تقدير كثافة النواة

في الإحصاء ، يُعد تقدير كثافة النواة ( KDE ) تطبيقًا لتنعيم النواة لتقدير كثافة الاحتمال ، أي أنه أسلوب غير معلمي لتقدير دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي بالاعتماد على النوى كأوزان . يُجيب KDE على مشكلة أساسية في تنعيم البيانات، حيث تُستخلص استنتاجات حول المجتمع بناءً على عينة بيانات محدودة . في بعض المجالات، مثل معالجة الإشارات والاقتصاد القياسي، يُطلق عليه أيضًا اسم طريقة نافذة بارزن-روزنبلات ، نسبةً إلى إيمانويل بارزن وموراي روزنبلات ، اللذين يُنسب إليهما الفضل عادةً في ابتكاره بشكل مستقل في صورته الحالية. ^{[ 1 ] [ 2 ]} من أشهر تطبيقات تقدير كثافة النواة تقدير الكثافات الحدية المشروطة بالفئة للبيانات عند استخدام مصنف بايز الساذج ، مما يُحسّن دقة التنبؤ. ^{[ 3 ]}

يترك${\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},x_{3},...\right)}$لنفترض أن لدينا عينات مستقلة ومتطابقة التوزيع مسحوبة من توزيع أحادي المتغير ذي كثافة غير معروفة f عند أي نقطة معطاة x . نهتم بتقدير شكل هذه الدالة f . مقدر كثافة النواة لها هو $${\displaystyle {\hat {f}}_{h}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})={\frac {1}{nh}}\sum _{i=1}^{n}K{\left({\frac {x-x_{i}}{h}}\right)},}$$ حيث K هي دالة النواة - وهي دالة غير سالبة - و h > 0 هو معامل تنعيم يُسمى عرض النطاق أو ببساطة العرض. ^{[ 3 ]} تُسمى دالة النواة ذات الرمز السفلي h دالة النواة المُقاسة، وتُعرَّف على النحو التالي: K h ( x ) = 1 / h K ( x / h ) . من _{البديهي} أن نرغب في اختيار h بأصغر قيمة ممكنة تسمح بها البيانات ؛ ومع ذلك ، هناك دائمًا مفاضلة بين انحياز المُقدِّر وتباينه. سيتم مناقشة اختيار عرض النطاق بمزيد من التفصيل لاحقًا .

تُستخدم عادةً مجموعة من دوال النواة : المنتظمة، والمثلثة، وثنائية الوزن، وثلاثية الوزن، وإيبانشنيكوف (المكافئة)، والطبيعية، وغيرها. تُعد نواة إيبانشنيكوف مثالية من حيث متوسط ​​مربع الخطأ، ^{[ 4 ]} على الرغم من أن فقدان الكفاءة ضئيل بالنسبة للنوى المذكورة سابقًا. ^{[ 5 ]} نظرًا لخصائصها الرياضية الملائمة، تُستخدم النواة الطبيعية غالبًا، أي K ( x ) = ϕ ( x ) ، حيث ϕ هي دالة الكثافة الطبيعية القياسية . يصبح مُقدِّر كثافة النواة عندئذٍ $${\displaystyle {\hat {f}}_{h}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{h{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-x_{i})^{2}}{2h^{2}}}\right),}$$ أين${\displaystyle h}$يمثل الانحراف المعياري للعينة${\displaystyle \mathbf {x} }$.

يجد بناء تقدير كثافة النواة تفسيرات في مجالات خارج نطاق تقدير الكثافة. ^{[ 6 ]} على سبيل المثال، في الديناميكا الحرارية ، يُعادل هذا كمية الحرارة المتولدة عند وضع نوى حرارية (الحل الأساسي لمعادلة الحرارة ) عند كل موقع من مواقع نقاط البيانات xᵢ _. تُستخدم طرق مماثلة لبناء مؤثرات لابلاس المنفصلة على سحب النقاط لتعلم التنوع (مثل خريطة الانتشار ).

