الانحراف المعياري

لنفترض أن جميع الطلاب محل الاهتمام هم ثمانية طلاب في فصل دراسي معين. علاماتهم هي القيم الثمانية التالية: $${\displaystyle 2,\4,\4,\4,\5,\5,\7,\9.}$$

بالنسبة لمجموعة محدودة من الأرقام، يتم إيجاد الانحراف المعياري للمجتمع عن طريق أخذ الجذر التربيعي لمتوسط ​​مربعات انحرافات القيم مطروحًا من متوسط ​​قيمتها، أي: $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mathrm {average} \left((v-\mu )^{2}{\text{ for }}v\in \mathrm {values} \right)}}{\text{ Where }}\mu =\mathrm {average} (\mathrm {values} ).}$$

يبلغ متوسط ​​هذه البيانات الثمانية 5:$${\displaystyle \mu ={\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}={\frac {40}{8}}=5.}$$

بعد ذلك، احسب انحرافات كل نقطة بيانات عن المتوسط. ثم قم بتربيع نتيجة كل منها:$${\displaystyle {\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16.\\\end{array}}}$$

بعد ذلك، يكون التباين هو متوسط ​​هذه القيم: $${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}={\frac {32}{8}}=4}$$

وأخيرًا، فإن الانحراف المعياري للمجتمع هو الجذر التربيعي للتباين:$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {4}}=2.}$$

إذا لم تكن القيم الثمانية التي بدأنا بها تمثل كامل المجتمع محل الاهتمام، فإن هذا مجرد واحد من تقديرات عديدة محتملة للانحراف المعياري في المجتمع ككل. هذا التقدير تحديدًا متحيز ، أي أن قيمته المتوقعة في عمليات أخذ العينات المتكررة تنحرف عن القيمة الحقيقية، ولكنه يظل متسقًا . من ناحية أخرى، قد يكون متوسط ​​مربع الخطأ فيه أقل من متوسط ​​مربع الخطأ للمُقدِّر غير المتحيز .

إذا كان توزيع المجتمع محل الدراسة طبيعيًا تقريبًا، فإن الانحراف المعياري يُقدّم معلومات حول نسبة المشاهدات التي تقع أعلى أو أسفل قيم معينة. على سبيل المثال، يبلغ متوسط ​​طول الرجال البالغين في الولايات المتحدة حوالي 175  سم ^{[ 2 ]} ، بانحراف معياري يبلغ حوالي 7.5 سم . هذا يعني أن معظم الرجال (حوالي 68%، بافتراض التوزيع الطبيعي ) يقع طولهم ضمن نطاق 7.5 سم من المتوسط ​​( 167-188 سم ) - أي انحراف معياري واحد - وأن جميع الرجال تقريبًا (حوالي 95%) يقع طولهم ضمن نطاق 15 سم من المتوسط ​​( 160-195 سم ) - أي انحرافين معياريين. لو كان الانحراف المعياري صفرًا، لكان طول جميع الرجال 175 سم. ثلاثة انحرافات معيارية تُفسّر 99.73% من عينة المجتمع قيد الدراسة، بافتراض أن التوزيع طبيعي أو على شكل جرس (انظر قاعدة 68-95-99.7 ، أو القاعدة التجريبية ، لمزيد من المعلومات).         

في حالة أخذ المتغير العشوائي X قيمًا عشوائية من مجموعة بيانات محدودة x1 _، x2 _، ...، _xN ، مع تساوي احتمالية كل قيمة، يكون الانحراف المعياري هو

$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\ \left[\left(x_{1}-\mu \right)^{2}+\left(x_{2}-\mu \right)^{2}+\cdots +\left(x_{N}-\mu \right)^{2}\right]\;}}\ ,~~{\text{ where }}~~\mu \equiv {\frac {1}{N}}\left(x_{1}+\cdots +x_{N}\right)\ ,}$$ ملاحظة: يحتوي التعبير أعلاه على تحيز مُضمّن. انظر المناقشة حول تصحيح بيسل أدناه.

