عملية معالجة النقاط

تتضمن عملية التخفيف استخدام قاعدة محددة مسبقًا لإزالة النقاط من عملية النقاط${\displaystyle \textstyle {N}}$لتشكيل عملية نقطية جديدة${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$قد تكون قواعد التخفيف هذه حتمية، أي ليست عشوائية، وهو الحال بالنسبة لإحدى أبسط القواعد المعروفة باسم${\displaystyle \textstyle p}$-الترقيق: ^{[ 1 ]} كل نقطة من${\displaystyle \textstyle {N}}$يتم إزالته (أو الاحتفاظ به) بشكل مستقل باحتمالية معينة${\displaystyle \textstyle p}$(أو${\displaystyle \textstyle 1-p}$يمكن تعميم هذه القاعدة بإدخال دالة غير سالبة.${\displaystyle \textstyle p(x)\leq 1}$من أجل تحديد التبعية الموقعية${\displaystyle \textstyle p(x)}$- التخفيف حيث يكون احتمال إزالة نقطة ما هو${\displaystyle \textstyle p(x)}$ ويعتمد ذلك على مكان نقطة${\displaystyle \textstyle {N}}$يقع في الفضاء الأساسي. ومن التعميمات الأخرى أن يكون احتمال التخفيف${\displaystyle \textstyle p}$عشوائية بحد ذاتها.

تُعدّ هذه العمليات الثلاث جميعها أنواعًا من التخفيف المستقل، ما يعني أن التفاعل بين النقاط لا يؤثر على مكان إزالة النقطة (أو الاحتفاظ بها). وهناك تعميم آخر يتمثل في التخفيف التابع، حيث تُزال نقاط عملية النقاط (أو تُحتفظ بها) بناءً على موقعها بالنسبة إلى نقاط أخرى في عملية النقاط. ويمكن استخدام التخفيف لإنشاء عمليات نقاط جديدة، مثل عمليات النواة الصلبة، حيث لا توجد نقاط (بسبب التخفيف) ضمن نصف قطر معين حول كل نقطة في عملية النقاط المُخفّفة. ^{[ 1 ]}

تُستخدم عملية التراكب لدمج عمليتين نقطيتين أو أكثر معًا في فضاء رياضي أساسي واحد أو فضاء حالة واحد. إذا كانت هناك مجموعة قابلة للعد أو مجموعة من العمليات النقطية${\displaystyle \textstyle {N} _ {1}، {N} _ {2} \dots }$مع مقاييس متوسطة${\displaystyle \textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots }$ثم تراكبهما

${\displaystyle {N}=\bigcup _{i=1}^{\infty }{N}_{i},}$

يشكل أيضًا عملية نقطية. في هذا التعبير، يُرمز لعملية التراكب باتحاد مجموعة ، مما يعني تفسير العمليات النقطية على أنها مجموعة عشوائية؛ انظر تدوين العمليات النقطية لمزيد من المعلومات.

تتضمن عملية النقاط المعروفة باسم التجميع استبدال كل نقطة${\displaystyle \textstyle x}$في عملية نقطية معينة${\displaystyle \textstyle {N}}$مع مجموعة من النقاط${\displaystyle \textstyle N^{x}}$كل مجموعة هي أيضًا عملية نقطية، ولكن بعدد محدود من النقاط. يشكل اتحاد جميع المجموعات عملية نقطية عنقودية.

${\displaystyle {N}_{c}=\bigcup _{x\in {N}}N^{x}.}$

غالباً ما يُفترض أن التجمعات${\displaystyle \textstyle N^{x}}$ جميعها مجموعات من النقاط المحدودة، كل مجموعة مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا . علاوة على ذلك، إذا كانت عملية النقطة الأصلية${\displaystyle \textstyle {N}}$له شدة ثابتة${\displaystyle \textstyle \lambda }$ثم شدة عملية نقطة التكتل${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$سيكون

${\displaystyle \lambda _{c}=c\lambda ,}$

حيث الثابت${\displaystyle \textstyle c}$هو متوسط ​​عدد النقاط في كل${\displaystyle \textstyle N^{x}}$.

قد يتطلب النموذج الرياضي تحريك نقاط عملية نقطية عشوائيًا من مواقع معينة إلى مواقع أخرى في الفضاء الرياضي الأساسي . ^{[ 2 ]} تُعرف عملية العملية النقطية هذه بالإزاحة العشوائية ^{[ 2 ]} أو الانتقال . ^{[ 4 ]} إذا تم إزاحة أو انتقال كل نقطة في العملية بشكل مستقل إلى جميع النقاط الأخرى في العملية، فإن العملية تُشكل إزاحة أو انتقالًا مستقلًا . ^{[ 4 ]} يُفترض عادةً أن جميع الانتقالات العشوائية لها توزيع احتمالي مشترك ؛ وبالتالي، تُشكل الإزاحات مجموعة من المتجهات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع في الفضاء الرياضي الأساسي.

يمكن استخدام تطبيق الإزاحات أو الانتقالات العشوائية على العمليات النقطية كنماذج رياضية لحركة الأجسام في مجالات مثل علم البيئة ^{[ 2 ]} أو الشبكات اللاسلكية. ^{[ 5 ]}

ومن الخصائص الأخرى المفيدة القدرة على تحويل عملية نقطية من فضاء أساسي إلى آخر. على سبيل المثال، يمكن تحويل عملية نقطية معرفة على المستوى ^R² من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية . ^{[ 2 ]}