ترتبط تقديرات كثافة النواة ارتباطًا وثيقًا بالرسوم البيانية ، ولكن يمكن إضفاء خصائص مثل السلاسة أو الاستمرارية عليها باستخدام نواة مناسبة. يوضح الرسم البياني أدناه، المستند إلى نقاط البيانات الست هذه، هذه العلاقة:

بالنسبة للمدرج التكراري، يُقسّم المحور الأفقي أولاً إلى فترات فرعية أو فئات تغطي نطاق البيانات: في هذه الحالة، ست فئات، كل منها بعرض 2. عندما تقع نقطة بيانات داخل هذه الفترة، يُوضع مربع بارتفاع 1/12 منها. إذا وقعت أكثر من نقطة بيانات داخل نفس الفئة، تُكدّس المربعات فوق بعضها.

لتقدير كثافة النواة، تُوضع نوى طبيعية بانحراف معياري قدره 1.5 (مُشار إليها بالخطوط الحمراء المتقطعة) على كل نقطة من نقاط البيانات xᵢ _. تُجمع هذه النوى للحصول على تقدير كثافة النواة (المنحنى الأزرق المتصل). يُوضح سلاسة تقدير كثافة النواة (مقارنةً بتقطع المدرج التكراري) كيف تتقارب تقديرات كثافة النواة بشكل أسرع نحو الكثافة الحقيقية الكامنة للمتغيرات العشوائية المستمرة. ^{[ 7 ]}

يُعدّ عرض نطاق النواة مُعاملًا حرًا يُؤثر تأثيرًا كبيرًا على التقدير الناتج. ولتوضيح هذا التأثير، نأخذ عينة عشوائية مُحاكاة من التوزيع الطبيعي القياسي (مُمثلة بالنقاط الزرقاء في الرسم البياني على المحور الأفقي). يُمثل المنحنى الرمادي الكثافة الحقيقية (كثافة طبيعية بمتوسط ​​0 وتباين 1). في المقابل، يُعتبر المنحنى الأحمر غير مُنعم بشكل كافٍ لاحتوائه على العديد من البيانات الزائفة الناتجة عن استخدام عرض نطاق h = 0.05، وهو صغير جدًا. أما المنحنى الأخضر فهو مُنعم بشكل زائد لأن استخدام عرض نطاق h = 2 يُخفي جزءًا كبيرًا من البنية الأساسية. يُعتبر المنحنى الأسود ذو عرض النطاق h = 0.337 مُنعمًا بشكل مثالي لأن تقدير كثافته قريب من الكثافة الحقيقية. وتُصادف حالة متطرفة في النهاية.${\displaystyle h\to 0}$(بدون تنعيم)، حيث يكون التقدير عبارة عن مجموع n من دوال دلتا متمركزة عند إحداثيات العينات التي تم تحليلها. في الحد الأقصى الآخر${\displaystyle h\to \infty }$يحتفظ التقدير بشكل النواة المستخدمة، متمركزًا على متوسط ​​العينات (سلس تمامًا).

المعيار الأمثل الأكثر شيوعًا المستخدم لاختيار هذه المعلمة هو دالة المخاطرة المتوقعة L2 _، والتي تسمى أيضًا متوسط ​​الخطأ التربيعي المتكامل :

$${\displaystyle \operatorname {MISE} (h)=\operatorname {E} \!\left[\int \!{\left({\hat {f}}\!_{h}(x)-f(x)\right)}^{2}dx\right]}$$

في ظل افتراضات ضعيفة على f و K ، ( f هي دالة الكثافة الحقيقية غير المعروفة بشكل عام)، ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle \operatorname {MISE} (h)=\operatorname {AMISE} (h)+{\mathcal {o}}{\left((nh)^{-1}+h^{4}\right)}}$$

حيث يُمثل o رمز o الصغير ، و n حجم العينة (كما سبق). ويُعرف AMISE بأنه MISE التقاربي، أي الحدّان الرئيسيان.

$${\displaystyle \operatorname {AMISE} (h)={\frac {R(K)}{nh}}+{\frac {1}{4}}m_{2}(K)^{2}h^{4}R(f'')}$$