أو باستخدام رمز الجمع ،

$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}\;}}\ ,~~{\text{ where }}~~\mu \equiv {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}~.}$$

_{إذا كانت} القيم ذات احتمالات مختلفة بدلاً من أن تكون متساوية، فلنفترض أن x1 لها احتمال p1 _، و x2 لها احتمال p2 ، ...، و _{xN لها} احتمال pN . _في هذه الحالة، سيكون الانحراف المعياري _هو$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}\;}}\ ,~~{\text{ where }}~~\mu \equiv \sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}\,.}$$

الانحراف المعياري لمتغير عشوائي حقيقي مستمر X ذي دالة كثافة احتمالية p ( x ) هو $${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int _{\mathbf {X} }\left(x-\mu \right)^{2}\,p(x)\,{\mathrm {d} }x}}\,,~~{\text{ where }}~~\mu \equiv \int _{\mathbf {X} }x\,p(x)\,{\mathrm {d} }x\,,}$$

وحيث تكون التكاملات تكاملات محددة مأخوذة لـ x تتراوح على X ، والتي تمثل مجموعة القيم الممكنة للمتغير العشوائي X. 

في حالة عائلة التوزيعات البارامترية ، يمكن غالبًا التعبير عن الانحراف المعياري بدلالة معلمات التوزيع الأساسي. على سبيل المثال، في حالة التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ذي المعلمتين μ و σ² للتوزيع الطبيعي الأساسي، يُعطى الانحراف المعياري للمتغير اللوغاريتمي الطبيعي بالصيغة التالية ^:$${\displaystyle {\sqrt {\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)\ e^{2\mu +\sigma ^{2}}}}\,.}$$

يمكن تطبيق صيغة الانحراف المعياري للمجتمع (لمجتمع محدود) على العينة، باستخدام حجم العينة كحجم للمجتمع (مع العلم أن حجم المجتمع الفعلي الذي سُحبت منه العينة قد يكون أكبر بكثير). يُعرف هذا المُقدِّر، الذي يُرمز له بـ s _N ، بالانحراف المعياري للعينة غير المصحح ، أو أحيانًا الانحراف المعياري للعينة (باعتبارها المجتمع بأكمله)، ويُعرَّف كما يلي: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle s_{N}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}}$$ حيث { x ₁ , x ₂ , … , x _N } هي القيم المرصودة لعناصر العينة و x ̄ هو متوسط ​​هذه الملاحظات، بينما يمثل المقام N حجم العينة: هذا هو الجذر التربيعي لتباين العينة، وهو متوسط ​​مربعات الانحرافات حول متوسط ​​العينة.

هذا مُقدِّر متسق (يتقارب احتماليًا مع قيمة المجتمع الإحصائي عندما يؤول عدد العينات إلى اللانهاية)، وهو تقدير الاحتمال الأقصى عندما يكون توزيع المجتمع الإحصائي طبيعيًا. ^{[ 4 ]} مع ذلك، يُعد هذا مُقدِّرًا متحيزًا ، إذ تكون التقديرات منخفضة عمومًا. يقل التحيز مع ازدياد حجم العينة، ويتناقص بنسبة 1 / N ، وبالتالي يكون أكثر أهمية لأحجام العينات الصغيرة أو المتوسطة؛ أما بالنسبة لـ N > 75، فيكون التحيز أقل من 1%. لذا، بالنسبة لأحجام العينات الكبيرة جدًا، يكون الانحراف المعياري للعينة غير المصحح مقبولًا عمومًا. كما أن لهذا المُقدِّر متوسط ​​خطأ تربيعي أصغر بشكل منتظم من الانحراف المعياري للعينة المصحح.

إذا تم استخدام تباين العينة المتحيز ( العزم المركزي الثاني للعينة، وهو تقدير متحيز نحو الأسفل لتباين المجتمع) لحساب تقدير الانحراف المعياري للمجتمع، فإن النتيجة هي $${\displaystyle s_{N}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}$$

هنا، يؤدي حساب الجذر التربيعي إلى تحيز تنازلي إضافي، وفقًا لمتباينة جنسن ، نظرًا لأن الجذر التربيعي دالة مقعرة . يسهل تصحيح التحيز في التباين، لكن تصحيح التحيز الناتج عن الجذر التربيعي أكثر صعوبة، ويعتمد على التوزيع المدروس.

