إحصائية مربع كاي المخفضة

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 24 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُستخدم إحصاء مربع كاي المُختزل على نطاق واسع في اختبارات جودة المطابقة . ويُعرف أيضًا باسم متوسط ​​مربع الانحراف الموزون ( MSWD ) في التأريخ النظائري [ 1 ] ، وتباين الوزن الموحد في سياق المربعات الصغرى الموزونة [ 2 ] [ 3 ] .

يُطلق على جذرها التربيعي اسم الخطأ المعياري للانحدار ، [ 4 ] الخطأ المعياري للانحدار ، [ 5 ] [ 6 ] أو الخطأ المعياري للمعادلة [ 7 ] (انظر المربعات الصغرى العادية §  مربع كاي المختزل )

تعريف

يتم تعريفها على أنها مربع كاي لكل درجة حرية : [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] : 85 [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]χν2=χ2ν،{\displaystyle \chi _{\nu }^{2}={\frac {\chi ^{2}}{\nu }},} حيث يمثل مربع كاي مجموعًا مرجحًا لمربعات الانحرافات : χ2=∑أنا(ياأنا-جأنا)2σأنا2{\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i}{\frac {(O_{i}-C_{i})^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}} مع المدخلات: التباينσأنا2{\displaystyle \sigma _{i}^{2}}، الملاحظات O ، والبيانات المحسوبة C. [ 8 ] درجة الحرية ،ν=ن-م{\displaystyle \nu =nm}، يساوي عدد الملاحظات n مطروحًا منه عدد المعلمات المُلائمة m .

في طريقة المربعات الصغرى الموزونة ، غالبًا ما يُكتب التعريف باستخدام تدوين المصفوفات كما يلي: χν2=رتيدبليورν،{\displaystyle \chi _{\nu }^{2}={\frac {r^{\mathrm {T} }Wr}{\nu }},} حيث يمثل r متجه البواقي، و W مصفوفة الأوزان، وهي معكوس مصفوفة التغاير (القطرية) للمدخلات. إذا كانت W غير قطرية، فسيتم تطبيق طريقة المربعات الصغرى المعممة .

في طريقة المربعات الصغرى العادية ، يتبسط التعريف إلى: χν2=RSSν،{\displaystyle \chi _{\nu }^{2}={\frac {\mathrm {RSS} }{\nu }},}RSS=∑ر2،{\displaystyle \mathrm {RSS} =\sum r^{2},} حيث يكون البسط هو مجموع مربعات البواقي (RSS).

عندما يكون التوافق مجرد متوسط ​​عادي، فـχν2{\displaystyle \chi _{\nu }^{2}}يساوي تباين العينة ، مربع الانحراف المعياري للعينة .

مناقشة

كقاعدة عامة، عندما يكون تباين خطأ القياس معروفًا مسبقًا ، فإنχν2≫1{\displaystyle \chi _{\nu }^{2}\gg 1}يشير ذلك إلى ضعف ملاءمة النموذج. أχν2>1{\displaystyle \chi _{\nu }^{2}>1}يشير ذلك إلى أن النموذج لم يستوعب البيانات بشكل كامل (أو أن تباين الخطأ قد تم التقليل من شأنه). من حيث المبدأ، قيمةχν2{\displaystyle \chi _{\nu }^{2}}حول 1{\displaystyle 1}يشير ذلك إلى أن مدى التطابق بين الملاحظات والتقديرات يتوافق مع تباين الخطأ.χν2<1{\displaystyle \chi _{\nu }^{2}<1}يشير هذا إلى أن النموذج " يُفرط في ملاءمة " البيانات: إما أن النموذج لا يُلائم الضوضاء بشكل صحيح، أو أن تباين الخطأ قد تم المبالغة في تقديره. [ 11 ] : 89

عندما يكون تباين خطأ القياس معروفًا جزئيًا فقط، يمكن أن يكون مربع كاي المختزل بمثابة تصحيح يتم تقديره لاحقًا .