أين${\textstyle R(g)=\int g(x)^{2}\,dx}$بالنسبة للدالة g ،${\textstyle m_{2}(K)=\int x^{2}K(x)\,dx}$ و${\displaystyle f''}$هي المشتقة الثانية لـ${\displaystyle f}$و${\displaystyle K}$هي النواة. الحد الأدنى لهذه الدالة AMISE هو حل هذه المعادلة التفاضلية

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial h}}\operatorname {AMISE} (h)=-{\frac {R(K)}{nh^{2}}}+m_{2}(K)^{2}h^{3}R(f'')=0}$$

أو

$${\displaystyle h_{\operatorname {AMISE} }={\frac {R(K)^{1/5}}{m_{2}(K)^{2/5}R(f'')^{1/5}}}n^{-1/5}=Cn^{-1/5}}$$

لا يمكن استخدام صيغتي AMISE و h _{AMISE بشكل مباشر لأنهما تتضمنان دالة الكثافة المجهولة}${\displaystyle f}$أو مشتقها الثاني${\displaystyle f''}$. To overcome that difficulty, a variety of automatic, data-based methods have been developed to select the bandwidth. Several review studies have been undertaken to compare their efficacies,^{[8][9][10][11][12][13][14]} with the general consensus that the plug-in selectors^[6][15][16] and cross validation selectors^[17][18][19] are the most useful over a wide range of data sets.

Substituting any bandwidth h which has the same asymptotic order n^−1/5 as h_AMISE into the AMISE gives that AMISE(h) = O(n^−4/5), where O is the big O notation. It can be shown that, under weak assumptions, there cannot exist a non-parametric estimator that converges at a faster rate than the kernel estimator.^[20] Note that the n^−4/5 rate is slower than the typical n⁻¹ convergence rate of parametric methods.

If the bandwidth is not held fixed, but is varied depending upon the location of either the estimate (balloon estimator) or the samples (pointwise estimator), this produces a particularly powerful method termed adaptive or variable bandwidth kernel density estimation.

Bandwidth selection for kernel density estimation of heavy-tailed distributions is relatively difficult.^[21]

A rule-of-thumb bandwidth estimator

If Gaussian basis functions are used to approximate univariate data, and the underlying density being estimated is Gaussian, the optimal choice for h (that is, the bandwidth that minimises the mean integrated squared error) is:^[22]

$${\displaystyle h={\left({\frac {4{\hat {\sigma }}^{5}}{3n}}\right)}^{1/5}\approx 1.06\,{\hat {\sigma }}\,n^{-1/5},}$$

An ${\displaystyle h}$ value is considered more robust when it improves the fit for long-tailed and skewed distributions or for bimodal mixture distributions. This is often done empirically by replacing the standard deviation${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ by the parameter ${\displaystyle A}$ below:

$${\displaystyle A=\min \left({\hat {\sigma }},{\frac {\mathrm {IQR} }{1.34}}\right)}$$ where IQR is the interquartile range.

ومن التعديلات الأخرى التي من شأنها تحسين النموذج تقليل العامل من 1.06 إلى 0.9. وبذلك ستكون الصيغة النهائية كما يلي:

$${\displaystyle h=0.9\,\min \left({\hat {\sigma }},{\frac {\mathrm {IQR} }{1.34}}\right)\,n^{-1/5}}$$ أين${\displaystyle n}$حجم العينة.

يُطلق على هذا التقريب اسم تقريب التوزيع الطبيعي ، أو تقريب غاوس، أو قاعدة سيلفرمان التقريبية . ^{[ 22 ]} على الرغم من سهولة حساب هذه القاعدة التقريبية، إلا أنه ينبغي استخدامها بحذر لأنها قد تُعطي تقديرات غير دقيقة بشكل كبير عندما لا يكون التوزيع قريبًا من التوزيع الطبيعي. على سبيل المثال، عند تقدير نموذج خليط غاوسي ثنائي النمط$${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x-10)^{2}}+{\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x+10)^{2}}}$$ من عينة مكونة من 200 نقطة، يوضح الشكل على اليمين الكثافة الحقيقية وتقديرين لكثافة النواة - أحدهما باستخدام عرض النطاق التقريبي، والآخر باستخدام عرض نطاق حل المعادلة. ^{[ 6 ] [ 16 ]} التقدير المستند إلى عرض النطاق التقريبي مُفرط التنعيم بشكل ملحوظ.

