معامل المقياس

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعدّ مُعامل المقياس نوعًا خاصًا من المُعاملات العددية لعائلة مُعاملات التوزيعات الاحتمالية . وكلما زاد مُعامل المقياس، زاد تشتت التوزيع.

تعريف

إذا كانت عائلة من التوزيعات الاحتمالية بحيث يوجد مُعامل s (ومُعاملات أخرى θ ) بحيث تحقق دالة التوزيع التراكمي الشرط التالي:

F(x؛s،θ)=F(x/s؛1،θ)،{\displaystyle F(x;s,\theta )=F(x/s;1,\theta ),}

يُطلق على s حينها اسم مُعامل المقياس ، لأن قيمته تُحدد " مقياس " أو التشتت الإحصائي لتوزيع الاحتمال. إذا كانت قيمة s كبيرة، فسيكون التوزيع أكثر انتشارًا؛ وإذا كانت صغيرة، فسيكون أكثر تركيزًا.

رسم متحرك يوضح تأثير معامل المقياس على توزيع احتمالي مدعوم على خط الأعداد الحقيقية الموجبة.
تأثير معامل المقياس على مزيج من توزيعين احتماليين طبيعيين

إذا كانت دالة الكثافة الاحتمالية موجودة لجميع قيم مجموعة المعلمات الكاملة، فإن الكثافة (كدالة لمعلمة المقياس فقط) تحقق ما يلي: وs(x)=و(x/s)/s،{\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)/s,} حيث f هي كثافة نسخة معيارية من الكثافة، أيو(x)≡وs=1(x){\displaystyle f(x)\equiv f_{s=1}(x)}.

يُطلق على مُقدِّر مُعامل المقياس اسم مُقدِّر المقياس.

العائلات ذات معايير الموقع

في حالة وجود معلمات موقع في عائلة ذات معلمات ، يُستخدم تعريف مختلف قليلاً كما يلي. إذا رمزنا لمعلمة الموقع بـم{\displaystyle m}ومعامل المقياس بواسطةs{\displaystyle s}إذن، نحن نشترط ذلكF(x؛s،م،θ)=F((x-م)/s؛1،0،θ){\displaystyle F(x;s,m,\theta )=F((xm)/s;1,0,\theta )}أينF(x،s،م،θ){\displaystyle F(x,s,m,\theta )}يمثل دالة التوزيع التراكمي للعائلة المُعَلمة. [ 1 ] هذا التعديل ضروري لكي يكون الانحراف المعياري لتوزيع غاوسي غير مركزي مُعامل قياس، وإلا سيتغير المتوسط ​​عند إعادة القياس.x{\displaystyle x}ومع ذلك، فإن هذا التعريف البديل لا يُستخدم باستمرار. [ 2 ]

عمليات بسيطة

يمكننا الكتابةوs{\displaystyle f_{s}}من ناحيةز(x)=x/s{\displaystyle g(x)=x/s}، كما يلي:

وs(x)=و(xs)⋅1s=و(ز(x))ز′(x).{\displaystyle f_{s}(x)=f\left({\frac {x}{s}}\right)\cdot {\frac {1}{s}}=f(g(x))g'(x).}

لأن f دالة كثافة احتمالية، فإن تكاملها يساوي واحدًا:

1=∫-∞∞و(x)دx=∫ز(-∞)ز(∞)و(x)دx.{\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{g(-\infty )}^{g(\infty )}f(x)\,dx.}

باستخدام قاعدة التعويض في حساب التكامل، نحصل على

1=∫-∞∞و(ز(x))ز′(x)دx=∫-∞∞وs(x)دx.{\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }f(g(x))g'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }f_{s}(x)\,dx.}

لذاوs{\displaystyle f_{s}}كما أنه مُعايَر بشكل صحيح.

