البيانات الترتيبية

جادل ستيفنز (1946) بأنه نظرًا لعدم صحة افتراض تساوي المسافة بين الفئات في البيانات الترتيبية، فإن استخدام المتوسطات والانحرافات المعيارية لوصف التوزيعات الترتيبية والإحصاءات الاستدلالية القائمة على المتوسطات والانحرافات المعيارية غير مناسب. وبدلًا من ذلك، ينبغي استخدام مقاييس موضعية مثل الوسيط والنسب المئوية، بالإضافة إلى الإحصاءات الوصفية المناسبة للبيانات الاسمية (عدد الحالات، والمنوال، ومعامل الارتباط). ^{[ 3 ] : 678.} وقد اقتُرحت طرق لا معلمية باعتبارها الإجراءات الأنسب للإحصاءات الاستدلالية التي تتضمن بيانات ترتيبية (مثل معامل ارتباط كندال W ، ومعامل ارتباط رتبة سبيرمان ، وما إلى ذلك)، لا سيما تلك التي طُوّرت لتحليل القياسات المرتبة. ^{[ 5 ] : 25-28.} ومع ذلك، قد يكون استخدام الإحصاءات المعلمية للبيانات الترتيبية جائزًا مع بعض التحفظات للاستفادة من النطاق الأوسع للإجراءات الإحصائية المتاحة. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 4 ] : ​​90}

بدلاً من المتوسطات والانحرافات المعيارية، تشمل الإحصاءات أحادية المتغير المناسبة للبيانات الترتيبية الوسيط، ^{[ 9 ] : 59-61} والنسب المئوية الأخرى (مثل الربيعات والعُشيرات)، ^{[ 9 ] : 71} وانحراف الربيع. ^{[ 9 ] : 77} وتشمل اختبارات العينة الواحدة للبيانات الترتيبية اختبار كولموغوروف-سميرنوف للعينة الواحدة ، ^{[ 5 ] : 51-55} واختبار التتابعات للعينة الواحدة ، ^{[ 5 ] : 58-64} واختبار نقطة التغير. ^{[ 5 ] : 64-71}

بدلاً من اختبار الفروق في المتوسطات باستخدام اختبارات t ، يمكن اختبار الفروق في توزيعات البيانات الترتيبية من عينتين مستقلتين باستخدام ^{اختبارات} مان-ويتني [ ^{9 ] : 259-264 ،} واختبارات سميرنوف [ ^{9 ] : 266-269 ،} واختبارات الرتب الموقعة ^{[9 ] : 269-273 . وتشمل} اختبارات عينتين مرتبطتين أو متطابقتين اختبار الإشارة ^{[ 5 ] : 80-87} واختبار ويلكوكسون للرتب الموقعة ^{[ 5 ] : 87-95} . ويمكن إجراء تحليل التباين مع الرتب ^{[ 9 ] : 367-369} واختبار جونكير للبدائل المرتبة ^{[ 5 ] : 216-222} مع البيانات الترتيبية بدلاً من ^{تحليل التباين للعينات} المستقلة . تشمل الاختبارات لأكثر من عينتين مرتبطتين تحليل التباين ثنائي الاتجاه لفريدمان حسب الرتب ^{[ 5 ] : 174-183} واختبار بيج للبدائل المرتبة ^{[ 5 ] : 184-188} . أما مقاييس الارتباط المناسبة لمتغيرين ترتيبيين فتشمل معامل ارتباط كندال تاو ^{[ 9 ] : 436-439} ، ومعامل ارتباط جاما ^{[ 9 ] : 442-443} ، ومعامل الارتباط r _s ^{[ 9 ] : 434-436} _، ونسبة dyx / _dxy ^{[ 9 ] : 443} .