التطبيقات

علم التأريخ الجيولوجي

في علم تحديد العمر الجيولوجي ، يُعدّ مؤشر MSWD مقياسًا لجودة المطابقة، يأخذ في الاعتبار الأهمية النسبية لكلٍّ من قابلية التكرار الداخلية والخارجية، ويُستخدم بشكل شائع في التأريخ النظائري. [ 16 ] [ 17 ] [ 1 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]

بشكل عام عندما:

MSWD = 1 إذا كانت بيانات العمر تتناسب مع التوزيع الطبيعي أحادي المتغير في t ( لمتوسط ​​العمر الحسابي ) أو log( t ) (لمتوسط ​​العمر الهندسي )، أو إذا كانت البيانات التركيبية تتناسب مع التوزيع الطبيعي ثنائي المتغير في [log( U / He ),log( Th /He)]-space (للعمر المركزي).

تكون قيمة MSWD أقل من 1 إذا كان التشتت المرصود أقل من التشتت المتوقع بناءً على عدم اليقين التحليلي. في هذه الحالة، يُقال إن البيانات "أقل تشتتًا"، مما يشير إلى أن عدم اليقين التحليلي قد تم تقديره بأكثر من قيمته الحقيقية.

تكون قيمة MSWD أكبر من 1 إذا تجاوز التشتت المرصود التشتت المتوقع بناءً على عدم اليقين التحليلي. في هذه الحالة، يُقال إن البيانات "مُفرطة التشتت". هذه الحالة هي القاعدة وليست الاستثناء في علم تحديد العمر الجيولوجي باستخدام نظائر اليورانيوم-الثوريوم/الهيليوم، مما يدل على عدم اكتمال فهمنا لنظام النظائر. وقد طُرحت عدة أسباب لتفسير فرط تشتت بيانات اليورانيوم-الثوريوم/الهيليوم، بما في ذلك التوزيع غير المتجانس لليورانيوم-الثوريوم والتلف الإشعاعي.

غالباً ما يقوم عالم تحديد العمر الجيولوجي بتحديد سلسلة من قياسات العمر على عينة واحدة، مع القيمة المقاسةxأنا{\displaystyle x_{i}}وجود وزنwأنا{\displaystyle w_{i}}والخطأ المرتبط بهσxأنا{\displaystyle \sigma _{x_{i}}}لكل تحديد عمر. فيما يتعلق بالترجيح، يمكن ترجيح جميع الأعمار المقاسة بالتساوي، أو ترجيحها بنسبة العينة التي تمثلها. على سبيل المثال، إذا استُخدم ثلثا العينة للقياس الأول وثلثها للقياس الثاني والأخير، فيمكن ترجيح القياس الأول بضعف ترجيح القياس الثاني.

المتوسط ​​الحسابي لتحديدات العمر هو x¯=∑أنا=1شمالxأناشمال،{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}}{N}},} لكن هذه القيمة قد تكون مضللة، ما لم يكن لكل تحديد للعمر أهمية متساوية.

عندما يُفترض أن لكل قيمة مقاسة نفس الوزن أو الأهمية، يتم حساب تقديرات التباين المتحيزة وغير المتحيزة (أو " العينة " و"المجتمع" على التوالي) على النحو التالي:σ2=∑أنا=1شمال(xأنا-x¯)2شمال و s2=شمالشمال-1⋅σ2=1شمال-1⋅∑أنا=1شمال(xأنا-x¯)2.{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{N}}{\text{ و }}s^{2}={\frac {N}{N-1}}\cdot \sigma ^{2}={\frac {1}{N-1}}\cdot \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.}

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين.