يتم الحصول على مقدر غير متحيز للتباين عن طريق تطبيق تصحيح بيسل ، باستخدام N − 1 بدلاً من N للحصول على تباين العينة غير المتحيز، والذي يرمز له بـ s ² : $${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}.}$$

يكون هذا المُقدِّر غير متحيز إذا كان التباين موجودًا وتم سحب قيم العينة بشكل مستقل مع الإحلال. يُمثل N − 1 عدد درجات الحرية في متجه الانحرافات عن المتوسط.${\displaystyle \textstyle (x_{1}-{\bar {x}},\;\dots ,\;x_{n}-{\bar {x}}).}$

يؤدي حساب الجذر التربيعي إلى إعادة إدخال التحيز (لأن الجذر التربيعي دالة غير خطية لا تتبادل مع القيمة المتوقعة، أي غالبًا ما تكون${\textstyle E[{\sqrt {X}}]\neq {\sqrt {E[X]}}}$)، مما ينتج عنه الانحراف المعياري المصحح للعينة، والذي يرمز إليه بـ s : $${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}$$

كما هو موضح أعلاه، على الرغم من أن s² يُعدّ مُقدِّرًا غير متحيز لتباين المجتمع، إلا ^أن s يظل مُقدِّرًا متحيزًا للانحراف المعياري للمجتمع، وإن كان أقل تحيزًا بشكل ملحوظ من الانحراف المعياري للعينة غير المصحح. يُستخدم هذا المُقدِّر بشكل شائع ويُعرف ببساطة باسم "الانحراف المعياري للعينة". قد يظل التحيز كبيرًا في العينات الصغيرة ( N أقل من 10). مع زيادة حجم العينة، يقل مقدار التحيز. نحصل على مزيد من المعلومات والفرق بين${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$و${\displaystyle {\frac {1}{N-1}}}$يصبح أصغر.

لتقدير الانحراف المعياري بشكل غير متحيز ، لا توجد صيغة واحدة صالحة لجميع التوزيعات، على عكس المتوسط ​​والتباين. بدلاً من ذلك، يُستخدم الانحراف المعياري (s) كأساس، ويُضرب بمعامل تصحيح للحصول على تقدير غير متحيز. بالنسبة للتوزيع الطبيعي، يُعطى التقدير غير المتحيز بالصيغة s / c ₄ ، حيث يُعطى معامل التصحيح (الذي يعتمد على N ) بدلالة دالة غاما ، ويساوي: $${\displaystyle c_{4}(N)\,=\,{\sqrt {\frac {2}{N-1}}}\,\,\,{\frac {\Gamma {\left({\frac {N}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {N-1}{2}}\right)}}}.}$$

ينشأ هذا لأن توزيع أخذ العينات للانحراف المعياري للعينة يتبع توزيع كاي (المقاس) ، وعامل التصحيح هو متوسط ​​توزيع كاي.

يمكن الحصول على قيمة تقريبية عن طريق استبدال N − 1 بـ N − 1.5 ، مما ينتج عنه: $${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{N-1.5}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},}$$

يتناقص الخطأ في هذا التقريب بشكل تربيعي (بمعدل 1 / N 2 ⁾ ، وهو مناسب لجميع العينات باستثناء أصغرها أو أعلى دقة: بالنسبة لـ N = 3 يكون الانحياز مساويًا لـ 13٪، وبالنسبة لـ N = 9 يكون الانحياز 3٪.