يمكن اعتبار البيانات الترتيبية متغيرًا كميًا. في الانحدار اللوجستي ، تكون المعادلة

${\displaystyle \operatorname {logit} [P(Y=1)]=\alpha +\beta _{1}c+\beta _{2}x}$

يمثل النموذج، ويأخذ c المستويات المخصصة للمقياس الفئوي. ^{[ 1 ] : 189} في تحليل الانحدار ، يمكن التنبؤ بالنتائج ( المتغيرات التابعة ) التي هي متغيرات ترتيبية باستخدام نوع من أنواع الانحدار الترتيبي ، مثل اللوجيت المرتب أو البروبيت المرتب .

في تحليل الانحدار/الارتباط المتعدد، يمكن استيعاب البيانات الترتيبية باستخدام كثيرات الحدود الأسية ومن خلال تطبيع الدرجات والرتب. ^{[ 10 ]}

تُستخدم الاتجاهات الخطية أيضًا لإيجاد علاقات بين البيانات الترتيبية والمتغيرات الفئوية الأخرى، عادةً في جداول التوافق . يتم إيجاد معامل ارتباط r بين المتغيرات، حيث تقع قيمة r بين -1 و1. ولاختبار الاتجاه، تُستخدم إحصائية اختبار .

${\displaystyle M^{2}=(n-1)r^{2}}$

يُستخدم حيث n هو حجم العينة. ^{[ 1 ] : 87}

يمكن إيجاد R عن طريق وضع${\displaystyle u_{1}\leq u_{2}\leq ...\leq u_{I}}$تكون نتائج الصفوف و${\displaystyle v_{1}\leq v_{2}\leq ...\leq v_{I}}$لتكن درجات العمود.${\displaystyle {\bar {u}}\ =\sum _{i}u_{i}p_{i+}}$ليكن متوسط ​​درجات الصف بينما${\displaystyle {\bar {v}}\ =\sum _{j}v_{j}p_{j+}}$. ثم${\displaystyle p_{i+}}$هي احتمالية الصف الهامشي و${\displaystyle p_{+j}}$يمثل احتمال العمود الهامشي. ويتم حساب R كما يلي:

${\displaystyle r={\frac {\sum _{i,j}\left(u_{i}-{\bar {u}}\ \right)\left(v_{j}-{\bar {v}}\ \right)p_{ij}}{\sqrt {\left\lbrack \sum _{i}(u_{i}-{\bar {u}}\ \right)^{2}p_{i+}\rbrack \lbrack \sum _{j}(v_{j}-{\bar {v}}\ )^{2}p_{+j}\rbrack }}}}$

طُوِّرت أيضًا أساليب تصنيف للبيانات الترتيبية. تُقسَّم البيانات إلى فئات مختلفة بحيث تكون كل مشاهدة متشابهة مع غيرها. يُقاس التشتت ويُقلَّل في كل مجموعة لتحقيق أقصى قدر من نتائج التصنيف. تُستخدم دالة التشتت في نظرية المعلومات . ^{[ 11 ]}

النموذج الأكثر استخدامًا للبيانات الترتيبية هو نموذج النسب التناسبية، والذي يُعرَّف بواسطة

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y\leq k)}{Pr(Y\leq k)}\right]=\log \left[{\frac {\Pr(Y\leq k)}{1-\Pr(Y\leq k)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$

حيث المعلمات${\displaystyle \mu _{k}}$صف التوزيع الأساسي للبيانات الترتيبية،${\displaystyle \mathbf {x} }$المتغيرات المصاحبة و${\displaystyle \mathbf {\beta } }$هي المعاملات التي تصف تأثيرات المتغيرات المصاحبة.

يمكن تعميم هذا النموذج عن طريق تعريف النموذج باستخدام${\displaystyle \mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x} }$بدلاً من${\displaystyle \mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$وهذا من شأنه أن يجعل النموذج مناسبًا للبيانات الاسمية (التي لا يوجد فيها ترتيب طبيعي للفئات) وكذلك البيانات الترتيبية. ومع ذلك، فإن هذا التعميم قد يجعل من الصعب جدًا ملاءمة النموذج للبيانات.