عندما لا تكون التقديرات الفردية للعمر متساوية الأهمية، فمن الأفضل استخدام المتوسط ​​المرجح للحصول على العمر "المتوسط"، كما يلي: x¯*=∑أنا=1شمالwأناxأنا∑أنا=1شمالwأنا.{\displaystyle {\overline {x}}^{*}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}.}

يمكن إثبات أن المقدر المرجح المتحيز للتباين هو σ2=∑أنا=1شمالwأنا(xأنا-x¯*)2∑أنا=1شمالwأنا،{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-{\overline {x}}^{*})^{2}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}},} والتي يمكن حسابها على النحو التالي σ2=∑أنا=1شمالwأناxأنا2⋅∑أنا=1شمالwأنا-(∑أنا=1شمالwأناxأنا)2(∑أنا=1شمالwأنا)2.{\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{N}w_{i}-{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}{\big )}^{2}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}}}.}

يمكن حساب المقدر المرجح غير المتحيز لتباين العينة على النحو التالي: s2=∑أنا=1شمالwأنا(∑أنا=1شمالwأنا)2-∑أنا=1شمالwأنا2⋅∑أنا=1شمالwأنا(xأنا-x¯*)2.{\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\cdot {\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-{\overline {x}}^{*})^{2}}.} ومرة أخرى، فإن الانحراف المعياري المقابل هو الجذر التربيعي للتباين.

يمكن أيضًا حساب المقدر المرجح غير المتحيز لتباين العينة أثناء التشغيل على النحو التالي: s2=∑أنا=1شمالwأناxأنا2⋅∑أنا=1شمالwأنا-(∑أنا=1شمالwأناxأنا)2(∑أنا=1شمالwأنا)2-∑أنا=1شمالwأنا2.{\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{N}w_{i}-{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}{\big )}^{2}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}.}

يمكن بعد ذلك حساب متوسط ​​مربع الانحرافات المرجحة غير المرجح (MSWD غير المرجح)، على النحو التالي: MSWDu=1شمال-1⋅∑أنا=1شمال(xأنا-x¯)2σxأنا2.{\displaystyle {\text{MSWD}}_{u}={\frac {1}{N-1}}\cdot \sum _{i=1}^{N}{\frac {(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{\sigma _{x_{i}}^{2}}}.}

وبالمثل، يمكن حساب متوسط ​​مربع الانحرافات المرجحة (MSWD المرجح) على النحو التالي: MSWDw=∑أنا=1شمالwأنا(∑أنا=1شمالwأنا)2-∑أنا=1شمالwأنا2⋅∑أنا=1شمالwأنا(xأنا-x¯*)2(σxأنا)2.{\displaystyle {\text{MSWD}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\cdot \sum _{i=1}^{N}{\frac {w_{i}(x_{i}-{\overline {x}}^{*})^{2}}{(\sigma _{x_{i}})^{2}}}.}

تحليل راش

في تحليل البيانات القائم على نموذج راش ، يُطلق على إحصائية مربع كاي المختزلة اسم إحصائية متوسط ​​مربع الانحراف للتوزيع، ويُطلق على إحصائية مربع كاي المختزلة المرجحة بالمعلومات اسم إحصائية متوسط ​​مربع الانحراف للتوزيع الداخلي. [ 21 ]

