشير إلى مقياس ليبيغ .

يمكن دمج الشرطين وكتابتهما على النحو التالي  : لأي مجموعات جزئية محدودة منفصلة${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$والأعداد الصحيحة غير السالبة${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$لدينا ذلك

${\displaystyle \Pr[\xi (B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod _{i}e^{-\lambda \|B_{i}\|}{\frac {(\lambda \|B_{i}\|)^{k_{i}}}{k_{i}!}}.}$

الثابت${\displaystyle \lambda }$يُطلق عليه اسم شدة عملية بواسون النقطية. لاحظ أن عملية بواسون النقطية تتميز بمعامل واحد.${\displaystyle \lambda .}$إنها عملية نقطية بسيطة وثابتة. وبشكل أدق، تُسمى العملية النقطية المذكورة أعلاه عملية بواسون نقطية متجانسة. أما عملية بواسون غير المتجانسة، فتُعرَّف كما سبق، ولكن باستبدال${\displaystyle \lambda \|B\|}$مع${\displaystyle \int _{B}\lambda (x)\,dx}$أين${\displaystyle \lambda }$دالة غير سالبة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

عملية كوكس (نسبةً إلى السير ديفيد كوكس ) هي تعميم لعملية بواسون النقطية، حيث نستخدم مقاييس عشوائية بدلاً من${\displaystyle \lambda \|B\|}$بصورة أكثر رسمية، دع${\displaystyle \Lambda }$ليكن مقياسًا عشوائيًا . عملية كوكس النقطية مدفوعة بالمقياس العشوائي${\displaystyle \Lambda }$هي عملية النقطة${\displaystyle \xi }$مع الخاصيتين التاليتين  :

1. منح${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$،${\displaystyle \xi (B)}$يتم توزيعها وفقًا لتوزيع بواسون ذي المعامل${\displaystyle \Lambda (B)}$لأي مجموعة جزئية محدودة${\displaystyle B.}$
2. لأي مجموعة منتهية من المجموعات الجزئية المنفصلة${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$وبشرط${\displaystyle \Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),}$لدينا ذلك${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$مستقلون.

من السهل ملاحظة أن عملية بواسون النقطية (المتجانسة وغير المتجانسة) هي حالات خاصة من عمليات كوكس النقطية. ويُعرَّف متوسط ​​قياس عملية كوكس النقطية بأنه${\displaystyle E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )}$وبالتالي، في الحالة الخاصة لعملية بواسون النقطية، يكون${\displaystyle \lambda \|\cdot \|.}$

بالنسبة لعملية نقطة كوكس،${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$يُطلق عليه مقياس الشدة . علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$له كثافة (عشوائية) ( مشتق رادون-نيكوديم )${\displaystyle \lambda (\cdot )}$أي،

${\displaystyle \Lambda (B)\,{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\,\int _{B}\lambda (x)\,dx,}$

ثم${\displaystyle \lambda (\cdot )}$يُطلق عليه اسم حقل الكثافة لعملية كوكس النقطية. وتدل استقرارية مقاييس الكثافة أو حقول الكثافة على استقرارية عمليات كوكس النقطية المقابلة.

هناك العديد من الفئات المحددة لعمليات كوكس النقطية التي تمت دراستها بالتفصيل مثل:

• عمليات كوكس النقطية اللوغاريتمية الغاوسية: ^{[ 19 ]}${\displaystyle \lambda (y)=\exp(X(y))}$بالنسبة لحقل عشوائي غاوسي${\displaystyle X(\cdot )}$
• عمليات نقطة كوكس للضوضاء الناتجة عن الطلقات:، ^{[ 20 ]}${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$لعملية نقطة بواسون${\displaystyle \Phi (\cdot )}$والنواة${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• عمليات نقطة كوكس للضوضاء العشوائية المعممة: ^{[ 21 ]}${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$بالنسبة لعملية نقطية${\displaystyle \Phi (\cdot )}$والنواة${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• عمليات كوكس النقطية القائمة على ليفي: ^{[ 22 ]}${\displaystyle \lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)}$على أساس ضريبة ليفي${\displaystyle L(\cdot )}$والنواة${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$، و
• عمليات كوكس النقطية الدائمة: ^{[ 23 ]}${\displaystyle \lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)}$لـ k من الحقول العشوائية الغاوسية المستقلة${\displaystyle X_{i}(\cdot )}$'s
• عمليات كوكس النقطية الغاوسية السينية: ^{[ 24 ]}${\displaystyle \lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))}$بالنسبة لحقل عشوائي غاوسي${\displaystyle X(\cdot )}$وعشوائي${\displaystyle \lambda ^{\star }>0}$

