المُقدِّر المتسق

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة
{ T1 , T2 , T3 , ...} هي متتالية من مُقدِّرات المعامل θ0 ، وقيمته الحقيقية تساوي 4. هذه المتتالية متسقة: إذ تتقارب المُقدِّرات أكثر فأكثر بالقرب من القيمة الحقيقية θ0 ؛ وفي الوقت نفسه ، تكون هذه المُقدِّرات متحيزة. التوزيع الحدي لهذه المتتالية هو متغير عشوائي مُنحطّ يساوي θ0 باحتمال 1.

في الإحصاء ، يُعرف المُقدِّر المتسق أو المُقدِّر المتسق تقاربياً بأنه مُقدِّر - قاعدة لحساب تقديرات المعلمة θ₀ - يتميز بخاصية أنه مع ازدياد عدد نقاط البيانات المستخدمة إلى ما لا نهاية، يتقارب تسلسل التقديرات الناتج احتمالياً إلى θ₀ . وهذا يعني أن توزيعات التقديرات تصبح أكثر تركيزاً بالقرب من القيمة الحقيقية للمعلمة المُقدَّرة، بحيث يتقارب احتمال أن يكون المُقدِّر قريباً من θ₀ إلى واحد .

عمليًا، يُبنى المُقدِّر كدالة لعينة متاحة بحجم n ، ثم يُتخيَّل إمكانية الاستمرار في جمع البيانات وتوسيع العينة إلى ما لا نهاية . بهذه الطريقة، نحصل على سلسلة من التقديرات مُفهرسة بـ n ، والاتساق خاصية لما يحدث عندما "يكبر" حجم العينة إلى ما لا نهاية. إذا أمكن إثبات رياضيًا أن سلسلة التقديرات تتقارب احتماليًا مع القيمة الحقيقية θ₀ ، يُطلق عليها مُقدِّر متسق؛ وإلا يُقال إن المُقدِّر غير متسق .

يُشار أحيانًا إلى الاتساق، كما هو مُعرَّف هنا، بالاتساق الضعيف . عندما نستبدل التقارب في الاحتمالية بالتقارب شبه المؤكد ، يُقال حينها إن المُقدِّر متسق بقوة . يرتبط الاتساق بالتحيز ؛ انظر: التحيز مقابل الاتساق .

تعريف

وبصورة رسمية، يقال إن المقدر T n للمعامل θ متسق بشكل ضعيف ، إذا كان يتقارب في الاحتمالية إلى القيمة الحقيقية للمعامل: [ 1 ]

پيمن→∞تين=θ.{\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\;T_{n}=\theta .}

أي إذا كان، لكل ε > 0

ليمن→∞برو(|تين-θ|>ε)=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}|T_{n}-\theta |>\varepsilon {\big )}=0.}

يقال إن المقدر T n للمعامل θ متسق بقوة ، إذا كان يتقارب بشكل شبه مؤكد إلى القيمة الحقيقية للمعامل:

برو(ليمن→∞تين=θ)=1.{\displaystyle \Pr {\big (}\lim _{n\to \infty }T_{n}=\theta {\big )}=1.}

يأخذ تعريف أكثر دقة في الاعتبار حقيقة أن θ غير معروفة فعليًا، وبالتالي، يجب أن يحدث التقارب في الاحتمال لكل قيمة ممكنة لهذا المعامل. لنفترض أن {pθ : θ ∈ Θ} هي عائلة من التوزيعات (النموذج البارامتري)، وأن Xθ = {X1, X2 , … : Xi ~ pθ } هي عينة لانهائية من التوزيع pθ . ولتكن  { Tn ( Xθ ) } متتالية من المقدرات لمعامل ما g ( θ ) . عادةً ، تُبنى Tn على أول n مشاهدة من العينة. عندئذٍ، يُقال إن هذه المتتالية { Tn } متسقة ( بشكل ضعيف ) إذا [ 2 ]

پيمن→∞تين(Xθ)=ز(θ)،  للجميع θ∈Θ.{\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\operatorname {plim} }}\;T_{n}(X^{\theta })=g(\theta ),\ \ {\text{for all}}\ \theta \in \Theta .}

يستخدم هذا التعريف الدالة g ( θ ) بدلاً من θ فقط ، لأن المرء غالبًا ما يهتم بتقدير دالة معينة أو متجه فرعي من المعلمة الأساسية. في المثال التالي، نقدر معلمة الموقع للنموذج، ولكن ليس المقياس.

