النسبة المئوية

في الإحصاء ، النسبة المئوية أو درجة النسبة المئوية ، والمعروفة أيضًا باسم النسبة المئوية (غالبًا ما يُشار إليها بـ${\displaystyle P_{k}}$أو Pk، لنسبة مئوية معينة k )، ^{[ 1 ] [ 2 ]} هي درجة أعلى من نسبة مئوية معينة من جميع الدرجات (أو قيمة نقطة البيانات) في عينة . ^{[ أ ]} أي أن الدرجة في النسبة المئوية k ستكون أعلى من k % تقريبًا من جميع الدرجات في عينتها. على سبيل المثال، النسبة المئوية 97 (P97) هي القيمة التي تقل عنها 97% من نقاط البيانات.

النسب المئوية هي نوع من الكميات ، تُحسب بتقسيم البيانات إلى 100 مجموعة. تُعرف النسبة المئوية 25 (P25) أيضًا بالربيع الأول ₍ Q1 ) ، _{والنسبة} المئوية 50 (P50) بالوسيط أو الربيع الثاني ( Q2 )، والنسبة المئوية 75 ( _P75 ) بالربيع الثالث ( Q3 ). على سبيل المثال، النسبة المئوية 50 (الوسيط) هي القيمة التي تقع أسفلها (أو عندها أو أسفلها ، حسب التعريف) 50% من القيم في التوزيع.

تُعبّر النسب المئوية عن نفسها بوحدة قياس الدرجات المدخلة، وليس كنسبة مئوية ؛ فعلى سبيل المثال، إذا كانت الدرجات تشير إلى وزن الإنسان ، فسيتم التعبير عن النسب المئوية المقابلة بالكيلوغرامات أو الأرطال. وفي حالة حجم عينة لانهائي ، تُقارب النسبة المئوية دالة النسبة المئوية ، وهي معكوس دالة التوزيع التراكمي .

هناك كمية ذات صلة وهي الرتبة المئوية لدرجة معينة، معبرًا عنها كنسبة مئوية، والتي تمثل نسبة الدرجات في توزيعها التي تقل عنها، وهو تعريف حصري. غالبًا ما تُستخدم الدرجات المئوية والرتب المئوية في الإبلاغ عن نتائج الاختبارات المرجعية المعيارية ، ولكن كما ذُكر آنفًا، فهما ليسا متطابقين. بالنسبة للرتب المئوية، تُعطى درجة ويتم حساب النسبة المئوية. الرتب المئوية حصرية: إذا كانت الرتبة المئوية لدرجة معينة هي 90%، فإن 90% من الدرجات كانت أقل منها. في المقابل، بالنسبة للنسب المئوية، تُعطى نسبة مئوية ويتم تحديد درجة مقابلة لها، والتي يمكن أن تكون حصرية أو شاملة. تشير الدرجة لنسبة مئوية محددة (مثلًا، 90) إلى درجة تقع دونها (التعريف الحصري) أو عندها أو دونها (التعريف الشامل) الدرجات الأخرى في التوزيع.

لا يوجد تعريف موحد للمئوية؛ ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} ومع ذلك، تُعطي جميع التعريفات نتائج متقاربة عندما يكون عدد المشاهدات كبيرًا جدًا ويكون التوزيع الاحتمالي متصلًا. ^{[ 6 ]} في النهاية، عندما يقترب حجم العينة من اللانهاية، فإن المئوية 100 ( ^حيث 0 < p < 1) تُقارب معكوس دالة التوزيع التراكمي (CDF) المُشكَّلة عند p ، حيث تُقارب p دالة التوزيع التراكمي. يُمكن اعتبار ذلك نتيجةً لنظرية جليفنكو-كانتيلي . ترد أدناه بعض طرق حساب المئويات.

