المتوسط ​​التوافقي

في حالة خاصة تتكون من رقمين فقط،${\displaystyle x_{1}}$و${\displaystyle x_{2}}$، ويمكن كتابة المتوسط ​​التوافقي على النحو التالي: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\qquad }$ أو ${\displaystyle \qquad {\frac {1}{H}}={\frac {(1/x_{1})+(1/x_{2})}{2}}.}$

(لاحظ أن المتوسط ​​التوافقي غير مُعرَّف إذا${\displaystyle x_{1}+x_{2}=0}$، أي${\displaystyle x_{1}=-x_{2}}$.)

في هذه الحالة الخاصة، يرتبط المتوسط ​​التوافقي بالمتوسط ​​الحسابي${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$والمتوسط ​​الهندسي${\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},}$بواسطة ^{[ 4 ]}

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}=G\left({\frac {G}{A}}\right).}$

منذ${\displaystyle {\tfrac {G}{A}}\leq 1}$من خلال متباينة المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي ، يتضح في حالة n = 2 أن H ≤ G (وهي خاصية تتحقق في الواقع لجميع قيم n ). ويترتب على ذلك أيضًا أن${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$، مما يعني أن المتوسط ​​الهندسي للعددين يساوي المتوسط ​​الهندسي لمتوسطيهما الحسابي والتوافقي.

في الحالة الخاصة المكونة من ثلاثة أرقام،${\displaystyle x_{1}}$،${\displaystyle x_{2}}$و${\displaystyle x_{3}}$، ويمكن كتابة المتوسط ​​التوافقي على النحو التالي: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}$

تكون الأعداد الموجبة الثلاثة H و G و A على التوالي هي الوسط التوافقي والهندسي والحسابي لثلاثة أعداد موجبة إذا وفقط إذا تحققت المتباينة التالية ^{[ 9 ] : ص 74، #1834}

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.}$

يُعدّ المتوسط ​​التوافقي المرجّح الطريقة المُفضّلة لحساب متوسط ​​المضاعفات، مثل نسبة السعر إلى الأرباح (P/E). عند حساب متوسط ​​هذه النسب باستخدام المتوسط ​​الحسابي المرجّح، تُعطى القيم المرتفعة أوزانًا أكبر من القيم المنخفضة. بينما يُعطي المتوسط ​​التوافقي المرجّح وزنًا صحيحًا لكل قيمة. ^{[ 15 ]} أما المتوسط ​​الحسابي المرجّح البسيط، عند تطبيقه على نسب غير مُعدّلة حسب السعر، مثل نسبة السعر إلى الأرباح، فيُظهر تحيزًا تصاعديًا ولا يُمكن تبريره عدديًا، لأنه يعتمد على أرباح مُعدّلة؛ تمامًا كما لا يُمكن حساب متوسط ​​سرعات المركبات لرحلة ذهاب وعودة (انظر أعلاه). ^{[ 16 ]}

في أي مثلث ، يكون نصف قطر الدائرة الداخلية ثلث المتوسط ​​التوافقي للارتفاعات .

لأي نقطة P على القوس الأصغر BC للدائرة المحيطة بالمثلث المتساوي الأضلاع ABC، بمسافات q و t من B و C على التوالي، ومع تقاطع PA و BC على مسافة y من النقطة P، فإن y يساوي نصف المتوسط ​​التوافقي لـ q و t . ^{[ 17 ]}

في مثلث قائم الزاوية بضلعين a و b وارتفاع h من الوتر إلى الزاوية القائمة، فإن h 2 ^يساوي نصف المتوسط ​​التوافقي ^لـ a ² و b ^{2. [ 18 ] [ 19} ]

لنفترض أن t و s ( ^حيث t > s ) هما ضلعا المربعين المرسومين داخل مثلث قائم الزاوية وتره c . عندئذٍ s² يساوي نصف المتوسط ​​التوافقي ^لـ c² و t² ^.

ليكن لدينا شبه منحرف رؤوسه A وB وC وD على التوالي، وضلعاه المتوازيان AB وCD. ولتكن E نقطة تقاطع قطريه ، ولتكن F على الضلع DA وG على الضلع BC بحيث يكون FEG موازيًا لـ AB وCD. عندئذٍ، يكون FG هو الوسط التوافقي لـ AB وDC. (يمكن إثبات ذلك باستخدام تشابه المثلثات).

أحد تطبيقات هذه النتيجة المتعلقة بشبه المنحرف هو مسألة السلالم المتقاطعة ، حيث يقع سلمَان متقابلَان في زقاق، لكل منهما قاعدة عند أحد الجدران الجانبية، ويستند أحدهما على جدار على ارتفاع A والآخر على الجدار المقابل على ارتفاع B ، كما هو موضح. يتقاطع السلمان على ارتفاع h فوق أرضية الزقاق. عندئذٍ، يكون h نصف المتوسط ​​التوافقي لـ A و B. تبقى هذه النتيجة صحيحة حتى لو كانت الجدران مائلة ولكنها متوازية، وتم قياس "الارتفاعات" A و B و h كمسافات من الأرضية على طول خطوط موازية للجدران. يمكن إثبات ذلك بسهولة باستخدام صيغة مساحة شبه المنحرف وصيغة جمع المساحات.