أمثلة

متوسط ​​العينة لمتغير عشوائي طبيعي

لنفترض أن لدينا سلسلة من المشاهدات المستقلة إحصائيًا { X1 , X2 , ...} من توزيع طبيعي N ( μ , σ2 ) . لتقدير μ بناءً على المشاهدات n الأولى ، يمكن استخدام متوسط ​​العينة : Tn = ( X1 + ... + Xn ) / n .  يُعرّف هذا سلسلة من المُقدِّرات ، مُفهرسة بحجم العينة n . 

انطلاقًا من خصائص التوزيع الطبيعي، نعرف توزيع المعاينة لهذه الإحصائية: T n موزعة توزيعًا طبيعيًا، بمتوسط ​​μ وتباين σ 2 / n . وبصورة مكافئة،(تين-μ)/(σ/ن){\displaystyle \scriptstyle (T_{n}-\mu )/(\sigma /{\sqrt {n}})}له توزيع طبيعي معياري:

برو[|تين-μ|≥ε]=برو[ن|تين-μ|σ≥نε/σ]=2(1-Φ(نεσ))→0{\displaystyle \Pr \!\left[\,|T_{n}-\mu |\geq \varepsilon \,\right]=\Pr \!\left[{\frac {{\sqrt {n}}\,{\big |}T_{n}-\mu {\big |}}{\sigma }}\geq {\sqrt {n}}\varepsilon /\sigma \right]=2\left(1-\Phi \left({\frac {{\sqrt {n}}\,\varepsilon }{\sigma }}\right)\right)\to 0}

عندما يؤول n إلى اللانهاية، لأي قيمة ثابتة ε > 0. لذلك، فإن متتالية T n من متوسطات العينات متسقة بالنسبة لمتوسط ​​المجتمع μ (مع الأخذ في الاعتبار أن Φ{\displaystyle \Phi }(هو التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي).

إرساء الاتساق

إن مفهوم الاتساق التقاربي قريب جدًا، بل يكاد يكون مرادفًا لمفهوم التقارب في الاحتمالات. ولذلك، يمكن استخدام أي نظرية أو لمة أو خاصية تثبت التقارب في الاحتمالات لإثبات الاتساق. وتوجد العديد من هذه الأدوات:

  • ولإثبات الاتساق مباشرة من التعريف، يمكن استخدام المتباينة [ 3 ]
برو[ح(تين-θ)≥ε]≤هـ⁡[ح(تين-θ)]ح(ε)،{\displaystyle \Pr \!{\big [}h(T_{n}-\theta )\geq \varepsilon {\big ]}\leq {\frac {\operatorname {E} {\big [}h(T_{n}-\theta ){\big ]}}{h(\varepsilon )}},}

الخيار الأكثر شيوعًا للدالة h هو إما القيمة المطلقة (وفي هذه الحالة تُعرف باسم متباينة ماركوف )، أو الدالة التربيعية (على التوالي متباينة تشيبيشيف ).