الطرق المذكورة في قسم طرق الحساب (أدناه) هي طرق تقريبية تُستخدم في إحصاءات العينات الصغيرة. وبشكل عام، بالنسبة للمجتمعات الكبيرة جدًا التي تتبع التوزيع الطبيعي ، يمكن تمثيل النسب المئوية غالبًا بالرجوع إلى رسم بياني للمنحنى الطبيعي. يُرسم التوزيع الطبيعي على طول محور مُقاس بالانحرافات المعيارية ، أو سيجما (σ).${\displaystyle \sigma }$وحدات. رياضياً، يمتد التوزيع الطبيعي إلى ما لا نهاية سالبة على اليسار وما لا نهاية موجبة على اليمين. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن نسبة ضئيلة جداً من الأفراد في أي مجتمع تقع خارج نطاق -3σ إلى + 3σ . على سبيل المثال، فيما يتعلق بأطوال البشر، فإن عدداً قليلاً جداً من الأشخاص يتجاوز مستوى + 3σ في الطول.

تمثل النسب المئوية المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي، وتزداد من اليسار إلى اليمين. يمثل كل انحراف معياري نسبة مئوية ثابتة. وبالتالي، بتقريب النتائج إلى منزلتين عشريتين، فإن -3σ يمثل النسبة المئوية 0.13، و-2 σ يمثل النسبة المئوية 2.28، و-1 σ يمثل النسبة المئوية 15.87، و0 σ يمثل النسبة المئوية 50 (وهو كل من المتوسط ​​والوسيط للتوزيع)، و+1 σ يمثل النسبة المئوية 84.13، و+2 σ يمثل النسبة المئوية 97.72، و+3 σ يمثل النسبة المئوية 99.87. يرتبط هذا بقاعدة 68-95-99.7 أو قاعدة الانحراف المعياري الثلاثي. لاحظ أنه من الناحية النظرية، يقع المئين الصفري عند اللانهاية السالبة والمئين المئة عند اللانهاية الموجبة، على الرغم من أنه في العديد من التطبيقات العملية، مثل نتائج الاختبار، يتم فرض حدود دنيا و/أو عليا طبيعية.

عندما يُحاسب مزود خدمة الإنترنت على سعة النطاق الترددي "المتغيرة" ، فإنه عادةً ما يستبعد أعلى 5% أو 2% من ذروة استخدام النطاق الترددي شهريًا عند النسبة المئوية 95 أو 98، ثم يُحاسب العميل وفقًا لأقرب سعر. وبهذه الطريقة، يتم تجاهل الذروات غير المتكررة، ويتم محاسبة العميل بشكل أكثر عدلًا. تكمن أهمية هذه الإحصائية في قياس معدل نقل البيانات في أنها تُعطي صورة دقيقة جدًا لتكلفة النطاق الترددي. تشير النسبة المئوية 95 إلى أن الاستخدام يكون أقل من هذا المقدار في 95% من الوقت، وبالتالي، يكون الاستخدام أعلى من هذا المقدار في 5% من الوقت المتبقي.

غالباً ما يستخدم الأطباء وزن وطول الرضع والأطفال لتقييم نموهم مقارنةً بالمتوسط ​​الوطني والنسب المئوية الأخرى الموجودة في مخططات النمو .

تُستخدم سرعة المرور عند النسبة المئوية الخامسة والثمانين على الطريق غالبًا كدليل إرشادي في تحديد حدود السرعة وتقييم ما إذا كان هذا الحد مرتفعًا جدًا أو منخفضًا جدًا. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

في مجال التمويل، تعتبر القيمة المعرضة للخطر مقياسًا معياريًا لتقييم (بطريقة تعتمد على النموذج) الكمية التي لا يُتوقع أن تنخفض قيمة المحفظة الاستثمارية تحتها خلال فترة زمنية معينة وبقيمة ثقة معينة.