يتم تعريف نموذج الفئة الأساسي بواسطة

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta} _{k}^{T}\mathbf {x} }$

لا يفرض هذا النموذج ترتيبًا على الفئات، وبالتالي يمكن تطبيقه على البيانات الاسمية وكذلك البيانات الترتيبية.

يُعرَّف نموذج النمط النمطي المرتب بواسطة

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=1)}}\right]=\mu _{k}+\phi _{k}\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$

حيث يتم تقييد معلمات النتيجة بحيث${\displaystyle 0=\phi _{1}\leq \phi _{2}\leq \dots \leq \phi _{q}=1}$.

هذا نموذج أكثر اقتصادًا وتخصصًا من نموذج لوجيت الفئة الأساسي:${\displaystyle \phi _{k}\mathbf {\beta } }$يمكن اعتبارها مشابهة لـ${\displaystyle \mathbf {\beta } _{k}}$.

يتمتع نموذج النمطية غير المرتب بنفس شكل نموذج النمطية المرتب، ولكن بدون الترتيب المفروض على${\displaystyle \phi _{k}}$يمكن تطبيق هذا النموذج على البيانات الاسمية.

لاحظ أن الدرجات المُقاسة،${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}}$، توضح مدى سهولة التمييز بين المستويات المختلفة لـ${\displaystyle Y}$. لو${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}\approx {\hat {\phi }}_{k-1}}$وهذا يشير إلى أن مجموعة البيانات الحالية للمتغيرات المصاحبة${\displaystyle \mathbf {x} }$لا توفر معلومات كافية للتمييز بين المستويات${\displaystyle k}$و${\displaystyle k-1}$لكن هذا لا يعني بالضرورة أن القيم الفعلية${\displaystyle k}$و${\displaystyle k-1}$متباعدة جدًا. وإذا تغيرت قيم المتغيرات المساعدة، فإن الدرجات المُقدَّرة لتلك البيانات الجديدة ستكون${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}}$و${\displaystyle {\hat {\phi }}_{k-1}}$قد يكونون حينها بعيدين عن بعضهم البعض.

يتم تعريف نموذج الفئات المتجاورة بواسطة

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=k+1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x} }$

على الرغم من أن الشكل الأكثر شيوعًا، والذي يُشار إليه في أغريستي (2010) ^{[ 12 ]} باسم "شكل الاحتمالات النسبية"، يُعرَّف بواسطة

${\displaystyle \log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=k+1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x} }$

لا يمكن تطبيق هذا النموذج إلا على البيانات الترتيبية، لأن نمذجة احتمالات التحولات من فئة إلى الفئة التالية تعني وجود ترتيب لتلك الفئات.

يمكن اعتبار نموذج لوجيت الفئات المتجاورة حالة خاصة من نموذج لوجيت الفئات الأساسي، حيث${\displaystyle \mathbf {\beta } _{k}=\mathbf {\beta } (k-1)}$يمكن أيضًا اعتبار نموذج لوجيت للفئات المتجاورة حالة خاصة من نموذج النمط المرتب، حيث${\displaystyle \phi _{k}\propto k-1}$أي المسافات بين${\displaystyle \phi _{k}}$يتم تحديدها مسبقاً، بدلاً من تقديرها بناءً على البيانات.

يختلف نموذج الاحتمالات النسبية اختلافًا كبيرًا في بنيته عن النماذج الثلاثة الأخرى، كما يختلف في معناه الأساسي. تجدر الإشارة إلى أن حجم الفئة المرجعية في نموذج الاحتمالات النسبية يتغير تبعًا لـ${\displaystyle k}$، منذ${\displaystyle Y\leq k}$مقارنة بـ${\displaystyle Y>k}$بينما في النماذج الأخرى يظل حجم الفئة المرجعية ثابتًا، كما${\displaystyle Y=k}$مقارنة بـ${\displaystyle Y=1}$أو${\displaystyle Y=k+1}$.

توجد أنواع مختلفة من جميع النماذج التي تستخدم وظائف ربط مختلفة، مثل رابط بروبيت أو رابط لوغاريتمي-لوغاريتمي تكميلي.