المتوسط ​​الحسابي المرجح

عند التعامل مع الأوزان كثوابت، ومع وجود عينة من n مشاهدة من متغيرات عشوائية غير مرتبطة ، جميعها بنفس التباين والتوقع (كما هو الحال بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع )، يمكن تقدير تباين المتوسط ​​المرجح كحاصل ضرب التباين غير المرجح في تأثير تصميم كيش (انظر البرهان ):

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\bar {y}}_{w})={\hat {\sigma }}_{y}^{2}{\frac {\overline {w^{2}}}{{\bar {w}}^{2}}}}$

مع${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\bar {y}})^{2}}{n-1}}}$،${\displaystyle {\bar {w}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}}$، و${\displaystyle {\overline {w^{2}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}}{n}}}$

إلا أن هذا التقدير محدود نوعاً ما بسبب الافتراض القوي حول مشاهدات y . وقد أدى ذلك إلى تطوير مقدرات بديلة وأكثر عمومية.

من منظور قائم على النموذج ، نهتم بتقدير تباين المتوسط ​​المرجح عندما تكون القيم المختلفة${\displaystyle y_{i}}$ليست متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع . ثمة منظور بديل لهذه المشكلة يتمثل في تصميم عينة عشوائية للبيانات، حيث تُختار الوحدات باحتمالات غير متساوية (مع الإحلال). ^{[ 1 ] : 306}

في منهجية المسح ، يتم حساب متوسط ​​المجتمع، لكمية معينة ذات أهمية y ، عن طريق أخذ تقدير لمجموع y على جميع عناصر المجتمع ( Y أو أحيانًا T ) وقسمته على حجم المجتمع - سواء كان معروفًا (${\displaystyle N}$) أو تقديرية (${\displaystyle {\hat {N}}}$في هذا السياق، تُعتبر كل قيمة من قيم y ثابتة، وينشأ التباين من عملية الاختيار. وهذا على عكس المناهج "القائمة على النموذج" التي غالبًا ما تُوصف فيها العشوائية بقيم y. تُنتج عملية أخذ العينات في المسح سلسلة من قيم مؤشر برنولي (${\displaystyle I_{i}}$تُعطى قيمة 1 إذا كانت إحدى المشاهدات (i) موجودة في العينة، وقيمة 0 إذا لم يتم اختيارها. يمكن أن يحدث هذا مع حجم عينة ثابت، أو مع أحجام عينات متغيرة (مثل: أخذ عينات بواسون ). يُرمز إلى احتمال اختيار عنصر ما، بالنظر إلى عينة معينة، بـ${\displaystyle P(I_{i}=1\mid {\text{Some sample of size }}n)=\pi _{i}}$واحتمالية الاختيار في سحبة واحدة هي${\displaystyle P(I_{i}=1|{\text{one sample draw}})=p_{i}\approx {\frac {\pi _{i}}{n}}}$(إذا كان N كبيرًا جدًا وكل${\displaystyle p_{i}}$(صغير جدًا). ​​في الاشتقاق التالي، سنفترض أن احتمال اختيار كل عنصر ممثل بالكامل بهذه الاحتمالات. ^{[ 2 ] : 42، 43، 51.} أي: اختيار عنصر ما لن يؤثر على احتمال سحب عنصر آخر (لا ينطبق هذا على أمور مثل تصميم أخذ العينات العنقودية ).

بما أن كل عنصر (${\displaystyle y_{i}}$) ثابت، والعشوائية تأتي من إدراجه في العينة أو عدم إدراجه فيها (${\displaystyle I_{i}}$عندما نتحدث عن حاصل ضرب العددين، وهو متغير عشوائي، فإننا غالبًا ما نشير إلى هذا المتغير. ولتجنب الالتباس في القسم التالي، سنستخدم المصطلح التالي:${\displaystyle y'_{i}=y_{i}I_{i}}$مع التوقع التالي:${\displaystyle E[y'_{i}]=y_{i}E[I_{i}]=y_{i}\pi _{i}}$والتباين:${\displaystyle V[y'_{i}]=y_{i}^{2}V[I_{i}]=y_{i}^{2}\pi _{i}(1-\pi _{i})}$.