والتقريب الأكثر دقة هو استبدال N − 1.5 أعلاه بـ N − 1.5 + ¹ / 8 ( N − 1) . ^{[ 5} ]

بالنسبة للتوزيعات الأخرى، تعتمد الصيغة الصحيحة على التوزيع، ولكن القاعدة العامة هي استخدام المزيد من التحسين للتقريب: $${\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{N-1.5-{\frac {1}{4}}\gamma _{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}},}$$

حيث يرمز γ ₂ إلى التفرطح الزائد للسكان . قد يكون التفرطح الزائد معروفًا مسبقًا لبعض التوزيعات، أو يتم تقديره من البيانات. ^{[ 6 ]}

الانحراف المعياري الذي نحصل عليه من خلال أخذ عينة من التوزيع ليس دقيقًا تمامًا، وذلك لأسباب رياضية (موضحة هنا بفترة الثقة) ولأسباب عملية تتعلق بالقياس (خطأ القياس). ويمكن وصف التأثير الرياضي بفترة الثقة .

لتوضيح كيف يؤدي حجم العينة الأكبر إلى تضييق نطاق الثقة، انظر إلى الأمثلة التالية: مجتمع صغير مكون من فردين ( N = 2) لديه درجة حرية واحدة فقط لتقدير الانحراف المعياري. والنتيجة هي أن نطاق الثقة 95% للانحراف المعياري يمتد من 0.45 × الانحراف المعياري إلى 31.9 × الانحراف المعياري ؛ والعوامل هنا هي كما يلي :

$${\displaystyle \Pr \left(q_{\frac {\alpha }{2}}<k{\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}<q_{1-{\frac {\alpha }{2}}}\right)=1-\alpha ,}$$

أين${\displaystyle q_{p}}$يمثل المئين p لتوزيع كاي تربيع ذي k درجة حرية، و 1 − α هو مستوى الثقة. وهذا يكافئ ما يلي:

$${\displaystyle \Pr \left(k{\frac {s^{2}}{q_{1-{\frac {\alpha }{2}}}}}<\sigma ^{2}<k{\frac {s^{2}}{q_{\frac {\alpha }{2}}}}\right)=1-\alpha .}$$

عندما k = 1 ، فإن q _{= 0.025} = 0.000982 و q _{= 0.975} = 5.024 . مقلوب الجذر التربيعي لهذين العددين يعطينا العاملين 0.45 و 31.9 المذكورين أعلاه.

يُتيح مجتمع إحصائي أكبر حجمه N = 10 تسع درجات حرية لتقدير الانحراف المعياري. وباستخدام نفس الحسابات المذكورة أعلاه، نحصل في هذه الحالة على فاصل ثقة بنسبة 95% يمتد من 0.69 × الانحراف المعياري إلى 1.83 × الانحراف المعياري . لذا، حتى مع عينة حجمها 10، قد يظل الانحراف المعياري الفعلي أعلى بمرتين تقريبًا من الانحراف المعياري المأخوذ من العينة. أما بالنسبة لعينة حجمها N = 100 ، فينخفض ​​هذا الفرق إلى ما بين 0.88 × الانحراف المعياري و 1.16 × الانحراف المعياري . وللتأكد من أن الانحراف المعياري المأخوذ من العينة قريب من الانحراف المعياري الفعلي، نحتاج إلى أخذ عينة من عدد كبير من النقاط.

يمكن استخدام هذه الصيغ نفسها للحصول على فترات ثقة حول تباين البواقي من ملاءمة المربعات الصغرى في ظل نظرية التوزيع الطبيعي القياسي، حيث k هو الآن عدد درجات الحرية للخطأ.

بالنسبة لمجموعة بيانات N > 4 تغطي نطاقًا من القيم R ، يُعطى الحد الأعلى للانحراف المعياري s بالعلاقة s = 0.6 R. ^{[ 7} ] ويُستنتج تقدير الانحراف المعياري لبيانات N > 100، ^التي تُعتبر ذات توزيع طبيعي تقريبًا، من القاعدة التقريبية التي تنص على أن 95% من المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي تقع تقريبًا على بُعد انحرافين معياريين على جانبي المتوسط، بحيث يُمثل النطاق الكلي للقيم R ، باحتمالية 95%، أربعة انحرافات معيارية، وبالتالي s ≈ R / 4. تُعد قاعدة النطاق هذه مفيدة في تقدير حجم العينة ، حيث يسهل تقدير نطاق القيم الممكنة مقارنةً بتقدير الانحراف المعياري. وتتوفر قواسم أخرى K ( N ) للنطاق بحيث s ≈ R / K ( N ) لقيم أخرى لـ N وللتوزيعات غير الطبيعية. ^{[ 8 ]}

تكمن القيمة العملية لفهم الانحراف المعياري لمجموعة من القيم في تقدير مقدار التباين الموجود عن المتوسط ​​(المتوسط ​​الحسابي).

