اختبار فريدمان

اختبار فريدمان هو اختبار إحصائي لا معلمي طوره ميلتون فريدمان . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} يشبه اختبار فريدمان تحليل التباين ذي القياسات المتكررة (ANOVA) المعلمي ، ويُستخدم للكشف عن الاختلافات في المعالجات عبر محاولات اختبار متعددة. تتضمن العملية ترتيب كل صف (أو مجموعة ) معًا، ثم النظر في قيم الرتب حسب الأعمدة. يُطبق هذا الاختبار على تصميمات المجموعات الكاملة ، وبالتالي فهو حالة خاصة من اختبار دوربين .

من الأمثلة الكلاسيكية على الاستخدام ما يلي:

• ${\textstyle n}$يقوم حكام النبيذ بتقييم كل منهم${\textstyle k}$أنواع مختلفة من النبيذ. هل يوجد أي منها؟${\textstyle k}$هل كانت أنواع النبيذ التي احتلت مرتبة أعلى أو أدنى باستمرار من غيرها؟
• ${\textstyle n}$كل لحام يستخدم${\textstyle k}$تم تقييم جودة مشاعل اللحام واللحامات الناتجة عنها. هل يوجد أي منها${\textstyle k}$هل تنتج الشعلات لحامات أفضل أم أسوأ باستمرار؟

يُستخدم اختبار فريدمان لتحليل التباين أحادي الاتجاه للقياسات المتكررة باستخدام الرتب. وهو مشابه في استخدامه للرتب لاختبار كروسكال-واليس لتحليل التباين أحادي الاتجاه باستخدام الرتب.

يحظى اختبار فريدمان بدعم واسع من العديد من حزم البرامج الإحصائية .

1. البيانات المعطاة${\displaystyle \{x_{ij}\}_{n\times k}}$أي مصفوفة ذات${\displaystyle n}$الصفوف ( الكتل )،${\displaystyle k}$باستخدام الأعمدة ( المعالجات ) وملاحظة واحدة عند تقاطع كل مجموعة ومعالجة، احسب الرتب داخل كل مجموعة. في حال وجود قيم متساوية، عيّن لكل قيمة متساوية متوسط ​​الرتب التي كان سيتم تعيينها لولا وجود قيم متساوية. استبدل البيانات بمصفوفة جديدة.${\displaystyle \{r_{ij}\}_{n\times k}}$حيث المدخل${\displaystyle r_{ij}}$هي رتبة${\displaystyle x_{ij}}$داخل الكتلة${\displaystyle i}$.
2. أوجد القيم${\displaystyle {\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}}$
3. يتم إعطاء إحصائية الاختبار بواسطة${\displaystyle Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}}$لاحظ أن قيمة${\textstyle Q}$يجب تعديلها للقيم المتساوية في البيانات. ^{[ 4 ]}
4. وأخيراً، عندما${\textstyle n}$أو${\textstyle k}$كبير (أي${\textstyle n>15}$أو${\textstyle k>4}$)، التوزيع الاحتمالي لـ${\textstyle Q}$يمكن تقريبها بتوزيع كاي تربيع . في هذه الحالة، تُعطى قيمة p بواسطة${\displaystyle \mathbf {P} (\chi _{k-1}^{2}\geq Q)}$. لو${\textstyle n}$أو${\textstyle k}$إذا كانت قيمة p صغيرة، يصبح تقريب مربع كاي ضعيفًا، ويجب الحصول على قيمة p من جداول${\textstyle Q}$تم إعدادها خصيصاً لاختبار فريدمان. إذا كانت قيمة p دالة إحصائياً ، فسيتم إجراء اختبارات المقارنات المتعددة اللاحقة المناسبة .

• عند استخدام هذا النوع من التصميم للاستجابة الثنائية، يتم استخدام اختبار كوكران Q بدلاً من ذلك .
• اختبار الإشارة (مع بديل ثنائي الجانب) يعادل اختبار فريدمان على مجموعتين.
• يُعدّ معامل كيندال W معيارًا لتطبيع إحصائية فريدمان بين${\textstyle 0}$و${\textstyle 1}$.
• اختبار ويلكوكسون للإشارة المرتبة هو اختبار غير معلمي للبيانات غير المستقلة من مجموعتين فقط.
• اختبار سكيلينغز -ماك هو إحصائية عامة من نوع فريدمان يمكن استخدامها في أي تصميم كتلي تقريبًا مع بنية بيانات مفقودة عشوائية.
• اختبار ويتكوفسكي هو إحصائية عامة من نوع فريدمان، مشابهة لاختبار سكيلينغز-ماك. عندما لا تحتوي البيانات على أي قيم مفقودة، فإنه يعطي نفس نتيجة اختبار فريدمان. أما إذا احتوت البيانات على قيم مفقودة، فإنه يكون أكثر دقة وحساسية من اختبار سكيلينغز-ماك. ^{[ 5 ]}

اقترح كل من شايخ وهاميرل (1984) ^{[ 6 ]} وكونوفر (1971، 1980) ^{[ 7 ]} اختبارات ما بعد التحليل لتحديد المجموعات التي تختلف اختلافًا معنويًا عن بعضها البعض، بناءً على متوسط ​​فروق الرتب بين المجموعات. هذه الإجراءات مُفصّلة في بورتز، لينرت، وبوهنكه (2000، ص  275) [8]. ^{ويُقدّم إيسينغا ،} هيسكيس، بيلزر، وتي غروتينهاوس (2017) ^{[ 9 ]} اختبارًا دقيقًا للمقارنة الثنائية لمجاميع رتب فريدمان، مُطبّقًا في لغة البرمجة R. ويُوفّر اختبار إيسينغا الدقيق تحسينًا كبيرًا على الاختبارات التقريبية المتاحة، خاصةً إذا كان عدد المجموعات (${\displaystyle k}$) كبير وعدد الكتل (${\displaystyle n}$) صغير.

لا تدعم جميع الحزم الإحصائية التحليل اللاحق لاختبار فريدمان، ولكن توجد أكواد برمجية ساهم بها المستخدمون توفر هذه الإمكانيات (على سبيل المثال في SPSS ، ^{[ 10 ]} وفي R ، ^{[ 11 ]} ). تحتوي حزمة R المسماة PMCMRplus على العديد من الطرق غير البارامترية للتحليل اللاحق لاختبار فريدمان، ^{[ 12 ]} بما في ذلك دعم اختبار نيميني .

• دانيال، واين دبليو. (1990). "تحليل التباين ثنائي الاتجاه لفريدمان حسب الرتب" . الإحصاءات اللامعلمية التطبيقية (  الطبعة الثانية). بوسطن: PWS-Kent. ص 262-274 . ISBN  978-0-534-91976-4.
• كيندال، إم جي (1970). أساليب ارتباط الرتب (  الطبعة الرابعة). لندن: تشارلز غريفين. ISBN 978-0-85264-199-6.
• هولاندر، م.؛ وولف، د.أ. (1973). الإحصاءات اللامعلمية . نيويورك: جون وايلي. ISBN 978-0-471-40635-8.
• الأماكن القريبة : كاستيلان، ن. جون جونيور (1988). الإحصائيات اللامعلمية للعلوم السلوكية (  الطبعة الثانية). نيويورك: ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0-07-100326-1.