مشكلة السلالم المتقاطعة

نصان لنظرية فيثاغورس (انظر الشكل أعلاه)

${\displaystyle A^{2}+w^{2}=b^{2}}$

و

${\displaystyle B^{2}+w^{2}=a^{2}}$

يمكن طرح أحدهما من الآخر للتخلص من w ، ويمكن دمج النتيجة مع${\displaystyle {\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}}}$مع حل A أو B بالتناوب للحصول على المعادلات الرباعية ^{[ 2 ]}

${\displaystyle A^{4}-2hA^{3}+(h-A)^{2}(a^{2}-b^{2})=0,}$

${\displaystyle B^{4}-2hB^{3}+(h-B)^{2}(b^{2}-a^{2})=0.}$

يمكن حل هذه المعادلات جبريًا أو عدديًا لحساب ارتفاعات الجدران A و B ، ويمكن استخدام نظرية فيثاغورس على أحد المثلثات لحساب العرض w .

يمكن اختزال المسألة إلى المعادلة الرباعية x³ ⁽ x - c ) - 1 = 0 ، والتي يمكن حلها باستخدام طرق التقريب، كما اقترح غاردنر، أو يمكن حلها بصيغة مغلقة باستخدام طريقة فيراري . بمجرد الحصول على قيمة x ، يمكن حساب عرض الممر بسهولة. يرد أدناه اشتقاق المعادلة الرباعية، بالإضافة إلى العرض المطلوب بدلالة حلها. تجدر الإشارة إلى أن المجهول المطلوب w لا يظهر بشكل مباشر في معظم الاشتقاق.

من${\displaystyle {\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}},}$نحصل

${\displaystyle {\text{(Eq. 1)}}\quad AB=h(A+B).}$

باستخدام نظرية فيثاغورس ، يمكننا أن نرى أن

${\displaystyle w^{2}+B^{2}=a^{2}}$و${\displaystyle w^{2}+A^{2}=b^{2}.}$

عن طريق العزل${\displaystyle w^{2}}$في كلا المعادلتين، نرى أن

${\displaystyle a^{2}-B^{2}=b^{2}-A^{2},}$

والتي يمكن إعادة ترتيبها وإدراجها في

${\displaystyle {\text{(Eq. 2)}}\quad a^{2}-b^{2}=(B+A)(B-A).}$

قم بتربيع (المعادلة 2) واجمعها مع (المعادلة 1):

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(B+A)^{2}(B-A)^{2},}$

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(B+A)^{2}(B^{2}-2AB+A^{2}).}$

أعد الترتيب للحصول على

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}(A^{2}+B^{2}-2AB).}$

ثم

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}(A^{2}+B^{2}+2AB-4AB),}$

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}{\big (}(A^{2}+2AB+B^{2})-4AB{\big )},}$

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}{\big (}(A+B)^{2}-4AB{\big )}.}$

والآن، ادمجها مع (المعادلة 1):

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}{\big (}(A+B)^{2}-4h(A+B){\big )},}$

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{2}(A+B){\big (}(A+B)-4h{\big )}.}$

أخيراً،

${\displaystyle {\text{(Eq. 3)}}\quad (a^{2}-b^{2})^{2}=(A+B)^{3}(A+B-4h).}$

يترك

${\displaystyle x={\frac {A+B}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}},}$

${\displaystyle c={\frac {4h}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}.}$

ثم

${\displaystyle x^{3}(x-c)-1=0.}$(كما في المعادلة 3 مع عكس الجانبين)

يمكن حل معادلة القوة الرابعة المذكورة أعلاه لإيجاد قيمة x باستخدام أي طريقة متاحة. ثم يُحسب عرض الزقاق باستخدام القيمة التي تم إيجادها لـ x : المتطابقة

${\displaystyle A+B=A+{\sqrt {A^{2}+(a^{2}-b^{2})}}}$

يمكن استخدام هذه الطريقة لإيجاد قيمة A ، ويمكن إيجاد قيمة w في النهاية عن طريق

${\displaystyle w={\sqrt {b^{2}-A^{2}}}.}$

للمعادلة الرباعية أربعة حلول، وحل واحد فقط منها يطابق المسألة المطروحة. أما الحل الآخر فيُستخدم في حالة يكون فيها أحد السلالم (والجدار) تحت مستوى سطح الأرض والآخر فوقه. في هذه الحالة، لا يتقاطع السلمان فعليًا، بل تتقاطع امتداداتهما عند الارتفاع المحدد. أما الحلان الآخران فهما زوج من الأعداد المركبة المترافقة. لا تُحدد المعادلة أطوال السلمين صراحةً، بل الفرق بين مربعيهما فقط، لذا يمكن اعتبار الطول أي قيمة تجعلهما يتقاطعان، وتُحدد المسافة بين الجدارين بنقطة تقاطع السلمين مع الجدارين.

مع اقتراب المسافة بين الجدارين من الصفر، يقترب ارتفاع نقطة التقاطع من${\displaystyle h={\frac {ab}{a+b}}.}$وذلك لأن${\displaystyle {\tfrac {1}{A}}+{\tfrac {1}{B}}={\tfrac {1}{h}}}$(ثبت في البداية) يستلزم${\displaystyle h={\tfrac {AB}{A+B}},}$وعندما يقترب w من الصفر، يقترب b من A ويقترب a من B وفقًا للرسم التخطيطي العلوي.

بما أن حلول المعادلة تتضمن جذورًا تربيعية، فإن الجذور السالبة صحيحة أيضًا. يمكن تفسيرها على أنها سلالم وجدران تقع تحت مستوى سطح الأرض، ويمكن استبدالها بقيم معاكسة.

يمكن تفسير الحلول المعقدة على أنها جدار أ مائل إلى اليسار أو اليمين وجدار ب تحت الأرض، لذا فإن التقاطع يقع بين امتدادات السلالم كما هو موضح في الحالة أ ، ب ، ح = 3، 2، 1. السلالم أ و ب و${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ليست كما هو محدد. الأساس w هو دالة لـ A و B و h ، ويمكن إيجاد القيم المركبة لـ A و B من الرباعي البديل

${\displaystyle x^{4}-2hx^{3}+Dx^{2}-2hDx+h^{2}D=0}$

حيث D هو${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$لجدار واحد و${\displaystyle b^{2}-a^{2}}$بالنسبة للآخر (±5 في المثال). لاحظ أن الحلول التخيلية أفقية والحلول الحقيقية رأسية. تُحسب القيمة D في الحل كجزء حقيقي من الفرق بين مربعي الإحداثيات المركبة للجدارين. الجزء التخيلي = 2 × _{أ ×} ص _أ = 2 × _{ب ×} ص _ب (الجدارين أ و ب ). يبدو السلم القصير في الحل المركب في حالة 3، 2، 1 مائلاً بزاوية 45 درجة، ولكنه في الواقع أقل قليلاً، حيث يبلغ ظله 0.993. للتركيبات الأخرى لأطوال السلم وارتفاع التقاطع حلول مركبة مماثلة. مع التركيبة 105، 87، 35، يبلغ ظل السلم القصير حوالي 0.75. ^{[ 3 ]}