دالة الكمية

الموسوعة الحرة
البروبيت هو دالة الكمية للتوزيع الطبيعي .

في علم الاحتمالات والإحصاء ، دالة الكمية لتوزيع احتمالي هي معكوس دالة التوزيع التراكمي الخاصة به . أي أن دالة الكمية لتوزيعد{\displaystyle {\mathcal {D}}}هي الوظيفةسؤال{\displaystyle Q}بحيثبرو[X≤سؤال(ص)]=ص{\displaystyle \Pr \left[\mathrm {X} \leq Q(p)\right]=p}لأي متغير عشوائيX∼د{\displaystyle \mathrm {X} \sim {\mathcal {D}}}والاحتماليةص∈(0،1){\displaystyle p\in (0,1)}.

تُسمى دالة الكمية أيضًا دالة النسبة المئوية (بعد النسبة المئوية )، أو دالة النقطة المئوية ، أو دالة التوزيع التراكمي العكسي ، أو دالة التوزيع العكسي .

تعريف

دالة التوزيع المتزايدة بشكل صارم

بالإشارة إلى دالة التوزيع التراكمي المستمرة والمتزايدة تمامًا (cdf)FX:R→[0،1]{\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]}دالة الكمية لمتغير عشوائي Xسؤال:(0،1)→R{\displaystyle Q\colon (0,1)\to \mathbb {R} }تقوم الدالة بتحويل المدخل p إلى قيمة عتبة x بحيث يكون احتمال أن تكون X أقل من أو تساوي x هو p . وبالنسبة لدالة التوزيع F ، فإن دالة الكمية Q تُرجع القيمة x التي تحقق ذلك.

FX(x):=برو(X≤x)=ص،{\displaystyle F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p,}

والتي يمكن كتابتها كدالة عكسية لدالة التوزيع التراكمي.

سؤال(ص)=FX-1(ص).{\displaystyle Q(p)=F_{X}^{-1}(p).}

دالة التوزيع التراكمي (الموضحة بـ F ( x ) ) تعطي قيم p كدالة لقيم q . أما دالة الكمية فتفعل العكس: فهي تعطي قيم q كدالة لقيم p . لاحظ أن الجزء الأحمر من F ( x ) هو قطعة مستقيمة أفقية.

دالة التوزيع العام

في الحالة العامة لدوال التوزيع التي تفتقر إلى الرتابة أو الاستمرارية الصارمة، وبالتالي لا تسمح بدالة توزيع تراكمي عكسية ، فإن الكمية هي دالة (محتملة) متعددة القيم لدالة التوزيع F ، معطاة بالفترة

سؤال(ص)=[رشفة{x:F(x)<ص}، رشفة{x:F(x)≤ص}]=[معلومات{x:F(x)≥ص}، معلومات{x:F(x)>ص}].{\displaystyle {\begin{aligned}Q(p)&={\big [}\sup\{x\colon F(x)<p\},\ \sup\{x\colon F(x)\leq p\}{\big ]}\\&={\big [}\inf\{x\colon F(x)\geq p\},\ \inf\{x\colon F(x)>p\}{\big ]}.\end{aligned}}}

الفترة الأولى [ 1 ] تعادل الفترة الثانية بسبب الرتابة (غير الصارمة) لـ F. [ ملاحظة 1 ]

من الشائع اختيار القيمة الأدنى، والتي يمكن كتابتها بشكل مكافئ على النحو التالي:

سؤال(ص)=معلومات{x∈R:ص≤F(x)}.{\displaystyle Q(p)=\inf\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\}.}

هنا نلتقط حقيقة أن دالة الكمية تعيد القيمة الدنيا لـ x من بين جميع تلك القيم التي تتجاوز قيمة دالة التوزيع التراكمي لها p ، وهو ما يعادل بيان الاحتمالية السابق في الحالة الخاصة التي يكون فيها التوزيع مستمرًا.

الكمية هي أيضاً الدالة الوحيدة التي تحقق متباينات غالوا.