النسب المئوية المُستنبطة والمُقربة، الحصرية والشاملة، لتوزيع الدرجات العشرة

توجد العديد من الصيغ أو الخوارزميات ^{[ 9 ]} لحساب النسبة المئوية. وقد حدد هايندمان وفان ^{[ 3 ]} تسع خوارزميات، وتستخدم معظم برامج الإحصاء والجداول الإلكترونية إحدى الطرق التي وصفاها. ^{[ 10 ]} تُعيد الخوارزميات إما قيمة النسبة المئوية الموجودة في مجموعة النسب المئوية (طرق أقرب رتبة)، أو تُجري استيفاءً بين النسب المئوية الموجودة، وتكون إما حصرية أو شاملة.

يوضح الشكل توزيعًا لعشر درجات، ويُبين الدرجات المئوية الناتجة عن هذه الخوارزميات المختلفة، ويُقدم مدخلًا للأمثلة الواردة لاحقًا. أبسط هذه الطرق هي طرق أقرب رتبة، التي تُعيد درجة من التوزيع، مع العلم أن نتائجها قد تكون أقل دقة مقارنةً بطرق الاستيفاء. يُبين جدول طرق أقرب رتبة الخطوات الحسابية للطرق الحصرية والشاملة.

تُتيح طرق الاستيفاء، كما يوحي اسمها، إمكانية الحصول على قيمة تقع بين قيمتين في التوزيع. وتستخدم الخوارزميات في البرامج الإحصائية عادةً طرق الاستيفاء، مثل دالتي percentile.exc و percentile.inc في برنامج مايكروسوفت إكسل. ويُبين جدول طرق الاستيفاء الخطوات الحسابية.

طريقة أقرب رتبة

أحد تعريفات النسبة المئوية، والتي ترد غالبًا في النصوص، هي أن النسبة المئوية رقم P${\displaystyle (0<P\leq 100)}$من قائمة مكونة من N قيمة مرتبة (مرتبة من الأصغر إلى الأكبر) هي أصغر قيمة في القائمة بحيث تكون نسبة P على الأقل من البيانات أقل من أو تساوي تلك القيمة.

يتم حساب ذلك عن طريق حساب الرتبة الترتيبية أولاً ، ثم اختيار القيمة من القائمة المرتبة التي تتوافق مع تلك الرتبة. تُحسب الرتبة الترتيبية n باستخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {P}{100}}\times N\right\rceil .}$

• إن استخدام طريقة أقرب رتبة على قوائم تحتوي على أقل من 100 قيمة مميزة يمكن أن يؤدي إلى استخدام نفس القيمة لأكثر من نسبة مئوية واحدة.
• ستكون النسبة المئوية المحسوبة باستخدام طريقة أقرب رتبة دائمًا عضوًا في القائمة المرتبة الأصلية.
• يتم تعريف النسبة المئوية 100 بأنها أكبر قيمة في القائمة المرتبة.
• تُسمى هذه الطريقة أيضًا طريقة "دالة التوزيع التجريبية". ^{[ 11 ]}
• تكون النسبة المئوية الخمسون المحسوبة باستخدام هذه الطريقة مساوية للقيمة المعتادة للوسيط إذا كان N فرديًا، ولكنها لا تكون كذلك إذا كان N زوجيًا. ^{[ 11 ]}

طريقة التوزيع التراكمي

تم وصف طريقة CDF، على سبيل المثال من قبل لانغفورد. ^{[ 11 ]}

بالنظر إلى إحصائيات الطلب

${\displaystyle \{v_{(i)},i=1,2,\ldots ,N:v_{(i+1)}\geq v_{(i)},\forall i=1,2,\ldots ,N-1\},}$

حساب${\displaystyle x={\frac {P}{100}}\times N}$النسبة المئوية هي

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}v_{(1)}{\text{, for }}x=0,\\v_{(\lceil x\rceil )}{\text{, for }}x\notin \{0,1,2,\ldots ,N-1\},\\{\frac {v_{(x)}+v_{(x+1)}}{2}}{\text{, for }}x\in \{1,2,\ldots ,N-1\}.\end{cases}}}$

• النسبة المئوية الخمسون المحسوبة باستخدام هذه الطريقة تساوي القيمة المعتادة للوسيط.