بالنظر إلى العينة ( x1 _، x2 _، ...، _xn ) ، فمن الطبيعي تقدير الدالة المميزة φ ( t ) = E[ e ^_itX ] على النحو التالي :$${\displaystyle {\hat {\varphi }}(t)={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{itx_{j}}}$$ بمعرفة الدالة المميزة، يمكن إيجاد دالة كثافة الاحتمال المقابلة لها باستخدام صيغة تحويل فورييه . إحدى الصعوبات في تطبيق هذه الصيغة العكسية هي أنها تؤدي إلى تكامل متباعد، لأن التقدير${\displaystyle {\hat {\varphi }}(t)}$يكون غير موثوق به لقيم t الكبيرة . ولتجاوز هذه المشكلة، فإن المُقدِّر${\displaystyle {\hat {\varphi }}(t)}$يُضرب في دالة تخميد ψ _h ( t ) = ψ ( ht ) ، والتي تساوي 1 عند نقطة الأصل ثم تتلاشى إلى 0 عند اللانهاية. يتحكم "معامل عرض النطاق" h في سرعة محاولة تخميد الدالة.${\displaystyle {\hat {\varphi }}(t)}$على وجه الخصوص، عندما تكون قيمة h صغيرة، فإن ψ _h ( t ) ستكون مساوية تقريبًا للواحد لنطاق واسع من قيم t ، مما يعني أن${\displaystyle {\hat {\varphi }}(t)}$يبقى دون تغيير عمليًا في أهم منطقة من t 's.

الخيار الأكثر شيوعًا للدالة ψ هو إما الدالة المنتظمة ψ ( t ) = 1 {−1 ≤ t ≤ 1} ، والتي تعني فعليًا تقليص فترة التكامل في صيغة الانعكاس إلى [ −1/ h , 1/ h ] ، أو الدالة الغاوسية ψ ( t ) = e⁻πt² ^. بمجرد اختيار الدالة ψ ، ^يمكن تطبيق صيغة الانعكاس، وسيكون مُقدِّر الكثافة $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {\varphi }}(t)\psi _{h}(t)e^{-itx}\,dt\\[1ex]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{it(x_{j}-x)}\psi (ht)\,dt\\[1ex]&={\frac {1}{nh}}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-i(ht){\frac {x-x_{j}}{h}}}\psi (ht)\,d(ht)\\[1ex]&={\frac {1}{nh}}\sum _{j=1}^{n}K{\left({\frac {x-x_{j}}{h}}\right)},\end{aligned}}}$$

حيث K هو تحويل فورييه لدالة التخميد ψ . وبالتالي فإن مقدر كثافة النواة يتطابق مع مقدر كثافة الدالة المميزة.

يمكننا توسيع تعريف النمط (العالمي) ليشمل المعنى المحلي وتحديد الأنماط المحلية:

$${\displaystyle M=\{x:g(x)=0\mid \lambda _{1}(x)<0\}}$$

أي،${\displaystyle M}$هي مجموعة النقاط التي تكون عندها دالة الكثافة في أقصى قيمة لها محليًا. وهي مُقدِّر طبيعي لـ${\displaystyle M}$هو إضافة من KDE، ^{[ 23 ] [ 24 ]} حيث${\displaystyle g(x)}$و${\displaystyle \lambda _{1}(x)}$هي نسخة KDE من${\displaystyle g(x)}$و${\displaystyle \lambda _{1}(x)}$في ظل افتراضات بسيطة،${\displaystyle M_{c}}$هو مُقدِّر ثابت لـ${\displaystyle M}$تجدر الإشارة إلى أنه يمكن استخدام خوارزمية إزاحة المتوسط ^{​​[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} لحساب المُقدِّر${\displaystyle M_{c}}$عدديا.