سؤال(ص)≤x{\displaystyle Q(p)\leq x}إذا وفقط إذاص≤F(x).{\displaystyle p\leq F(x).}

إذا كانت الدالة F متصلة ومتزايدة بشكل رتيب تمامًا، فيمكن استبدال المتباينات بمعادلات، ولدينا

سؤال=F-1.{\displaystyle Q=F^{-1}.}

بشكل عام، على الرغم من أن دالة التوزيع F قد لا تمتلك معكوسًا أيسرًا أو أيمنًا ، فإن دالة الكمية Q تتصرف كـ "معكوس أيسر شبه مؤكد" لدالة التوزيع، بمعنى أن

سؤال(F(X))=Xبالتأكيد تقريباً.{\displaystyle Q{\bigl (}F(X){\bigr )}=X\quad {\text{بشكل شبه مؤكد.}}}

مثال بسيط

على سبيل المثال، دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الأسي ( λ ) (أي  الكثافة λ والقيمة المتوقعة ( المتوسط ) 1/ λ ) هي 

F(x؛λ)={1-هـ-λxx≥0،0x<0.{\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}

تُشتق دالة الكمية للتوزيع الأسي ( λ ) من خلال إيجاد قيمة Q التي تحقق1-هـ-λسؤال=ص{\displaystyle 1-e^{-\lambda Q}=p}:

سؤال(ص؛λ)=-ln⁡(1-ص)λ،{\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},}

بالنسبة لـ 0 ≤ p < 1. وبالتالي، فإن الأرباع هي :

الربع الأول ( قيمة الاحتمال = 1/4 )
-ln⁡(3/4)/λ،{\displaystyle -\ln(3/4)/\lambda ,}
الوسيط ( قيمة الاحتمال = 2/4 )
-ln⁡(1/2)/λ،{\displaystyle -\ln(1/2)/\lambda ,}
الربع الثالث ( قيمة الاحتمال = 3/4 )
-ln⁡(1/4)/λ.{\displaystyle -\ln(1/4)/\lambda .}

التطبيقات

تُستخدم دوال الكمية في كل من التطبيقات الإحصائية وطرق مونت كارلو .

دالة الكمية هي إحدى طرق تحديد التوزيع الاحتمالي، وهي بديل لدالة كثافة الاحتمال (pdf) أو دالة كتلة الاحتمال ، ودالة التوزيع التراكمي (cdf)، والدالة المميزة . دالة الكمية، Q ، لتوزيع احتمالي هي معكوس دالة التوزيع التراكمي F. مشتق دالة الكمية، أي دالة كثافة الكمية ، هي طريقة أخرى لتحديد التوزيع الاحتمالي، وهي مقلوب دالة كثافة الاحتمال المركبة مع دالة الكمية.

لنفترض تطبيقًا إحصائيًا يحتاج فيه المستخدم إلى معرفة النسب المئوية الرئيسية لتوزيع معين. على سبيل المثال، قد يحتاج إلى الوسيط والربيعين 25% و75% كما في المثال أعلاه، أو مستويات 5% و95% و2.5% و97.5% لتطبيقات أخرى، مثل تقييم الدلالة الإحصائية لملاحظة معروفة التوزيع؛ انظر مدخل الكميات . قبل انتشار الحواسيب، كان من الشائع أن تحتوي الكتب على ملاحق تتضمن جداول إحصائية لأخذ عينات من دالة الكميات. [ 2 ] وقد ناقش جيلكريست التطبيقات الإحصائية لدوال الكميات باستفاضة. [ 3 ]

تستخدم محاكاة مونت كارلو دوال الكمية لإنتاج أرقام عشوائية أو شبه عشوائية غير منتظمة ، لاستخدامها في أنواع مختلفة من حسابات المحاكاة. من حيث المبدأ، يمكن الحصول على عينة من توزيع معين بتطبيق دالة الكمية الخاصة به على عينة من توزيع منتظم. وتركز متطلبات أساليب المحاكاة، كما هو الحال في التمويل الحسابي الحديث ، بشكل متزايد على الأساليب القائمة على دوال الكمية، نظرًا لتوافقها الجيد مع التقنيات متعددة المتغيرات القائمة على طرق الاقتران أو شبه مونت كارلو [ 4 ] ، وكذلك مع طرق مونت كارلو في التمويل .