في القطع الناقص ، يكون نصف الوتر البؤري (المسافة من البؤرة إلى القطع الناقص على طول خط موازٍ للمحور الأصغر) هو المتوسط ​​التوافقي لأقصى وأدنى مسافات القطع الناقص من البؤرة.

في علوم الحاسوب ، وتحديدًا في استرجاع المعلومات والتعلم الآلي ، يُستخدم المتوسط ​​التوافقي للدقة ( عدد النتائج الإيجابية الصحيحة لكل نتيجة إيجابية متوقعة) والاستدعاء ( عدد النتائج الإيجابية الصحيحة لكل نتيجة إيجابية حقيقية) غالبًا كمؤشر أداء إجمالي لتقييم الخوارزميات والأنظمة: وهو ما يُعرف بدرجة F (أو مقياس F). يُستخدم هذا المقياس في استرجاع المعلومات لأن الفئة الإيجابية فقط هي المهمة ، بينما يكون عدد النتائج السلبية، بشكل عام، كبيرًا وغير معروف. ^{[ 20 ]} وبالتالي، ثمة مفاضلة بين قياس دقة التنبؤات الإيجابية الصحيحة بالنسبة لعدد النتائج الإيجابية المتوقعة أو عدد النتائج الإيجابية الحقيقية، لذا يتم قياسها مقابل عدد افتراضي من النتائج الإيجابية، وهو المتوسط ​​الحسابي للمقامين المحتملين.

تنشأ إحدى النتائج من الجبر الأساسي في المسائل التي يعمل فيها الأفراد أو الأنظمة معًا. على سبيل المثال، إذا استطاعت مضخة تعمل بالغاز تفريغ حوض سباحة في 4 ساعات، ومضخة تعمل بالبطارية تفريغ نفس الحوض في 6 ساعات، فسيستغرق تفريغ الحوض معًا 2.4 ساعة (6 × 4 / 6 + 4 ) . هذا الوقت يساوي نصف المتوسط ​​التوافقي للعددين 6 و4: 2 × 6 × 4 / 6 + 4 = 4.8 . أي أن المتوسط ​​المناسب لنوعي المضخات هو المتوسط ​​التوافقي، وباستخدام زوج واحد من المضخات (مضختين)، يستغرق الأمر نصف هذا المتوسط ​​التوافقي، بينما باستخدام زوجين من المضخات (أربع مضخات)، يستغرق الأمر ربع هذا المتوسط ​​التوافقي.

في علم المياه ، يُستخدم المتوسط ​​التوافقي لحساب متوسط ​​قيم الموصلية الهيدروليكية لتدفق عمودي على الطبقات (مثل الطبقات الجيولوجية أو التربة)، بينما يُستخدم المتوسط ​​الحسابي للتدفق الموازي للطبقات. ويُعزى هذا الاختلاف الظاهر في المتوسط ​​إلى أن علم المياه يستخدم الموصلية، وهي مقلوب المقاومة.

في علم الإحصاءات الرياضية ، فإن رقم القوة والسرعة للاعب البيسبول هو المتوسط ​​التوافقي لمجموع ضرباته المنزلية وقواعده المسروقة .

في علم الوراثة السكانية ، يُستخدم المتوسط ​​التوافقي عند حساب تأثيرات تقلبات حجم التعداد السكاني على الحجم الفعلي للسكان. يأخذ المتوسط ​​التوافقي في الحسبان حقيقة أن أحداثًا مثل اختناق السكان تزيد من معدل الانحراف الوراثي وتقلل من مقدار التباين الوراثي في ​​السكان. ويعود ذلك إلى أنه بعد حدوث اختناق سكاني، يساهم عدد قليل جدًا من الأفراد في الموروث الجيني، مما يحد من التباين الوراثي الموجود في السكان لأجيال عديدة قادمة.

عند حساب كفاءة استهلاك الوقود في السيارات، يُستخدم مقياسان شائعان: الأميال لكل جالون (mpg) واللترات لكل 100  كيلومتر. ولأن أبعاد هذين المقياسين معكوسة (أحدهما يمثل المسافة لكل وحدة حجم، والآخر يمثل وحدة حجم لكل مسافة)، فعند حساب متوسط ​​استهلاك الوقود لمجموعة من السيارات، يُنتج أحد المقياسين المتوسط ​​التوافقي للآخر. أي أن تحويل متوسط ​​استهلاك الوقود المُعبر عنه باللترات لكل 100  كيلومتر إلى أميال لكل جالون يُنتج المتوسط ​​التوافقي لاستهلاك الوقود المُعبر عنه بالأميال لكل جالون. لحساب متوسط ​​استهلاك الوقود لأسطول من المركبات من استهلاك الوقود الفردي، يُستخدم المتوسط ​​التوافقي إذا كان الأسطول يستخدم الأميال لكل جالون، بينما يُستخدم المتوسط ​​الحسابي إذا كان الأسطول يستخدم اللترات لكل 100  كيلومتر. في الولايات المتحدة الأمريكية، تستخدم معايير CAFE (معايير استهلاك الوقود الفيدرالية للسيارات) المتوسط ​​التوافقي.