• مضاعفة البيانات لا تغير قيمة النسبة المئوية المحسوبة.

قيم النسبة المئوية لدالة التوزيع التراكمي للقائمة المرتبة {15، 20، 35، 40، 50}،${\displaystyle N=5}$

نسبة مئوية${\displaystyle P}$	${\displaystyle 0\leq P<20}$	${\displaystyle P=20}$	${\displaystyle 20<P<40}$	${\displaystyle P=40}$	${\displaystyle 40<P<60}$	${\displaystyle P=60}$	${\displaystyle 60<P<80}$	${\displaystyle P=80}$	${\displaystyle 80<P\leq 100}$
${\displaystyle x={\frac {P}{100}}\times N}$	${\displaystyle 0\leq x<1}$	${\displaystyle x=1}$	${\displaystyle 1<x<2}$	${\displaystyle x=2}$	${\displaystyle 2<x<3}$	${\displaystyle x=3}$	${\displaystyle 3<x<4}$	${\displaystyle x=4}$	${\displaystyle 4<x\leq 5}$
النسبة المئوية	15	17.5	20	27.5	35	37.5	40	45	50

طريقة الاستيفاء الخطي بين أقرب الرتب

يُعد استخدام الاستيفاء الخطي بين الرتب المتجاورة بديلاً عن التقريب المستخدم في العديد من التطبيقات .

بالنظر إلى إحصائيات الطلب

${\displaystyle \{v_{(i)},i=1,2,\ldots ,N:v_{(i+1)}\geq v_{(i)},\forall i=1,2,\ldots ,N-1\},}$

يتم إنجاز الاستيفاء الخطي ببساطة عن طريق الحساب

${\displaystyle v(x)={\begin{cases}v_{(1)}{\text{, for }}x\leq 1,\\v_{(N)}{\text{, for }}x=N,\\v_{(\lfloor x\rfloor )}+(x{\bmod {1}})(v_{(\lfloor x\rfloor +1)}-v_{(\lfloor x\rfloor )}){\text{, for }}1<x<N.\end{cases}}}$

، أين${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$تستخدم دالة الجزء الصحيح لتمثيل الجزء الصحيح من x ، بينما${\displaystyle x{\bmod {1}}}$يستخدم دالة باقي القسمة لتمثيل الجزء الكسري (الباقي بعد القسمة على 1).

من هنا،${\displaystyle v(i)=v_{(i)}{\text{, for }}i=1,2,\ldots ,N.}$

كما نرى، فإن x هو النسخة المستمرة من الرمز السفلي i ، حيث يقوم باستيفاء v خطيًا بين العقد المتجاورة.

هناك طريقتان تختلف فيهما المناهج المتغيرة. الأولى هي في العلاقة الخطية بين الرتبة x والنسبة المئوية للرتبة${\displaystyle P=100p}$، وثابت يعتمد على حجم العينة N :

${\displaystyle x=f(p,N)=(N+c_{1})p+c_{2}.}$

وهناك شرط إضافي يتمثل في أن تكون نقطة منتصف النطاق${\displaystyle (1,N)}$، والتي تتوافق مع الوسيط ، تحدث عند${\displaystyle p=0.5}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(0.5,N)&={\frac {N+c_{1}}{2}}+c_{2}={\frac {N+1}{2}}\\\therefore 2c_{2}+c_{1}&=1\end{aligned}},}$

ووظيفتنا المعدلة الآن لها درجة حرية واحدة فقط، وتبدو كالتالي:

${\displaystyle x=f(p,N)=(N+1-2C)p+C.}$

أما الاختلاف الثاني بين المتغيرات فيكمن في تعريف الدالة بالقرب من هوامش${\displaystyle [0,1]}$نطاق p :${\displaystyle f(p,N)}$ينبغي أن ينتج، أو يُجبر على إنتاج، نتيجة في النطاق${\displaystyle [1,N]}$وهذا قد يعني غياب تطابق تام في المنطقة الأوسع. وقد اقترح أحد المؤلفين خيارًا من${\displaystyle C={\tfrac {1}{2}}(1+\xi )}$حيث ξ هو شكل توزيع القيمة القصوى المعمم وهو حد القيمة القصوى للتوزيع المأخوذة عينات منه.

المتغير الأول، C = 1/2

(المصادر: دالة "prctile" في برنامج Matlab، ^{[ 12 ] [ 11 ]} )

${\displaystyle x=f(p)={\begin{cases}Np+{\frac {1}{2}},\forall p\in \left[p_{1},p_{N}\right],\\1,\forall p\in \left[0,p_{1}\right],\\N,\forall p\in \left[p_{N},1\right].\end{cases}}}$

أين

${\displaystyle p_{i}={\frac {1}{N}}\left(i-{\frac {1}{2}}\right),i\in [1,N]\cap \mathbb {N} }$

${\displaystyle \therefore p_{1}={\frac {1}{2N}},p_{N}={\frac {2N-1}{2N}}.}$

علاوة على ذلك، دع

${\displaystyle P_{i}=100p_{i}.}$

تقتصر العلاقة العكسية على منطقة أضيق:

${\displaystyle p={\frac {1}{N}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right),x\in (1,N)\cap \mathbb {R} .}$

المتغير الثاني، C = 1

[المصدر: بعض حزم البرامج، بما في ذلك NumPy ^{[ 13 ]} و Microsoft Excel ^{[ 5 ]} (حتى الإصدار 2013 باستخدام دالة PERCENTILE.INC). وقد أشارت إليها NIST كبديل . ^{[ 10 ]} ]

${\displaystyle x=f(p,N)=p(N-1)+1{\text{, }}p\in [0,1]}$

${\displaystyle \therefore p={\frac {x-1}{N-1}}{\text{, }}x\in [1,N].}$

لاحظ أن${\displaystyle x\leftrightarrow p}$العلاقة فردية بالنسبة لـ${\displaystyle p\in [0,1]}$، وهو المتغير الوحيد من بين المتغيرات الثلاثة الذي يتمتع بهذه الخاصية؛ ومن هنا جاءت اللاحقة "INC" التي تعني شامل ، في دالة Excel.

المتغير الثالث، C = 0

(الصيغة الأساسية الموصى بها من قبل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا ^{[ 10 ]} ، وقد اعتمدها برنامج مايكروسوفت إكسل منذ عام 2010 باستخدام دالة PERCENTIL.EXC. ومع ذلك، وكما يشير اللاحقة "EXC"، فإن إصدار إكسل يستثني طرفي نطاق قيمة p ، أي${\displaystyle p\in (0,1)}$أما نسخة "INC"، وهي النسخة الثانية، فلا تفعل ذلك؛ في الواقع، أي رقم أصغر من${\displaystyle {\frac {1}{N+1}}}$(يتم استبعاد ذلك أيضًا وسيؤدي إلى حدوث خطأ.)

${\displaystyle x=f(p,N)={\begin{cases}1{\text{, }}p\in \left[0,{\frac {1}{N+1}}\right]\\p(N+1){\text{, }}p\in \left({\frac {1}{N+1}},{\frac {N}{N+1}}\right)\\N{\text{, }}p\in \left[{\frac {N}{N+1}},1\right]\end{cases}}.}$

يقتصر العكس على منطقة أضيق:

${\displaystyle p={\frac {x}{N+1}}{\text{, }}x\in (0,N).}$

• العُشير
• الرتبة المئوية
• الكمية
• إحصائيات موجزة