للحصول على بعض الأفكار الهندسية والتوضيحات، سنبدأ بمجموعة من ثلاث قيم، x1 ، x2 ، x3 . تُعرّف هذه _{المجموعة} نقطة P = ( _{x1 ، x2 ، x3} ) في الفضاء ثلاثي الأبعاد R³ ^. لنعتبر الخط L = {( r1 ، r2  ، r3 ) : r ∈ R } . هذا هو "القطر الرئيسي" المار بنقطة الأصل. إذا كانت قيمنا الثلاث متساوية، فسيكون الانحراف المعياري صفرًا، وستقع النقطة P على الخط L. لذا ، من المنطقي افتراض أن الانحراف المعياري مرتبط بمسافة P عن L. وهذا هو الحال بالفعل. للانتقال عموديًا من L إلى النقطة P ، نبدأ من النقطة:

$${\displaystyle M=\left({\bar {x}},{\bar {x}},{\bar {x}}\right)}$$

إحداثياتها هي متوسط ​​القيم التي بدأنا بها.

اشتقاق${\displaystyle M=\left({\bar {x}},{\bar {x}},{\bar {x}}\right)}$

${\displaystyle M}$هو على${\displaystyle L}$لذلك${\displaystyle M=(\ell ,\ell ,\ell )}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \ell \in \mathbb {R} }$. يجب أن يكون الخط L متعامدًا مع المتجه من M إلى P. لذلك: $${\displaystyle {\begin{aligned}L\cdot (P-M)&=0\\[4pt](r,r,r)\cdot (x_{1}-\ell ,x_{2}-\ell ,x_{3}-\ell )&=0\\[4pt]r(x_{1}-\ell +x_{2}-\ell +x_{3}-\ell )&=0\\[4pt]r\left(\sum _{i}x_{i}-3\ell \right)&=0\\[4pt]\sum _{i}x_{i}-3\ell &=0\\[4pt]{\frac {1}{3}}\sum _{i}x_{i}&=\ell \\[4pt]{\bar {x}}&=\ell \end{aligned}}}$$

يُظهر القليل من الجبر أن المسافة بين P و M (وهي نفسها المسافة العمودية بين P والخط L )${\textstyle {\sqrt {\sum _{i}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}}$يساوي الانحراف المعياري للمتجه ( x1 _، x2 _، x3 ₎ ، مضروبًا في الجذر التربيعي لعدد أبعاد المتجه (3 في هذه الحالة ) .

نادراً ما تتجاوز قيمة أي مشاهدة بضعة انحرافات معيارية عن المتوسط. تضمن متباينة تشيبيشيف أنه بالنسبة لجميع التوزيعات التي يُعرَّف لها الانحراف المعياري، فإن كمية البيانات ضمن عدد من الانحرافات المعيارية عن المتوسط ​​لا تقل عن الكمية الموضحة في الجدول التالي.

المسافة من المتوسط	الحد الأدنى للسكان
${\displaystyle {\sqrt {2}}\,\sigma }$	50%
${\displaystyle 2\sigma }$	75%
${\displaystyle 3\sigma }$	89%
${\displaystyle 4\sigma }$	94%
${\displaystyle 5\sigma }$	96%
${\displaystyle 6\sigma }$	97%
${\displaystyle k\sigma }$	${\displaystyle 1-{\frac {1}{k^{2}}}}$[ 12 ]
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\ell }}}\,\sigma }$	${\displaystyle \ell }$

تنص نظرية النهاية المركزية على أن توزيع متوسط ​​العديد من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع يميل نحو التوزيع الطبيعي الشهير على شكل جرس، والذي تكون دالة كثافة احتماله

$${\displaystyle f\left(x,\mu ,\sigma ^{2}\right)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}},}$$

حيث μ هي القيمة المتوقعة للمتغيرات العشوائية، ^و σ تساوي الانحراف المعياري لتوزيعها مقسومًا على n ^{1/2 ،} و n هو عدد المتغيرات العشوائية. وبالتالي، فإن الانحراف المعياري هو ببساطة متغير قياس يُعدّل مدى اتساع المنحنى، على الرغم من أنه يظهر أيضًا في ثابت التوحيد .