عندما يتم تضخيم كل عنصر من عناصر العينة بمعكوس احتمال اختياره، يُطلق عليه اسم${\displaystyle \pi }$- قيم y الموسعة ، أي:${\displaystyle {\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}$الكمية المرتبطة هي${\displaystyle p}$- قيم y الموسعة :${\displaystyle {\frac {y_{i}}{p_{i}}}=n{\check {y}}_{i}}$[ ^{2 ] : 42، 43، 51، 52} كما سبق، يمكننا إضافة علامة صح عند الضرب ^بدالة المؤشر . أي:${\displaystyle {\check {y}}'_{i}=I_{i}{\check {y}}_{i}={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}}$

في هذا المنظور القائم على التصميم ، تُستمد الأوزان المستخدمة في بسط المتوسط ​​المرجح من خلال أخذ مقلوب احتمالية الاختيار (أي: عامل التضخم).${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}\approx {\frac {1}{n\times p_{i}}}}$.

إذا كان حجم السكان N معروفًا، فيمكننا تقدير متوسط ​​السكان باستخدام${\displaystyle {\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\approx {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}}$.

إذا كان تصميم أخذ العينات ينتج عنه حجم عينة ثابت n (كما هو الحال في أخذ العينات pps )، فإن تباين هذا المقدر هو:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\hat {\bar {Y}}}_{{\text{known }}N}\right)={\frac {1}{N^{2}}}{\frac {n}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}-{\overline {wy}}\right)^{2}}$

يُقدَّم مصطلح بديل، عندما يكون حجم العينة عشوائيًا (كما هو الحال في أخذ عينات بواسون )، في سارندال وآخرون (1992) على النحو التالي: ^{[ 2 ] : 182}

$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\bar {Y}}}_{{\text{pwr (known }}N{\text{)}}})={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\check {\Delta }}_{ij}{\check {y}}_{i}{\check {y}}_{j}\right)}$$

مع${\displaystyle {\check {y}}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}$. أيضًا،${\displaystyle C(I_{i},I_{j})=\pi _{ij}-\pi _{i}\pi _{j}=\Delta _{ij}}$أين${\displaystyle \pi _{ij}}$هي احتمالية اختيار كل من i و j. ^{[ 2 ] : 36} و${\displaystyle {\check {\Delta }}_{ij}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{j}}{\pi _{ij}}}}$وبالنسبة لـ i=j:${\displaystyle {\check {\Delta }}_{ii}=1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}}$[ ^{2 ] : 43​}

إذا كانت احتمالات الاختيار غير مترابطة (أي:${\displaystyle \forall i\neq j:C(I_{i},I_{j})=0}$وعند افتراض أن احتمال كل عنصر صغير جدًا، فإن:

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\hat {\bar {Y}}}_{{\text{pwr (known }}N{\text{)}}})={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}\right)^{2}}$

تناول القسم السابق تقدير متوسط ​​السكان كنسبة من إجمالي عدد السكان المقدر (${\displaystyle {\hat {Y}}}$) مع حجم سكاني معروف (${\displaystyle N}$وتم تقدير التباين في هذا السياق. ومن الحالات الشائعة الأخرى أن حجم السكان نفسه (${\displaystyle N}$) غير معروف ويتم تقديره باستخدام العينة (أي:${\displaystyle {\hat {N}}}$تقدير${\displaystyle N}$يمكن وصفها بأنها مجموع الأوزان. لذلك عندما${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}}$نحصل${\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}I_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {I_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}}$باستخدام الرموز المذكورة أعلاه، فإن المعامل الذي نهتم به هو نسبة مجموعي${\displaystyle y_{i}}$s و 1s. أي:${\displaystyle R={\bar {Y}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}}$يمكننا تقدير ذلك باستخدام عيّنتنا مع:${\displaystyle {\hat {R}}={\hat {\bar {Y}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}I_{i}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}I_{i}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}'_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}'_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}1'_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}={\bar {y}}_{w}}$عندما انتقلنا من استخدام N إلى استخدام n، نعلم في الواقع أن جميع متغيرات المؤشر تحصل على 1، لذلك يمكننا ببساطة كتابة:${\displaystyle {\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$سيكون هذا هو المقدر لقيم محددة من y و w، لكن الخصائص الإحصائية تظهر عند تضمين متغير المؤشر.${\displaystyle {\bar {y}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}1'_{i}}}}$[ ^{2 ] : 162، 163 ، 176}