مراجع

  1. 1 2 ويندت، آي.، وكارل، سي.، 1991، التوزيع الإحصائي للانحراف المرجح المتوسط ​​المربع، الجيولوجيا الكيميائية، 275-285.
  2. ↑ سترانج، جيلبرت؛ بور، كاي (1997). الجبر الخطي، والجيوديسيا، ونظام تحديد المواقع العالمي (GPS) . مطبعة ويليسلي-كامبريدج. ص  301. ISBN 9780961408862.
  3. ↑ كوخ، كارل-رودولف (2013). تقدير المعلمات واختبار الفرضيات في النماذج الخطية . سبرينغر برلين هايدلبرغ. القسم 3.2.5. ISBN 9783662039762.
  4. ↑ جوليان فاراواي (2000)، الانحدار العملي وتحليل التباين باستخدام لغة البرمجة R
  5. ↑ كيني، ج.؛ كيبينغ، إي إس (1963). رياضيات الإحصاء . فان نوستراند. ص 187. 
  6. ↑ زويلينجر، د. (1995). الجداول والصيغ الرياضية القياسية . تشابمان آند هول/سي آر سي. ص 626. ISBN  0-8493-2479-3.
  7. ↑ هاياشي، فوميو (2000). الاقتصاد القياسي . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-01018-8.
  8. 1 2 لاوب، تشارلي؛ كول، تونيا ل. (بدون تاريخ)، ما مدى سوء الجيد؟ نظرة نقدية على ملاءمة نماذج الانعكاسية باستخدام إحصائية مربع كاي المخفضة (ملف PDF) ، جامعة كاليفورنيا، ديفيس، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 6 أكتوبر 2016 ، تم استرجاعه في 30 مايو 2015
  9. ↑ تايلور، جون روبرت (1997)، مقدمة في تحليل الأخطاء ، منشورات جامعة العلوم، ص 268 
  10. ↑ كيركمان، تي دبليو (بدون تاريخ)، ملاءمة منحنى مربع كاي ، تم الاطلاع عليه في 30 مايو 2015
  11. 1 2 بيفينجتون، فيليب ر. (1969)، اختزال البيانات وتحليل الأخطاء للعلوم الفيزيائية ، نيويورك: ماكجرو هيل
  12. ↑ القياسات وعدم اليقين فيها: دليل عملي لتحليل الأخطاء الحديث، بقلم إيفان هيوز وتوماس هاس
  13. ↑ التعامل مع حالات عدم اليقين: دليل لتحليل الأخطاء، بقلم مانفريد دروسج
  14. ↑ الإحصاء العملي لعلماء الفلك، بقلم جيه في وول وسي آر جينكينز
  15. ↑ الأساليب الحسابية في الفيزياء والهندسة، بقلم صموئيل شو مينغ وونغ
  16. ↑ ديكين، أ.ب. 1995. جيولوجيا النظائر المشعة. مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، المملكة المتحدة، 1995، رقم ISBN 0-521-43151-4، ISBN 0-521-59891-5
  17. ↑ ماكدوغال، آي. وهاريسون، تي إم 1988. علم تحديد العمر الجيولوجي وعلم تحديد العمر الحراري باستخدام طريقة 40 Ar/ 39 Ar. مطبعة جامعة أكسفورد.
  18. ^ Lance P. Black، Sandra L. Kamo، Charlotte M. Allen، John N. Aleinikoff، Donald W. Davis، Russell J. Korsch، Chris Foudoulis 2003. TEMORA 1: معيار الزركون الجديد لعلم الأرض الجيولوجي Phanerozoic U – Pb. الجيولوجيا الكيميائية 200، 155-170.
  19. ↑ إم جيه ستريول، آر جيه فيليبس، إم بي سيرل، دي جيه ووترز، وإم إس إيه هورستوود، 2009. تطور وتسلسل زمني لمجمع بانغونغ المتحول المجاور لصدع كاراكورام، لاداخ: قيود من قياسات الضغط والحرارة، ونمذجة التحول، والتأريخ الجيولوجي باستخدام اليورانيوم-الرصاص. مجلة الجمعية الجيولوجية 166، 919-932. doi : 10.1144/0016-76492008-117
  20. ↑ روجر باول، جانيت هيرجت ، جون وودهد 2002. تحسين حسابات خطوط التساوي الزمني باستخدام الإحصاءات القوية وتقنية بوتستراب. الجيولوجيا الكيميائية 185، 191-204.
  21. ↑ ليناكر، جيه إم (2002). "ماذا تعني Infit وOutfit، ومتوسط ​​المربعات، والمعيارية؟" . معاملات قياس راش . 16 (2): 878.