معامل المعدل

تستخدم بعض عائلات التوزيعات معامل معدل (أو معامل مقياس معكوس )، وهو ببساطة مقلوب معامل المقياس . فعلى سبيل المثال، التوزيع الأسي ذو معامل المقياس β وكثافة الاحتمال و(x؛β)=1βهـ-x/β،x≥0{\displaystyle f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0} ويمكن كتابتها بشكل مكافئ باستخدام معامل المعدل λ كما يلي و(x؛λ)=λهـ-λx،x≥0.{\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.}

أمثلة

  • يمكن تحديد التوزيع المنتظم باستخدام معلمة الموقع التالية :(أ+ب)/2{\displaystyle (a+b)/2}ومعامل قياس|ب-أ|{\displaystyle |ba|}.
  • يحتوي التوزيع الطبيعي على معيارين: معيار الموقعμ{\displaystyle \mu }ومعامل قياسσ{\displaystyle \sigma }في الممارسة العملية، غالبًا ما يتم تحديد معلمات التوزيع الطبيعي بدلالة المقياس التربيعيσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}، وهو ما يتوافق مع تباين التوزيع.
  • يتم عادةً تحديد معلمات توزيع جاما بدلالة معلمة المقياسθ{\displaystyle \theta }أو عكس ذلك.
  • قد تُسمى حالات خاصة من التوزيعات التي يكون فيها معامل المقياس مساوياً للواحد "قياسية" في ظل شروط معينة. على سبيل المثال، إذا كان معامل الموقع يساوي صفرًا ومعامل المقياس يساوي واحدًا، يُعرف التوزيع الطبيعي بالتوزيع الطبيعي القياسي ، ويُعرف توزيع كوشي بالتوزيع كوشي القياسي .

تقدير

يمكن استخدام إحصائية لتقدير معلمة المقياس طالما أنها:

  • ثابت الموقع،
  • يتناسب طرديًا مع معامل المقياس، و
  • يتقارب مع ازدياد حجم العينة.

تُحقق مقاييس التشتت الإحصائي المختلفة هذه الشروط. ولجعل الإحصائية مُقدِّراً متسقاً لمعامل المقياس، يجب عموماً ضربها بمعامل مقياس ثابت . يُعرَّف معامل المقياس هذا بأنه القيمة النظرية للقيمة الناتجة عن قسمة معامل المقياس المطلوب على القيمة التقاربية للإحصائية. تجدر الإشارة إلى أن معامل المقياس يعتمد على التوزيع قيد الدراسة.

على سبيل المثال، لاستخدام الانحراف المطلق الوسيط (MAD) لتقدير الانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي ، يجب ضربه في العامل 1/Φ-1(3/4)≈1.4826،{\displaystyle 1/\Phi ^{-1}(3/4)\approx 1.4826,} حيث Φ −1 هي دالة الكمية (معكوس دالة التوزيع التراكمي ) للتوزيع الطبيعي القياسي. (انظر MAD لمزيد من التفاصيل). أي أن MAD ليس مُقدِّرًا متسقًا للانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي، بينما 1.4826... × MAD هو مُقدِّر متسق. وبالمثل، يجب ضرب متوسط ​​الانحراف المطلق في 1.2533 تقريبًا ليكون مُقدِّرًا متسقًا للانحراف المعياري. يلزم استخدام عوامل مختلفة لتقدير الانحراف المعياري إذا لم يتبع المجتمع التوزيع الطبيعي.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بروخوروف، أ. ف. (7 فبراير 2011). "معامل المقياس" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر . تم الاطلاع عليه في 7 فبراير 2019 .
  2. ↑ كوسكي، تيمو. "معامل المقياس" . المعهد الملكي للتكنولوجيا KTH . تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 فبراير 2019 .

مراجع عامة

للمزيد من القراءة

  • مود، أ.م.؛ غرايبيل، ف.أ.؛ بوس، د.س. (1974). "VII.6.2 ثبات المقياس ". مقدمة في نظرية الإحصاء (  الطبعة الثالثة). نيويورك: ماكجرو هيل.