يُطلق على هذا اسم مُقدِّر النسبة ، وهو غير متحيز تقريبًا لـ R. ^{[ 2 ] : 182}

في هذه الحالة، يعتمد تباين النسبة على تباين المتغيرات العشوائية في كل من البسط والمقام، بالإضافة إلى ارتباطها. ولعدم وجود صيغة تحليلية مغلقة لحساب هذا التباين، تُستخدم طرق مختلفة للتقدير التقريبي، وأهمها: تقريب تايلور الخطي من الدرجة الأولى، والتقارب، وطريقة بوتستراب/جاكنايف. ^{[ 2 ] : 172} قد تؤدي طريقة تقريب تايلور الخطي إلى التقليل من تقدير التباين لأحجام العينات الصغيرة عمومًا، ولكن ذلك يعتمد على مدى تعقيد الإحصائية. بالنسبة للمتوسط ​​المرجح، يُفترض أن يكون التباين التقريبي دقيقًا نسبيًا حتى لأحجام العينات المتوسطة. ^{[ 2 ] : 176} أما عندما يكون حجم العينة عشوائيًا (كما في أخذ عينات بواسون )، فيكون كما يلي: ^{[ 2 ] : 182}

${\displaystyle {\widehat {V({\bar {y}}_{w})}}={\frac {1}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}(y_{i}-{\bar {y}}_{w})^{2}}$.

لو${\displaystyle \pi _{i}\approx p_{i}n}$ثم إما باستخدام${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\pi _{i}}}}$أو${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{p_{i}}}}$سيعطي نفس المُقدِّر، لأن الضرب${\displaystyle w_{i}}$سيؤدي تغيير عامل ما إلى نفس المُقدِّر. ويعني هذا أيضًا أنه إذا قمنا بتعديل مجموع الأوزان ليُساوي حجم مجتمع معروف مسبقًا N ، فإن حساب التباين سيبدو كما هو. عندما تتساوى جميع الأوزان، تُختزل هذه الصيغة إلى مُقدِّر التباين القياسي غير المتحيز.

لدينا (على الأقل) نسختان من التباين للمتوسط ​​المرجح: إحداهما مع تقدير حجم المجتمع المعروف، والأخرى مع تقدير حجم المجتمع غير المعروف. لا توجد طريقة أفضل بشكل مطلق، لكن الأدبيات تقدم عدة حجج لتفضيل استخدام نسخة تقدير حجم المجتمع (حتى عندما يكون حجم المجتمع معروفًا). ^{[ 2 ] : 188} على سبيل المثال: إذا كانت جميع قيم y ثابتة، فإن المُقدِّر مع حجم المجتمع غير المعروف سيعطي النتيجة الصحيحة، بينما سيُظهر المُقدِّر مع حجم المجتمع المعروف بعض التباين. كذلك، عندما يكون حجم العينة نفسه عشوائيًا (مثلًا: في أخذ عينات بواسون )، تُعتبر النسخة ذات متوسط ​​المجتمع غير المعروف أكثر استقرارًا. أخيرًا، إذا كانت نسبة أخذ العينات مرتبطة عكسيًا بالقيم (أي: فرصة أقل لأخذ عينة من قيمة كبيرة)، فإن نسخة حجم المجتمع غير المعروف تُعوض ذلك جزئيًا.

في الحالة البسيطة التي تكون فيها جميع الأوزان مساوية لـ 1، فإن الصيغة أعلاه تشبه الصيغة العادية لتباين المتوسط ​​(ولكن لاحظ أنها تستخدم مقدر الاحتمال الأقصى للتباين بدلاً من التباين غير المتحيز. أي: قسمته على n بدلاً من (n-1)).

لقد بيّن جاتز وآخرون (1995) أنه بالمقارنة مع طرق إعادة التوزيع العشوائي ، فإن ما يلي (تقدير تباين النسبة المتوسطة باستخدام خطية سلسلة تايلور ) يُعد تقديرًا معقولًا لمربع الخطأ المعياري للمتوسط ​​(عند استخدامه في سياق قياس المكونات الكيميائية): ^{[ 4 ] : ​​1186}

${\displaystyle {\widehat {\sigma _{{\bar {x}}_{w}}^{2}}}={\frac {n}{(n-1)(n{\bar {w}})^{2}}}\left[\sum (w_{i}x_{i}-{\bar {w}}{\bar {x}}_{w})^{2}-2{\bar {x}}_{w}\sum (w_{i}-{\bar {w}})(w_{i}x_{i}-{\bar {w}}{\bar {x}}_{w})+{\bar {x}}_{w}^{2}\sum (w_{i}-{\bar {w}})^{2}\right]}$

أين${\displaystyle {\bar {w}}={\frac {\sum w_{i}}{n}}}$. ويؤدي المزيد من التبسيط إلى

${\displaystyle {\widehat {\sigma _{\bar {x}}^{2}}}={\frac {n}{(n-1)(n{\bar {w}})^{2}}}\sum w_{i}^{2}(x_{i}-{\bar {x}}_{w})^{2}}$