  • ومن النتائج المفيدة الأخرى نظرية التطبيق المستمر : إذا كانت T n متسقة لـ θ وكانت g (·) دالة حقيقية القيمة مستمرة عند النقطة θ ، فإن g ( T n ) ستكون متسقة لـ g ( θ ): [ 4 ]
تين →ص θ ⇒ز(تين) →ص ز(θ){\displaystyle T_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ \theta \ \quad \Rightarrow \quad g(T_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ g(\theta )}
تين+Sن →د α+β،تينSن →د αβ،تين/Sن →د α/β، بشرط أن β≠0{\displaystyle {\begin{aligned}&T_{n}+S_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ \alpha +\beta ,\\&T_{n}S_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ \alpha \beta ,\\&T_{n}/S_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ \alpha /\beta ,{\text{ provided that }}\beta \neq 0\end{aligned}}}
  • إذا تم إعطاء المقدر T n بصيغة صريحة، فمن المرجح أن تستخدم الصيغة مجاميع المتغيرات العشوائية، وعندها يمكن استخدام قانون الأعداد الكبيرة : بالنسبة لتسلسل { X n } من المتغيرات العشوائية وفي ظل شروط مناسبة،
1ن∑أنا=1نز(Xأنا) →ص هـ⁡[ز(X)]{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}g(X_{i})\ {\xrightarrow {p}}\ \operatorname {E} [\,g(X)\,]}

التحيز مقابل الاتساق

محايد لكن غير متسق

يمكن أن يكون المُقدِّر غير متحيز ولكنه غير متسق. على سبيل المثال، بالنسبة لعينة مستقلة ومتطابقة التوزيع { x1 ، ...،xيمكن للمرء استخدامTن (س) =سn كمُقدِّر للمتوسط ​​E[X]. لاحظ أن توزيع المعاينة لـTn هي نفسها التوزيع الأساسي (لأي قيمة لـn،لأنها تتجاهل جميع النقاط باستثناء الأخيرة). لذا E[Tn (X)] = E[X] لأيn،وبالتالي فهو غير متحيز، ولكنه لا يتقارب إلى أي قيمة.

ومع ذلك، إذا كانت سلسلة من المقدرات غير متحيزة وتتقارب إلى قيمة معينة، فإنها تكون متسقة، لأنها يجب أن تتقارب إلى القيمة الصحيحة.

متحيز لكن متسق

بدلاً من ذلك، يمكن أن يكون المُقدِّر متحيزًا ولكنه متسق. على سبيل المثال، إذا تم تقدير المتوسط ​​بواسطة1ن∑xأنا+1ن{\displaystyle {1 \over n}\sum x_{i}+{1 \over n}}إنها متحيزة، ولكن كمان→∞{\displaystyle n\rightarrow \infty }، فهو يقترب من القيمة الصحيحة، وبالتالي فهو متسق.

من الأمثلة المهمة تباين العينة وانحرافها المعياري . بدون تصحيح بيسل (أي عند استخدام حجم العينة)ن{\displaystyle n}بدلاً من درجات الحريةن-1{\displaystyle n-1}كلا التقديرين متحيزان سلبًا لكنهما متسقان. مع التصحيح، يصبح تباين العينة المصحح غير متحيز، بينما يظل الانحراف المعياري للعينة المصحح متحيزًا، ولكن بدرجة أقل، وكلاهما يظل متسقًا: يتقارب عامل التصحيح إلى 1 مع ازدياد حجم العينة.

إليك مثال آخر.تين{\displaystyle T_{n}}لتكن سلسلة من المقدرات لـθ{\displaystyle \theta }.

برو(تين)={1-1/ن،لو تين=θ1/ن،لو تين=ندلتا+θ{\displaystyle \Pr(T_{n})={\begin{cases}1-1/n,&{\mbox{if }}\,T_{n}=\theta \\1/n,&{\mbox{if }}\,T_{n}=n\delta +\theta \end{cases}}}

يمكننا أن نرى ذلكتين→صθ{\displaystyle T_{n}{\xrightarrow {p}}\theta }،هـ⁡[تين]=θ+دلتا{\displaystyle \operatorname {E} [T_{n}]=\theta +\delta }والتحيز لا يتقارب إلى الصفر.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ أميميا 1985 ، التعريف 3.4.2.
  2. ↑ ليمان وكاسيلا 1998 ، ص 332.
  3. ↑ أميميا 1985 ، المعادلة (3.2.5).
  4. ^ العممية 1985 ، النظرية 3.2.6.
  5. ^ العممية 1985 ، النظرية 3.2.7.
  6. ^ نيوي ومكفادين 1994 ، الفصل 2.

مراجع