يُستخدم تكامل دالة الكمية لحساب منحنى لورنز في الاقتصاد والقيمة الشرطية المعرضة للخطر في التمويل.

حساب

غالبًا ما يتضمن تقييم دوال الكمية استخدام أساليب عددية ، مثل التوزيع الأسي المذكور أعلاه، وهو أحد التوزيعات القليلة التي يمكن إيجاد صيغة مغلقة لها (ومنها التوزيع المنتظم ، وتوزيع ويبول ، وتوزيع توكي لامدا (الذي يشمل التوزيع اللوجستي )، والتوزيع اللوجستي اللوغاريتمي ). عندما يكون لدالة التوزيع التراكمي صيغة مغلقة، يمكن دائمًا استخدام خوارزمية عددية لإيجاد الجذور، مثل طريقة التنصيف، لعكس دالة التوزيع التراكمي. تعتمد طرق أخرى على تقريب المعكوس باستخدام تقنيات الاستيفاء. [ 5 ] [ 6 ] تُقدم خوارزميات إضافية لتقييم دوال الكمية في سلسلة كتب " الوصفات العددية" . تُدمج خوارزميات التوزيعات الشائعة في العديد من حزم البرامج الإحصائية . يمكن إيجاد طرق عامة لحساب دوال الكمية عدديًا لفئات عامة من التوزيعات في المكتبات التالية:

يمكن أيضًا وصف دوال الكمية بأنها حلول لمعادلات تفاضلية عادية وجزئية غير خطية . وقد تم تقديم المعادلات التفاضلية العادية لحالات التوزيعات الطبيعية ، وتوزيعات ستودنت ، وبيتا ، وجاما ، وحلها. [ 11 ]

التوزيع الطبيعي

يُعد التوزيع الطبيعي ربما أهم الحالات. ولأن التوزيع الطبيعي ينتمي إلى عائلة التوزيعات المكانية-المقياسية ، يمكن اشتقاق دالة الكمية الخاصة به لأي معلمات من تحويل بسيط لدالة الكمية للتوزيع الطبيعي القياسي، والمعروفة بدالة البروبيت . لسوء الحظ، لا يوجد تمثيل مغلق لهذه الدالة باستخدام الدوال الجبرية الأساسية؛ ونتيجة لذلك، تُستخدم عادةً تمثيلات تقريبية. وقد قدم كل من ويتشورا [ 12 ] وأكلام [ 13 ] تقريبات مركبة شاملة باستخدام الدوال الكسرية ومتعددة الحدود. كما طور شو [ 14 ] تقريبات غير مركبة باستخدام الدوال الكسرية.

معادلة تفاضلية عادية للكمية الطبيعية

يمكن إعطاء معادلة تفاضلية عادية غير خطية للكمية الطبيعية، w ( p ) . وهي

د2wدص2=w(دwدص)2{\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}}

مع الشروط المركزية (الابتدائية)

w(1/2)=0،{\displaystyle w\left(1/2\right)=0,\,}w′(1/2)=2π.{\displaystyle w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.\,}

يمكن حل هذه المعادلة بعدة طرق، بما في ذلك طريقة متسلسلة القوى الكلاسيكية . ومن هذه الطريقة يمكن استنباط حلول ذات دقة عالية للغاية (انظر شتاينبريكر وشاو، 2008).

توزيع t للطالب

لطالما كانت هذه الحالة من أصعب الحالات، إذ أن وجود مُعامل ν ، الذي يُمثل درجات الحرية، يجعل استخدام التقريبات الكسرية وغيرها من التقريبات غير عملي. توجد صيغ بسيطة عندما تكون ν = 1، 2، 4 ، ويمكن اختزال المسألة إلى حل معادلة متعددة الحدود عندما تكون ν زوجية. في حالات أخرى، يمكن اشتقاق دوال الكمية على شكل متسلسلات قوى. [ 15 ] وفيما يلي الحالات البسيطة:

  • ν = 1 ( توزيع كوشي ):سؤال(ص)=لون برونزي⁡(π(ص-12))؛{\displaystyle Q(p)=\tan \left(\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\,;}
  • v = 2 :سؤال(ص)=2(ص-12)2α؛{\displaystyle Q(p)=2\left(p-{\tfrac {1}{2}}\right){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\,;}
  • v = 4 :سؤال(ص)=2لافتة⁡(ص-12)q-1؛{\displaystyle Q(p)=2\operatorname {sign} \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right){\sqrt {q-1}}\,;}

أين​α=4ص(1-ص){\displaystyle \alpha =4p(1-p)}،​​q=1αكوس⁡(13أركوس⁡(α)){\displaystyle \textstyle q={\tfrac {1}{\sqrt {\alpha }}}\cos \left({\tfrac {1}{3}}\arccos \left({\sqrt {\alpha }}\right)\right)}، و لافتة⁡x={-1لو x<0؛-0لو x=0؛-1لو x>0.{\displaystyle \operatorname {sign} x={\begin{cases}-1&{\text{إذا كان }}x<0;\\{\hphantom {-}}0&{\text{إذا كان }}x=0;\\{\hphantom {-}}1&{\text{إذا كان }}x>0.\end{cases}}}

مخاليط الكميات

وبالمثل ، يمكن تعريف التوزيعات على أنها مزيج من الكثافات .سؤال(ص)=∑أنا=1مأأناسؤالأنا(ص)،{\displaystyle Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p),} أينسؤالأنا(ص){\displaystyle Q_{i}(p)}،أنا=1،...،م{\displaystyle i=1,\ldots ,m}هي دوال كمية وأأنا{\displaystyle a_{i}}،أنا=1،...،م{\displaystyle i=1,\ldots ,m}هي معلمات النموذج.أأنا{\displaystyle a_{i}}يجب اختيارها بحيثسؤال(ص){\displaystyle Q(p)}هي دالة كمية. وقد قدم كارفانين مزيجين كميين بأربعة معلمات، وهما مزيج الكميات متعدد الحدود الطبيعي ومزيج الكميات متعدد الحدود لكوشي. [ 16 ]

المعادلات التفاضلية غير الخطية لدوال الكمية

إن المعادلة التفاضلية العادية غير الخطية المعطاة للتوزيع الطبيعي هي حالة خاصة من تلك المتاحة لأي دالة كمية لها مشتقة ثانية. وبشكل عام، يمكن إعطاء معادلة الكمية، Q ( p ) . وهي

د2سؤالدص2=ح(سؤال)(دسؤالدص)2{\displaystyle {\frac {d^{2}Q}{dp^{2}}}=H(Q)\left({\frac {dQ}{dp}}\right)^{2}}

معززة بشروط حدودية مناسبة، حيث

ح(x)=-و′(x)و(x)=-ددxln⁡و(x){\displaystyle H(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln f(x)}

و f ( x ) هي دالة كثافة الاحتمال. وقد أوضح شتاينبريكر وشاو (2008) صيغ هذه المعادلة، وتحليلها الكلاسيكي باستخدام المتسلسلات والحلول التقاربية، لحالات التوزيعات الطبيعية، وتوزيع ستودنت، وتوزيع غاما، وتوزيع بيتا. توفر هذه الحلول معايير دقيقة، وفي حالة توزيع ستودنت، متسلسلات مناسبة للاستخدام في محاكاة مونت كارلو المباشرة.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ بالنسبة للحد الأدنى، مجموعات{x:F(x)<ص}{\displaystyle \{x\colon F(x)<p\}}و{x:F(x)≥ص}{\displaystyle \{x\colon F(x)\geq p\}}تشكل تجزئة لـR{\displaystyle \mathbb {R} }بسبب عدم الرتابة التامة للدالة F ، فإن كل عنصر من المجموعة الأولى أصغر من كل عنصر من المجموعة الثانية. لذلك، فإن الحد الأعلى للمجموعة الأولى يساوي الحد الأدنى للمجموعة الثانية. ويمكن إثبات الحد الأعلى بطريقة مماثلة.