يذكر جاتز وآخرون أن الصيغة المذكورة أعلاه نُشرت بواسطة إندليش وآخرون (1988) عند اعتبار المتوسط ​​المرجح مزيجًا من مُقدِّر إجمالي مرجح مقسومًا على مُقدِّر لحجم المجتمع، ^{[ 5 ]} استنادًا إلى الصيغة التي نشرها كوكران (1977)، كتقريب لمتوسط ​​النسبة. مع ذلك، يبدو أن إندليش وآخرون لم ينشروا هذا الاشتقاق في بحثهم (على الرغم من ذكرهم استخدامهم له)، ويتضمن كتاب كوكران صيغة مختلفة قليلًا. ^{[ 1 ] : 155} ومع ذلك، فهي تكاد تكون مطابقة للصيغ الموصوفة في الأقسام السابقة.

لعدم وجود صيغة تحليلية مغلقة لتباين المتوسط ​​المرجح، فقد اقتُرح في الأدبيات الاعتماد على أساليب التكرار مثل طريقة جاكنايف وطريقة بوتسترابينغ . ^{[ 1 ] : 321}

بالنسبة للملاحظات غير المترابطة ذات التباينات${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$، تباين المتوسط ​​المرجح للعينة هو

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}\sigma _{i}^{2}}}$

جذره التربيعي${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}}$يمكن تسميته الخطأ المعياري للمتوسط ​​المرجح (الحالة العامة) .

وبالتالي، إذا كانت جميع المشاهدات لها تباين متساوٍ،${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\sigma _{0}^{2}}$، سيكون لمتوسط ​​العينة المرجح تباين

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}=\sigma _{0}^{2}\sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}},}$

أين${\textstyle 1/n\leq \sum _{i=1}^{n}{w_{i}'^{2}}\leq 1}$يصل التباين إلى أقصى قيمة له.${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$عندما تكون جميع الأوزان صفرًا باستثناء وزن واحد. وتُوجد قيمته الدنيا عندما تكون جميع الأوزان متساوية (أي المتوسط ​​غير المرجح)، وفي هذه الحالة يكون لدينا${\textstyle \sigma _{\bar {x}}=\sigma _{0}/{\sqrt {n}}}$، أي أنه يتحول إلى الخطأ المعياري للمتوسط ، مربع.

لأنه يمكن دائمًا تحويل الأوزان غير المعيارية إلى أوزان معيارية، يمكن تكييف جميع الصيغ في هذا القسم مع الأوزان غير المعيارية عن طريق استبدال جميع${\displaystyle w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}}$.

إذا كانت الأوزان عبارة عن أوزان تكرارية (حيث يساوي الوزن عدد مرات الظهور)، فإن المقدر غير المتحيز هو:

${\displaystyle s^{2}\ ={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}-1}}}$

يُطبّق هذا فعليًا تصحيح بيسل لأوزان التردد. على سبيل المثال، إذا كانت القيم${\displaystyle \{2,2,4,5,5,5\}}$إذا تم سحبها من نفس التوزيع، فيمكننا التعامل مع هذه المجموعة كعينة غير مرجحة، أو يمكننا التعامل معها كعينة مرجحة.${\displaystyle \{2,4,5\}}$مع الأوزان المقابلة${\displaystyle \{2,1,3\}}$ونحصل على نفس النتيجة في كلتا الحالتين.

إذا كانت أوزان التردد${\displaystyle \{w_{i}\}}$إذا تم توحيد القيم إلى 1، فإن التعبير الصحيح بعد تصحيح بيسل يصبح

${\displaystyle s^{2}\ ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}-1}}\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}$

حيث يكون العدد الإجمالي للعينات${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}}$(لا${\displaystyle N}$على أي حال، فإن المعلومات المتعلقة بالعدد الإجمالي للعينات ضرورية للحصول على تصحيح غير متحيز، حتى لو${\displaystyle w_{i}}$له معنى مختلف عن وزن التكرار.

لا يمكن أن يكون المقدر غير متحيز إلا إذا لم يتم توحيد الأوزان أو تطبيعها ، حيث تؤدي هذه العمليات إلى تغيير متوسط ​​البيانات وتباينها، وبالتالي تؤدي إلى فقدان المعدل الأساسي (عدد السكان، وهو شرط أساسي لتصحيح بيسل).