إذا كان توزيع البيانات طبيعيًا تقريبًا، فإن نسبة قيم البيانات التي تقع ضمن z انحرافات معيارية عن المتوسط ​​تُحدد كما يلي:

$${\displaystyle {\text{Proportion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)}$$

أين${\displaystyle \textstyle \operatorname {erf} }$هي دالة الخطأ . النسبة التي تقل عن أو تساوي عددًا ما، x ، تُعطى بواسطة دالة التوزيع التراكمي : ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle {\text{Proportion}}\leq x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right].}$$

إذا كان توزيع البيانات طبيعيًا تقريبًا، فإن حوالي 68% من قيم البيانات تقع ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط ​​(رياضيًا، μ ± σ ، حيث μ هو المتوسط ​​الحسابي)، وحوالي 95% تقع ضمن انحرافين معياريين ( μ ± 2 σ )، وحوالي 99.7% تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية ( μ ± 3 σ ). يُعرف هذا بقاعدة 68-95-99.7 ، أو القاعدة التجريبية .

بالنسبة لقيم مختلفة لـ z ، فإن النسبة المئوية للقيم المتوقع أن تقع داخل وخارج الفترة المتناظرة، CI = (− z' σ , z' σ ) ، هي كما يلي:

• المتجهات الذاتية والقيم الذاتية لـ${\displaystyle \mathbf {S} }$تتوافق هذه المحاور مع محاور القطع الناقص للخطأ ذي الانحراف المعياري الواحد للتوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات. انظر: التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات: التفسير الهندسي .

  

• الانحراف المعياري لإسقاط التوزيع متعدد المتغيرات (أي التوزيع الهامشي) على خط في اتجاه متجه الوحدة${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$يساوي${\displaystyle {\sqrt {{\hat {\boldsymbol {\eta }}}'\mathbf {\Sigma } {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}}=\lVert \mathbf {S} {\hat {\boldsymbol {\eta }}}\rVert }$.
• الانحراف المعياري لشريحة من التوزيع متعدد المتغيرات (أي التوزيع الشرطي) على طول الخط في اتجاه متجه الوحدة${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}$يساوي${\displaystyle {\frac {1}{\lVert \mathbf {S} ^{-1}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}\rVert }}}$.
• مؤشر التمييز بين توزيعين متساويين في التباين هو مسافة ماهالانوبيس الخاصة بهما ، والتي يمكن التعبير عنها أيضًا بدلالة مصفوفة الانحراف المعياري:${\displaystyle d'={\sqrt {({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b})}}=\lVert \mathbf {S} ^{-1}{\boldsymbol {d}}\rVert }$، أين${\displaystyle {\boldsymbol {d}}={\boldsymbol {\mu }}_{a}-{\boldsymbol {\mu }}_{b}}$هو متجه متوسط ​​الفرق.
• منذ${\displaystyle \mathbf {S} }$عند تغيير مقياس المتغير المعياري، يمكن استخدامه لعكس التحويل، وجعله غير مرتبط وذو تباين موحد:${\displaystyle {\boldsymbol {z}}=\mathbf {S} ^{-1}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {\mu }})}$له متوسط ​​صفري وتغاير متطابق. وهذا ما يسمى بتحويل ماهالانوبيس للتبييض .