باستخدام متباينة جنسن، يمكن التحقق من أن عمليات كوكس النقطية تحقق المتباينة التالية: لجميع المجموعات الجزئية المحدودة من بوريل${\displaystyle B}$،

${\displaystyle \operatorname {Var} (\xi (B))\geq \operatorname {Var} (\xi _{\alpha }(B)),}$

أين${\displaystyle \xi _{\alpha }}$يرمز إلى عملية بواسون النقطية ذات مقياس الكثافة${\displaystyle \alpha (\cdot ):=E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot ).}$وبالتالي، تتوزع النقاط بتفاوت أكبر في عملية كوكس النقطية مقارنةً بعملية بواسون النقطية. ويُطلق على هذه الخاصية أحيانًا اسم خاصية التكتل أو خاصية الجذب في عملية كوكس النقطية.

تُعد عمليات النقاط المحددة فئة مهمة من عمليات النقاط، ولها تطبيقات في الفيزياء ^ونظرية المصفوفات العشوائية والتوافقية . [ ^{25 ]}

عملية هوكس${\displaystyle N_{t}}$تُعرف أيضًا باسم عملية العد ذاتية الإثارة، وهي عملية نقطية بسيطة يمكن التعبير عن شدتها الشرطية على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)\,dN_{s}\\[5pt]&=\mu (t)+\sum _{T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{aligned}}}$

أين ${\displaystyle \nu$ :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}} هي دالة نواة تعبر عن التأثير الإيجابي للأحداث الماضية${\displaystyle T_{i}}$بناءً على القيمة الحالية لعملية الشدة${\displaystyle \lambda (t)}$،${\displaystyle \mu (t)}$هي دالة قد تكون غير مستقرة، تمثل الجزء المتوقع أو القابل للتنبؤ أو الحتمي من الشدة، و${\displaystyle \{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R} }$يمثل وقت حدوث الحدث رقم i من العملية. ^{[ 26 ]}

بافتراض وجود سلسلة من المتغيرات العشوائية غير السالبة${\textstyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$إذا كانت مستقلة ودالة التوزيع التراكمي لـ${\displaystyle X_{k}}$يُعطى بواسطة${\displaystyle F(a^{k-1}x)}$ل${\displaystyle k=1,2,\dots }$، أين${\displaystyle a}$إذا كان ثابتًا موجبًا، فإن${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\ldots \}}$يُطلق عليه اسم العملية الهندسية (GP). ^{[ 27 ]}

تتضمن العملية الهندسية عدة امتدادات، بما في ذلك عملية سلسلة ألفا ^{[ 28 ]} والعملية الهندسية المزدوجة . ^{[ 29 ]}

تُعرَّف شدة λ ( t |  H t ₎ لعملية نقطية على نصف الخط الحقيقي بالنسبة للترشيح H _t على النحو التالي: 

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),}$

يمكن أن يشير H _t إلى تاريخ أوقات نقاط الأحداث السابقة للوقت t ولكن يمكن أن يتوافق أيضًا مع عمليات ترشيح أخرى (على سبيل المثال في حالة عملية كوكس).

في${\displaystyle N(t)}$باستخدام الترميز -، يمكن كتابة ذلك بشكل أكثر اختصارًا:

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t}).}$

المعوض لعملية نقطية، والمعروف أيضًا باسم الإسقاط ثنائي التنبؤ ، هو دالة الكثافة الشرطية المتكاملة المعرفة بواسطة

${\displaystyle \Lambda (s,u)=\int _{s}^{u}\lambda (t\mid H_{t})\,\mathrm {d} t}$

دالة كثافة بابانجيلو لعملية نقطية${\displaystyle N}$في${\displaystyle n}$فضاء إقليدي ذو أبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},}$

أين${\displaystyle B_{\delta }(x)}$هل الكرة متمركزة عند${\displaystyle x}$نصف قطر${\displaystyle \delta }$، و${\displaystyle \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]}$ يشير إلى معلومات عملية النقطة${\displaystyle N}$ الخارج${\displaystyle B_{\delta }(x)}$.

يُكتب الاحتمال اللوغاريتمي لعملية نقطية بسيطة ذات معلمات، مشروطة ببعض البيانات المرصودة، على النحو التالي:

${\displaystyle \ln {\mathcal {L}}(N(t)_{t\in [0,T]})=\int _{0}^{T}(1-\lambda (s))\,ds+\int _{0}^{T}\ln \lambda (s)\,dN_{s}}$^{[ 31 ]}