مراجع

  1. ↑ إهم، و.؛ غنيتينغ، ت.؛ جوردان، أ.؛ كروجر، ف. (2016). "حول الكميات والتوقعات: دوال تسجيل متسقة، وتمثيلات شوكيه، وتصنيفات التنبؤ" . مجلة الجمعية الملكية للإحصاء، السلسلة ب . 78 (3): 505-562 . arXiv : 1503.08195 . doi : 10.1111/rssb.12154 .
  2. ↑ "نسخة مؤرشفة" (PDF) . مؤرشفة من الأصل (PDF) بتاريخ 24 مارس 2012. تم الاطلاع عليها بتاريخ 25 مارس 2012 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title ( link )
  3. ↑ جيلكريست، و. (2000). النمذجة الإحصائية باستخدام دوال الكمية . تايلور وفرانسيس. ISBN 1-58488-174-7.
  4. ↑ جايكل، ب. (2002). أساليب مونت كارلو في التمويل .
  5. ↑ هورمان، فولفغانغ؛ ليدولد، جوزيف (2003). "توليد متغيرات عشوائية مستمرة عن طريق الانعكاس العددي السريع" . معاملات ACM في النمذجة والمحاكاة الحاسوبية . 13 (4): 347-362 . doi : 10.1145/945511.945517 . تم الاسترجاع في 17 يونيو 2024 - عبر جامعة فيينا للاقتصاد والأعمال.
  6. ↑ ديرفلينجر، جيرهارد؛ هورمان، وولفغانغ؛ ليدولد، جوزيف (2010). "توليد متغيرات عشوائية عن طريق الانعكاس العددي عندما تكون الكثافة فقط معروفة" (ملف PDF) . معاملات ACM في النمذجة والمحاكاة الحاسوبية . 20 (4) 18: 1-25 . doi : 10.1145/1842722.1842723 .
  7. ↑ "UNU.RAN - مولدات الأرقام العشوائية غير المنتظمة العالمية" .
  8. ↑ "Runuran: واجهة R لمولدات المتغيرات العشوائية 'UNU.RAN'" . 17 يناير 2023.
  9. ↑ "مولدات الأرقام العشوائية (Scipy.stats.sampling) — دليل SciPy الإصدار 1.13.0" .
  10. ↑ باومغارتن، كريستوف؛ باتيل، تيرث (2022). "التوليد التلقائي للمتغيرات العشوائية في بايثون". وقائع المؤتمر الحادي والعشرين لبايثون في العلوم . الصفحات 46-51 . doi : 10.25080/majora-212e5952-007 . 
  11. ↑ شتاينبريكر، ج.؛ شو، و. ت. (2008). "ميكانيكا الكميات". المجلة الأوروبية للرياضيات التطبيقية . 19 (2): 87-112 . doi : 10.1017/S0956792508007341 . S2CID 6899308 . 
  12. ↑ ويتشورا، إم جيه (1988). "الخوارزمية AS241: النقاط المئوية للتوزيع الطبيعي". الإحصاء التطبيقي . 37 (3). بلاكويل للنشر: 477-484 . doi : 10.2307/2347330 . JSTOR 2347330 . 
  13. ↑ خوارزمية لحساب دالة التوزيع التراكمي الطبيعي العكسي. مؤرشفة في 5 مايو 2007 على موقع Wayback Machine.
  14. ↑ التمويل الحسابي: المعادلات التفاضلية لإعادة تدوير مونت كارلو
  15. ↑ شو، دبليو تي (2006). "أخذ عينات من توزيع T للطالب - استخدام دالة التوزيع التراكمي العكسي". مجلة التمويل الحسابي . 9 (4): 37-73 . doi : 10.21314/JCF.2006.150 .
  16. ↑ كارڤانين، ج. (2006). "تقدير مخاليط الكميات باستخدام العزوم L والعزوم L المقطوعة". الإحصاءات الحاسوبية وتحليل البيانات . 51 (2): 947-956 . doi : 10.1016/j.csda.2005.09.014 .

للمزيد من القراءة