تتضمن قائمة غير شاملة لتطبيقات البرامج لتقدير كثافة النواة ما يلي:

• في إصدار Analytica 4.4، يستخدم خيار التنعيم لنتائج PDF KDE، وهو متاح من خلال التعبيرات عبر الوظيفة المضمنة Pdf.
• في لغتي C و C++ ، تُعدّ FIGTree مكتبةً تُستخدم لحساب تقديرات كثافة النواة باستخدام النوى العادية. تتوفر واجهة MATLAB لها.
• في لغة C++ ، libagf هي مكتبة لتقدير كثافة النواة المتغيرة .
• في لغة C++ ، تُعدّ mlpack مكتبةً لحساب كثافة النواة باستخدام العديد من النوى المختلفة. وتتيح هذه المكتبة تحديد هامش خطأ لتسريع الحساب. كما تتوفر واجهات برمجة تطبيقات بلغة Python و R.
• في لغتي C# و F# ، تعد مكتبة Math.NET Numerics مكتبة مفتوحة المصدر للحسابات العددية والتي تتضمن تقدير كثافة النواة.
• في برنامج CrimeStat ، يتم تطبيق تقدير كثافة النواة باستخدام خمس دوال نواة مختلفة: التوزيع الطبيعي، والتوزيع المنتظم، والتوزيع الرباعي، والتوزيع الأسي السالب، والتوزيع المثلثي. تتوفر إجراءات تقدير كثافة النواة الأحادية والثنائية. كما يُستخدم تقدير كثافة النواة في استيفاء إجراء Head Bang، وفي تقدير دالة كثافة مسار الجريمة ثنائية الأبعاد، وفي تقدير مسار الجريمة ثلاثي الأبعاد باستخدام طريقة بايز.
• في برنامج ELKI ، يمكن العثور على دوال كثافة النواة في الحزمةde.lmu.ifi.dbs.elki.math.statistics.kernelfunctions
• في منتجات ESRI ، تتم إدارة رسم خرائط كثافة النواة من خلال مجموعة أدوات Spatial Analyst وتستخدم نواة Quartic (ثنائية الوزن).
• في برنامج Excel ، قامت الجمعية الملكية للكيمياء بإنشاء وظيفة إضافية لتشغيل تقدير كثافة النواة بناءً على الموجز الفني رقم 4 للجنة الأساليب التحليلية .
• في gnuplot ، يتم تنفيذ تقدير كثافة النواة بواسطة smooth kdensityالخيار، ويمكن أن يحتوي ملف البيانات على وزن وعرض نطاق لكل نقطة، أو يمكن تعيين عرض النطاق تلقائيًا ^{[ 28 ]} وفقًا لـ "قاعدة سيلفرمان" (انظر أعلاه).
• في لغة هاسكل ، يتم تطبيق كثافة النواة في حزمة الإحصاءات .
• في برنامج IGOR Pro ، يتم تقدير كثافة النواة من خلال StatsKDEعملية (أضيفت في الإصدار 7.00 من Igor Pro). يمكن للمستخدم تحديد عرض النطاق الترددي أو تقديره باستخدام خوارزميات سيلفرمان، وسكوت، وبومان وأزاليني . أنواع النواة هي: إيبانيتشنيكوف، ثنائية الوزن، ثلاثية الوزن، مثلثية، غاوسية، ومستطيلة.
• في لغة جافا ، توفر حزمة التعلم الآلي Weka من بين أمور أخرى weka.estimators.KernelEstimator .
• في لغة جافا سكريبت ، توفر حزمة التصور D3.js حزمة KDE في حزمة science.stats الخاصة بها.
• في برنامج JMP ، تستخدم منصة Graph Builder تقدير كثافة النواة لتوفير مخططات كفافية ومناطق عالية الكثافة (HDRs) للكثافات ثنائية المتغيرات، ومخططات الكمان وHDRs للكثافات أحادية المتغيرات. تتيح أشرطة التمرير للمستخدم تغيير عرض النطاق. كما توفر منصتا Fit Y by X وDistribution تقديرات كثافة النواة ثنائية المتغيرات وأحادية المتغيرات، على التوالي.
• في لغة جوليا ، يتم تنفيذ تقدير كثافة النواة في حزمة KernelDensity.jl .
• في برنامج KNIME ، يمكن إنشاء ورسم توزيعات كثافة النواة أحادية وثنائية الأبعاد باستخدام عقد من مساهمة مجتمع Vernalis ، مثل رسم كثافة النواة أحادية الأبعاد ، وغيرها. وقد كُتبت آلية التنفيذ الأساسية بلغة Java .
• في MATLAB ، يتم تقدير كثافة النواة باستخدام ksdensityالدالة (من حزمة أدوات الإحصاء). بدءًا من إصدار 2018a من MATLAB، يُمكن تحديد كلٍ من عرض النطاق ومُنعِّم النواة، بالإضافة إلى خيارات أخرى مثل تحديد نطاق كثافة النواة. ^{[ 29 ]} بدلاً من ذلك، تتوفر حزمة برامج MATLAB مجانية تُطبِّق طريقة اختيار عرض النطاق التلقائي ^{[ 6 ]} من MATLAB Central File Exchange.
  • البيانات أحادية البعد
  • البيانات ثنائية الأبعاد
