نموذج بارامتري

في الإحصاء ، يُعد النموذج البارامتري أو عائلة النماذج البارامترية أو النموذج ذو الأبعاد المحدودة فئة خاصة من النماذج الإحصائية . وبالتحديد، النموذج البارامتري هو عائلة من التوزيعات الاحتمالية التي تحتوي على عدد محدود من المعلمات .

النموذج الإحصائي هو مجموعة من التوزيعات الاحتمالية على فضاء عينة ما . نفترض أن هذه المجموعة،${\displaystyle {\mathcal {P}}}$يُفهرس بواسطة مجموعة ما Θ . تُسمى المجموعة Θ مجموعة المعلمات أو، بشكل أكثر شيوعًا، فضاء المعلمات . لكل θ  ∈ Θ ، ليكن Fθ هو العنصر المقابل في المجموعة؛ إذن Fθ هي دالة التوزيع التراكمي . عندئذٍ _، يمكن كتابة النموذج الإحصائي على النحو التالي _:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}F_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

يكون النموذج نموذجًا بارامتريًا إذا كان Θ  ⊆ ℝ ^k لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة k .

عندما يتكون النموذج من توزيعات متصلة تمامًا، فإنه غالبًا ما يتم تحديده من حيث دوال كثافة الاحتمال المقابلة :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

• يتم تحديد عائلة توزيعات بواسون بواسطة رقم واحد λ > 0 :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda },\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},}$

حيث p _λ هي دالة الكتلة الاحتمالية . هذه العائلة هي عائلة أسية .

• يتم تحديد العائلة الطبيعية بواسطة θ = ( μ , σ ) ، حيث μ ∈ ℝ هو معلمة الموقع و σ > 0 هو معلمة المقياس:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.}$

تُعد هذه العائلة ذات المعلمات عائلة أسية وعائلة موقع-مقياس في آن واحد .

• يحتوي نموذج ترجمة Weibull على معلمة ثلاثية الأبعاد θ = ( lect , β , μ ) :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}},}$

أين${\displaystyle \beta }$هو معامل الشكل ،${\displaystyle \lambda }$هو معامل المقياس و${\displaystyle \mu }$هو مُعامل الموقع .

• يتم تحديد النموذج ذي الحدين بواسطة θ = ( n , p ) ، حيث n عدد صحيح غير سالب و p احتمال (أي p ≥ 0 و p ≤ 1 ):

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(nk)!}}\,p^{k}(1-p)^{nk},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\,p\geq 0\land p\leq 1{\Big \}}.}$

يوضح هذا المثال تعريف نموذج يحتوي على بعض المعلمات المنفصلة.

يُطلق على النموذج البارامتري اسم النموذج القابل للتحديد إذا كان التطبيق θ ↦ P _θ قابلاً للعكس، أي لا توجد قيمتان مختلفتان للمعامل θ ₁ و θ ₂ بحيث يكون P _{θ 1}  = P _{θ 2} .

تُقارن النماذج البارامترية بالنماذج شبه البارامترية ، وشبه غير البارامترية ، وغير البارامترية ، والتي تتكون جميعها من مجموعة لا نهائية من "البارامترات" المستخدمة في الوصف. ويُمكن التمييز بين هذه الفئات الأربع كما يلي:

• في النموذج " المعلمي "، تكون جميع المعلمات في فضاءات معلمات ذات أبعاد محدودة؛
• يكون النموذج " غير معلمي " إذا كانت جميع المعلمات موجودة في فضاءات معلمات لا نهائية الأبعاد؛
• يحتوي النموذج " شبه البارامتري " على معلمات ذات أبعاد محدودة ذات أهمية ومعلمات إزعاج ذات أبعاد لا نهائية ؛
• يحتوي النموذج " شبه غير البارامتري " على معلمات غير معروفة ذات أبعاد محدودة وأخرى ذات أبعاد غير محدودة.

يعتقد بعض الإحصائيين أن مفاهيم "المعلمي" و"غير المعلمي" و"شبه المعلمي" غامضة. ^{[ 1 ]} كما تجدر الإشارة إلى أن مجموعة جميع مقاييس الاحتمال لها عدد عناصر متصل ، وبالتالي من الممكن تحديد معلمات أي نموذج برقم واحد في الفترة (0،1). ^{[ 2 ]} ويمكن تجنب هذه الصعوبة بالنظر فقط إلى النماذج المعلمية "السلسة".

• عائلة بارامترية
• الإحصاءات البارامترية
• النموذج الإحصائي
• تحديد النموذج الإحصائي