في الكيمياء والفيزياء النووية، يتم إعطاء متوسط ​​الكتلة لكل جسيم من خليط يتكون من أنواع مختلفة (مثل الجزيئات أو النظائر) عن طريق المتوسط ​​التوافقي لكتل ​​الأنواع الفردية المرجحة بكسر كتلتها.

متوسط ​​العينة m موزع توزيعًا طبيعيًا تقاربيًا بتباين s ² .

${\displaystyle s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}}$

تباين المتوسط ​​نفسه هو ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}}$

حيث m هو المتوسط ​​الحسابي للمقلوبات، و x هي المتغيرات، و n هو حجم السكان و E هو عامل التوقع.

بافتراض أن التباين ليس لانهائيًا وأن نظرية النهاية المركزية تنطبق على العينة، فإن التباين باستخدام طريقة دلتا هو

${\displaystyle \operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}}$

حيث H هو المتوسط ​​التوافقي، و m هو المتوسط ​​الحسابي للمقلوبات

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.}$

^يمثل s² تباين مقلوب البيانات

${\displaystyle s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)}$

و n هو عدد نقاط البيانات في العينة.

يمكن استخدام طريقة جاكنايف لتقدير التباين إذا كان المتوسط ​​معروفًا. ^{[ 25 ]} هذه الطريقة هي النسخة المعتادة "حذف 1" وليست النسخة "حذف m".

تتطلب هذه الطريقة أولاً حساب متوسط ​​العينة ( م )

${\displaystyle m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}}$

حيث تمثل x قيم العينة.

ثم يتم حساب سلسلة من القيم w _i حيث

${\displaystyle w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.}$

ثم يتم حساب المتوسط ​​( h ) لـ w _{i :}

${\displaystyle h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}}$

تباين المتوسط ​​هو

${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}\sum {(m-w_{i})}^{2}.}$

ويمكن بعد ذلك تقدير اختبار الدلالة وفترات الثقة للمتوسط ​​باستخدام اختبار t .

لنفترض أن متغيرًا عشوائيًا له توزيع f ( x ). ولنفترض أيضًا أن احتمال اختيار متغير ما يتناسب مع قيمته. يُعرف هذا بأخذ العينات المتحيزة حسب الطول أو الحجم.

ليكن μ متوسط ​​المجتمع. عندئذٍ، تكون دالة كثافة الاحتمال f *( x ) للمجتمع المتحيز بالحجم هي

${\displaystyle f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}}$

إن القيمة المتوقعة لهذا التوزيع المتحيز للطول E ^* ( x ) هي ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]}$

حيث σ ² هو التباين.

إن القيمة المتوقعة للمتوسط ​​التوافقي هي نفسها القيمة المتوقعة للنسخة غير المتحيزة للطول E( x ).

${\displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}$

تظهر مشكلة أخذ العينات المتحيزة للطول في عدد من المجالات بما في ذلك صناعة المنسوجات ^{[ 26 ]} وتحليل النسب ^{[ 27 ]} وتحليل البقاء ^{[ 28 ].}

قام أكرمان وآخرون بتطوير اختبار للكشف عن التحيز القائم على الطول في العينات. ^{[ 29 ]}

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا موجبًا و q > 0، فإن ε > 0 لجميع ^{[ 30 ]}

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon )^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).}$

بافتراض أن X و E( X ) أكبر من 0، فإن ^{[ 30 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}}$

وهذا يتبع من متباينة جنسن .

أظهر غورلاند ^{[ 31 ]} أنه بالنسبة للتوزيع الذي يأخذ قيمًا موجبة فقط، لأي n > 0

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.}$

في ظل بعض الشروط ^{[ 32 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)}$

حيث تعني ~ تقريبًا مساويًا لـ.

بافتراض أن المتغيرات ( x ) يتم سحبها من توزيع لوغاريتمي طبيعي، فهناك العديد من المقدرات الممكنة لـ H :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}&={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}}$

من بين هذه المقاييس _{، ربما يكون} H3 هو أفضل مقدر للعينات المكونة من 25 أو أكثر. ^{[ 33 ]}

التقريب من الدرجة الأولى للتحيز والتباين لـ H ₁ هو ^{[ 34 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]&={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]&={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}}$

حيث C _v هو معامل التباين.

وبالمثل، فإن التقريب من الدرجة الأولى للتحيز والتباين لـ H ₃ هو ^{[ 34 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}}$

في التجارب العددية، يعتبر H ₃ بشكل عام مقدراً أفضل للمتوسط ​​التوافقي من H 1. _[ ^{34 ] ينتج} H ₂ تقديرات مشابهة إلى حد كبير لـ H ₁ .