الانحرافات التربيعية عن المتوسط

ينتج الانحراف التربيعي عن المتوسط ​​( SDM ) عن تربيع الانحرافات . في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعرَّف التباين إما بأنه القيمة المتوقعة للانحراف التربيعي عن المتوسط ​​(عند النظر إلى توزيع نظري ) أو قيمته المتوسطة (للبيانات التجريبية الفعلية). تتضمن حسابات تحليل التباين تقسيم مجموع الانحرافات التربيعية عن المتوسط.

إن فهم العمليات الحسابية المعنية يتحسن بشكل كبير من خلال دراسة القيمة الإحصائية

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$، أين${\displaystyle \operatorname {E} }$هو عامل القيمة المتوقعة.

بالنسبة لمتغير عشوائي${\displaystyle X}$مع المتوسط${\displaystyle \mu }$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$،

${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} (X^{2})-\mu ^{2}.}$^{[ 1 ]}

(يُبين اشتقاقها هنا .) لذلك،

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=\sigma ^{2}+\mu ^{2}.}$

مما سبق، يمكن استخلاص ما يلي:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \left(X^{2}\right)\right)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2},}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\left(\sum X\right)^{2}\right)=n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}.}$

يمكن حساب مجموع مربعات الانحرافات اللازمة لحساب تباين العينة (قبل تحديد ما إذا كان سيتم القسمة على n أو n − 1) بسهولة أكبر على النحو التالي:   $${\displaystyle S=\sum x^{2}-{\frac {\left(\sum x\right)^{2}}{n}}.}$$

من التوقعين المشتقين أعلاه، تكون القيمة المتوقعة لهذا المجموع هي $${\displaystyle \operatorname {E} (S)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}-{\frac {n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}}{n}},}$$ وهذا يعني $${\displaystyle \operatorname {E} (S)=(n-1)\sigma ^{2}.}$$

يثبت هذا بشكل فعال استخدام القاسم n − 1 في حساب تقدير العينة غير المتحيز لـ σ ² .   

في حالة توفر البيانات لـ k مجموعة علاجية مختلفة بحجم nᵢ حيث يتراوح _i من 1 إلى k ، يُفترض أن المتوسط ​​المتوقع لكل مجموعة هو

${\displaystyle \operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{i}}$

ويظل تباين كل مجموعة علاجية دون تغيير عن تباين المجتمع.${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

بافتراض الفرضية الصفرية القائلة بأن العلاجات ليس لها أي تأثير، فإن كلًا من${\displaystyle T_{i}}$ستكون النتيجة صفرًا.

أصبح من الممكن الآن حساب ثلاثة مجاميع مربعات:

فردي

${\displaystyle I=\sum x^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (I)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}$

العلاجات

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}}$

بافتراض الفرضية الصفرية التي تنص على أن العلاجات لا تُحدث أي اختلافات وأن جميع${\displaystyle T_{i}}$إذا كانت القيم صفرًا، فإن التوقع يتبسط إلى

${\displaystyle \operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.}$

مزيج

${\displaystyle C=\left(\sum x\right)^{2}/n}$

${\displaystyle \operatorname {E} (C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}}$

• الانحراف المطلق
• خوارزميات لحساب التباين
• الأخطاء والبواقي
• طريقة المربعات الصغرى
• متوسط ​​مربع الخطأ
• مجموع مربعات البواقي
• الانحراف المعياري للجذر التربيعي
• تحليل تباين أخطاء التنبؤ