  • بيانات متعددة الأبعاد مؤرشفة في 2017-02-09 في Wayback Machine. تتوفر على هذه الصفحات مجموعة أدوات MATLAB مجانية مع تطبيق لانحدار النواة، وتقدير كثافة النواة، وتقدير النواة لدالة المخاطر، وغيرها الكثير (مجموعة الأدوات هذه جزء من الكتاب ^{[ 30 ]} ).
• في برنامج Mathematica ، يتم تنفيذ تقدير كثافة النواة العددية بواسطة الدالة SmoothKernelDistribution^{[ 31 ]} ويتم تنفيذ التقدير الرمزي باستخدام الدالة KernelMixtureDistribution^{[ 32 ]} وكلاهما يوفر نطاقات تردد تعتمد على البيانات.
• في برنامج Minitab ، قامت الجمعية الملكية للكيمياء بإنشاء ماكرو لتشغيل تقدير كثافة النواة بناءً على الموجز الفني رقم 4 للجنة الأساليب التحليلية الخاصة بهم. ^{[ 33 ]}
• في مكتبة NAG ، يتم تنفيذ تقدير كثافة النواة عبر g10baالروتين (المتوفر في كل من إصدارات Fortran ^{[ 34 ]} و C ^{[ 35 ]} من المكتبة).
• في Nuklei ، تركز طرق كثافة النواة المكتوبة بلغة C++ على البيانات من المجموعة الإقليدية الخاصة${\displaystyle SE(3)}$.
• في برنامج Octave ، يتم تنفيذ تقدير كثافة النواة بواسطة kernel_densityالخيار (حزمة الاقتصاد القياسي).
• في برنامج Origin ، يمكن إنشاء مخطط كثافة النواة ثنائي الأبعاد من واجهة المستخدم الخاصة به، ويمكن استخدام وظيفتين، Ksdensity لـ 1D و Ks2density لـ 2D، من خلال LabTalk الخاص به ( مؤرشف في 2014-10-19 في Wayback Machine) ، أو Python ، أو C.
• في لغة بيرل ، يمكن العثور على تطبيق في وحدة Statistics-KernelEstimation
• في لغة PHP ، يمكن العثور على تطبيق في مكتبة MathPHP
• في بايثون ، توجد العديد من التطبيقات: وحدة pyqt_fit.kde في حزمة PyQt-Fit ، و SciPy ، و scipy.stats.gaussian_kdeStatsmodels ، و scikit-learn ( انظر المقارنة ^{[ 36 ]} ). يدعم KDEpy البيانات الموزونة، وتطبيقه لتحويل فورييه السريع (FFT) أسرع بكثير من التطبيقات الأخرى. مكتبة pandas شائعة الاستخدام.KDEUnivariateKDEMultivariateKernelDensityيوفر الدعم لرسم كثافة الطاقة (kde) من خلال طريقة الرسم (df.plot(kind='kde')تدعم حزمة getdist لعينات MCMC الموزونة والمترابطة عرض النطاق الأمثل، وتصحيح الحدود، وطرق الرتبة العليا للتوزيعات أحادية وثنائية الأبعاد. ومن الحزم المستخدمة حديثًا لتقدير كثافة النواة حزمة seaborn ( import seaborn as sns, sns.kdeplot()). ^{[ 37 ]} كما يوجد تطبيق لتقدير كثافة النواة على وحدة معالجة الرسومات (GPU). ^{[ 38 ]}
• في لغة R ، يتم تنفيذ ذلك من خلال densityالتوزيع الأساسي، وتُستخدم bw.nrd0الدالة في حزمة الإحصاءات، حيث تستخدم هذه الدالة الصيغة المُحسّنة في كتاب سيلفرمان. تتوفر هذه الدالة في مكتبة KernSmooth، ومكتبة DataVisualizations (لتقدير كثافة توزيع باريتو)، ومكتبة ks، ومكتبة evmixbkde ( لتقدير كثافة ParetoDensityEstimationالنواة المصححة للحدود ذات الدعمkde المحدود ) ، dkdenومكتبة dbckdennp ( للبيانات العددية والفئوية ) ، ومكتبة sm . للاطلاع على تطبيق للدالة لا يتطلب تثبيت أي حزم أو مكتبات، يُرجى مراجعة kde.R. تُنفذ مكتبة btb ، المُخصصة للتحليل الحضري، تقدير كثافة النواة من خلال ...npudenssm.densitykde.Rkernel_smoothing
• في برنامج SAS ، proc kdeيمكن استخدامه لتقدير كثافات النواة أحادية المتغير وثنائية المتغير.
• في Apache Spark ، KernelDensity()الفئة ^{[ 39 ]}
• في برنامج Stata ، يتم تنفيذ ذلك من خلال kdensity[ ^{40 ] على} سبيل المثال histogram x, kdensity. بدلاً من ذلك، تتوفر وحدة KDENS المجانية لبرنامج Stata ^{[ 41 ]} والتي تتيح للمستخدم تقدير دوال الكثافة أحادية البعد أو ثنائية البعد.
• في لغة Swift ، يتم تنفيذ ذلك من خلال SwiftStats.KernelDensityEstimationمكتبة الإحصاءات مفتوحة المصدر SwiftStats .