إذا كانت الأوزان عبارة عن أوزان موثوقية (قيم غير عشوائية تعكس الموثوقية النسبية للعينة، وغالبًا ما تُستمد من تباين العينة)، فيمكننا تحديد عامل تصحيح للحصول على مُقدِّر غير متحيز. بافتراض أن كل متغير عشوائي يتم أخذ عينة منه من نفس التوزيع بمتوسط${\displaystyle \mu }$والتباين الفعلي${\displaystyle \sigma _{\text{actual}}^{2}}$مع الأخذ في الاعتبار توقعاتنا،

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [{\hat {\sigma }}^{2}]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}\operatorname {E} [(x_{i}-\mu )^{2}]}{N}}\\&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]-{\frac {1}{N}}\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]\\&=\left({\frac {N-1}{N}}\right)\sigma _{\text{actual}}^{2}\\\operatorname {E} [{\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}\operatorname {E} [(x_{i}-\mu ^{*})^{2}]}{V_{1}}}\\&=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2}}}\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]\\&=\left(1-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2}}}\right)\sigma _{\text{actual}}^{2}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle V_{1}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}}$و${\displaystyle V_{2}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}$لذلك، فإن التحيز في مقدرنا هو${\displaystyle \left(1-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2}}}\right)}$، على غرار${\displaystyle \left({\frac {N-1}{N}}\right)}$التحيز في المقدر غير المرجح (لاحظ أيضًا أن${\displaystyle \ V_{1}^{2}/V_{2}=N_{eff}}$يمثل حجم العينة الفعال . وهذا يعني أنه لتقليل تحيز المُقدِّر، نحتاج إلى القسمة المسبقة على${\displaystyle 1-\left(V_{2}/V_{1}^{2}\right)}$مع ضمان أن القيمة المتوقعة للتباين المُقدَّر تساوي التباين الفعلي لتوزيع المعاينة . التقدير النهائي غير المتحيز لتباين العينة هو:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {w} }^{2}\ &={\frac {{\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}}{1-(V_{2}/V_{1}^{2})}}\\[4pt]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-\mu ^{*})^{2}}{V_{1}-(V_{2}/V_{1})}},\end{aligned}}}$^{[ 6 ]}

أين${\displaystyle \operatorname {E} [s_{\mathrm {w} }^{2}]=\sigma _{\text{actual}}^{2}}$. تتفاوت درجات حرية تباين العينة المرجح وغير المتحيز وفقًا لذلك من N  −  1 إلى  0. الانحراف المعياري هو ببساطة الجذر التربيعي للتباين أعلاه.

على هامش الموضوع، تم وصف طرق أخرى لحساب تباين العينة المرجح. ^{[ 7 ]}

إذا كانت الأوزان عبارة عن أوزان ترددية ، فإن التقدير المرجح غير المتحيز لمصفوفة التغاير${\displaystyle \textstyle \mathbf {C} }$، مع تصحيح بيسل، يتم إعطاؤها بواسطة: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}-1}}.}$

لا يمكن أن يكون هذا المقدر غير متحيز إلا إذا لم يتم توحيد الأوزان أو تطبيعها ، حيث تؤدي هذه العمليات إلى تغيير متوسط ​​البيانات وتباينها، وبالتالي تؤدي إلى فقدان المعدل الأساسي (عدد السكان، وهو شرط أساسي لتصحيح بيسل).

في حالة أوزان الموثوقية ، يتم تطبيع الأوزان :

${\displaystyle V_{1}=\sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.}$

(إذا لم تكن كذلك، فاقسم الأوزان على مجموعها لتطبيعها قبل الحساب)${\displaystyle V_{1}}$:

${\displaystyle w_{i}'={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}}$

ثم متجه المتوسط ​​المرجح${\displaystyle \mathbf {\mu ^{*}} }$يمكن تبسيطها إلى

${\displaystyle \mathbf {\mu ^{*}} =\sum _{i=1}^{N}w_{i}\mathbf {x} _{i}.}$

والتقدير المرجح غير المتحيز لمصفوفة التغاير${\displaystyle \mathbf {C} }$هو: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C} &={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{\left(\sum _{i=1}^{N}w_{i}\right)^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)\\&={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}-(V_{2}/V_{1})}}.\end{aligned}}}$

والمنطق هنا هو نفسه كما في القسم السابق.

بما أننا نفترض أن الأوزان موحدة، فإن${\displaystyle V_{1}=1}$وهذا يختزل إلى:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{1-V_{2}}}.}$

إذا كانت جميع الأوزان متساوية، أي${\displaystyle w_{i}/V_{1}=1/N}$ثم يختزل المتوسط ​​المرجح والتباين إلى متوسط ​​العينة غير المرجح والتباين المذكور أعلاه.