في كثير من الأحيان، نرغب في الحصول على معلومات حول دقة المتوسط ​​الذي حصلنا عليه. ويمكننا الحصول على ذلك بتحديد الانحراف المعياري للمتوسط ​​المأخوذ من العينة. وبافتراض الاستقلال الإحصائي للقيم في العينة، فإن الانحراف المعياري للمتوسط ​​( SDOM ) يرتبط بالانحراف المعياري للتوزيع بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle \sigma _{\text{mean}}={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sigma ,}$$

حيث N هو عدد المشاهدات في العينة المستخدمة لتقدير المتوسط. ويمكن إثبات ذلك بسهولة باستخدام (انظر الخصائص الأساسية للتباين ): $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\sigma _{X}^{2}\\\operatorname {var} (X_{1}+X_{2})&=\operatorname {var} (X_{1})+\operatorname {var} (X_{2})\\\end{aligned}}}$$ (يفترض الاستقلال الإحصائي.) $${\displaystyle \operatorname {var} (cX_{1})\equiv c^{2}\,\operatorname {var} (X_{1})}$$

لذلك $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} ({\text{mean}})&=\operatorname {var} \left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)={\frac {1}{N^{2}}}\operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\operatorname {var} (X_{i})={\frac {N}{N^{2}}}\operatorname {var} (X)={\frac {1}{N}}\operatorname {var} (X).\end{aligned}}}$$

مما أدى إلى: $${\displaystyle \sigma _{\text{mean}}={\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}.}$$

لتقدير الانحراف المعياري للمتوسط ​​(σ _mean)، من الضروري معرفة الانحراف المعياري للمجتمع الإحصائي بأكمله (σ) مسبقًا. مع ذلك، في معظم التطبيقات، يكون هذا المعيار غير معروف. على سبيل المثال، إذا أُجريت سلسلة من 10 قياسات لكمية غير معروفة مسبقًا في مختبر، فمن الممكن حساب متوسط ​​العينة وانحرافها المعياري، لكن من المستحيل حساب الانحراف المعياري للمتوسط. مع ذلك، يمكن تقدير الانحراف المعياري للمجتمع الإحصائي بأكمله من العينة، وبالتالي الحصول على تقدير للخطأ المعياري للمتوسط.

عندما تكون القيم${\displaystyle x_{k}}$يتم ترجيحها بأوزان غير متساوية${\displaystyle w_{k}}$يتم حساب مجموع القوى s ₀ و s ₁ و s _{2 على النحو التالي:}

$${\displaystyle s_{j}=\sum _{k=1}^{N}w_{k}x_{k}^{j}.\,}$$

وتبقى معادلات الانحراف المعياري دون تغيير. s 0 _الآن هو مجموع الأوزان وليس عدد العينات N.

يمكن أيضًا تطبيق الطريقة التزايدية مع تقليل أخطاء التقريب، مع بعض التعقيد الإضافي.

يجب حساب مجموع الأوزان لكل قيمة k من 1 إلى n : $${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}&=0\\W_{k}&=W_{k-1}+w_{k}\end{aligned}}}$$

ويجب استبدال المواضع التي تم فيها استخدام 1/ k أعلاه بـ${\displaystyle w_{k}/W_{k}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=0\\A_{k}&=A_{k-1}+{\frac {w_{k}}{W_{k}}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\\Q_{0}&=0\\Q_{k}&=Q_{k-1}+{\frac {w_{k}W_{k-1}}{W_{k}}}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)^{2}\\&=Q_{k-1}+w_{k}\left(x_{k}-A_{k-1}\right)\left(x_{k}-A_{k}\right)\end{aligned}}}$$

في القسم الأخير، $${\displaystyle \sigma _{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}}}\,}$$

و $${\displaystyle s_{n}^{2}={\frac {Q_{n}}{W_{n}-1}},}$$

أو $${\displaystyle s_{n}^{2}={\frac {n'}{n'-1}}\sigma _{n}^{2},}$$

حيث n هو العدد الإجمالي للعناصر، و n ′ هو عدد العناصر ذات الأوزان غير الصفرية.

تصبح الصيغ المذكورة أعلاه مساوية للصيغ الأبسط المذكورة أعلاه إذا تم اعتبار الأوزان مساوية للواحد.