• النواة (الإحصائيات)
• التنعيم باستخدام النواة
• الانحدار باستخدام النواة
• تقدير الكثافة (مع عرض أمثلة أخرى)
• تحول المتوسط
• فضاء المقياس : تشكل الثلاثيات {( x , h , KDE مع عرض النطاق h الذي تم تقييمه عند x : جميع x , h > 0} تمثيل فضاء المقياس للبيانات.
• تقدير كثافة النواة متعددة المتغيرات
• تقدير كثافة النواة المتغيرة
• فرامل أمامية/خلفية

• هاردل، فولفجانج. مولر، مارلين. سبيرليش، ستيفان؛ ويرواتز، أكسل (2004). النماذج اللابارامترية وشبه البارامترية . سلسلة سبرينغر في الإحصاء. برلين هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ. ص 39 – 83. ISBN  978-3-540-20722-1.

• مقدمة في تقدير كثافة النواة: درس تعليمي قصير يحفز استخدام مقدرات كثافة النواة كتحسين على المدرجات التكرارية.
• تحسين عرض النطاق الترددي للنواة: أداة مجانية عبر الإنترنت تقوم بإنشاء تقدير مُحسَّن لكثافة النواة.
• يقوم برنامج مجاني عبر الإنترنت (حاسبة) بحساب تقدير كثافة النواة لسلسلة بيانات وفقًا للنوى التالية: غاوسي، إيبانشنيكوف، مستطيل، مثلثي، ثنائي الوزن، جيب التمام، وجيب التمام المكافئ.
• تطبيق تقدير كثافة النواة: مثال تفاعلي عبر الإنترنت لتقدير كثافة النواة. يتطلب .NET 3.0 أو إصدارًا أحدث.