موازي (مشغل)

كما هو الحال في أي مجال،${\displaystyle ({\widetilde {\mathbb {C} }},\,\parallel \,,\,\cdot \,)}$يلبي مجموعة متنوعة من الهويات الأساسية.

هي عملية تبادلية في التوازي والضرب:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\parallel b&=b\parallel a\\[3mu]ab&=ba\end{aligned}}}$

وهي تجميعية تحت التوازي والضرب: ^{[ 12 ] [ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a\parallel b)\parallel c=a\parallel (b\parallel c)=a\parallel b\parallel c={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}+{\dfrac {1}{c}}}}={\frac {abc}{ab+ac+bc}},\\&(ab)c=a(bc)=abc.\end{aligned}}}$

تحتوي كلتا العمليتين على عنصر محايد ؛ بالنسبة للعمليات المتوازية، يكون العنصر المحايد هو${\displaystyle \infty }$أما بالنسبة لعملية الضرب، فإن العنصر المحايد هو 1 :

${\displaystyle {\begin{aligned}&a\parallel \infty =\infty \parallel a={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+0}}=a,\\&1\cdot a=a\cdot 1=a.\end{aligned}}}$

كل عنصر${\displaystyle a}$ل${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$له معكوس تحت التوازي، يساوي${\displaystyle -a,}$المعكوس الجمعي تحت عملية الجمع. (لكن الصفر ليس له معكوس تحت عملية التوازي.)

${\displaystyle a\parallel (-a)={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{a}}}}=\infty .}$

عنصر الهوية${\displaystyle \infty }$هو عكس نفسه،${\displaystyle \infty \parallel \infty =\infty .}$

كل عنصر${\displaystyle a\neq \infty }$ل${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$له معكوس ضربي${\displaystyle a^{-1}=1/a}$:

${\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1.}$

الضرب توزيعي على التوازي: ^{[ 1 ] [ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle k(a\parallel b)={\frac {k}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{ka}}+{\dfrac {1}{kb}}}}=ka\parallel kb.}$

التكرار المتوازي يعادل القسمة،

${\displaystyle \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}}={\frac {1}{\underbrace {{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{a}}+\cdots +{\dfrac {1}{a}}} _{n{\text{ times}}}}}={\frac {a}{n}}.}$

أو بضرب كلا الطرفين في n ،

${\displaystyle n(\underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}})=a.}$

على عكس الجمع المتكرر ، فإن هذا لا يتبادل:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}\quad {\text{implies}}\quad \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{b{\text{ times}}}\,\neq \,\underbrace {b\parallel b\parallel \cdots \parallel b} _{a{\text{ times}}}~\!.}$

باستخدام خاصية التوزيع مرتين، يمكن توسيع حاصل ضرب حدين متوازيين على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)(c\parallel d)&=a(c\parallel d)\parallel b(c\parallel d)\\[3mu]&=ac\parallel ad\parallel bc\parallel bd.\end{aligned}}}$

مربع ذات الحدين هو

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)^{2}&=a^{2}\parallel ab\parallel ba\parallel b^{2}\\[3mu]&=a^{2}\parallel {\tfrac {1}{2}}ab\parallel b^{2}.\end{aligned}}}$

مكعب ذات الحدين هو

${\displaystyle (a\parallel b)^{3}=a^{3}\parallel {\tfrac {1}{3}}a^{2}b\parallel {\tfrac {1}{3}}ab^{2}\parallel b^{3}.}$

بشكل عام، يمكن توسيع القوة النونية لثنائية الحدود باستخدام معاملات ثنائية الحدود التي هي مقلوب تلك الموجودة تحت الجمع، مما ينتج عنه نظير لصيغة ثنائية الحدود :

${\displaystyle (a\parallel b)^{n}={\frac {a^{n}}{\binom {n}{0}}}\parallel {\frac {a^{n-1}b}{\binom {n}{1}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {a^{n-k}b^{k}}{\binom {n}{k}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {b^{n}}{\binom {n}{n}}}.}$

تنطبق الهويات التالية:

${\displaystyle {\frac {1}{\log(ab)}}={\frac {1}{\log(a)}}\parallel {\frac {1}{\log(b)}},}$

${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{a\parallel b}}\right)=\exp \left({\frac {1}{a}}\right)\exp \left({\frac {1}{b}}\right)}$

كما هو الحال مع كثير الحدود تحت عملية الجمع، فإن كثير الحدود الموازي ذو المعاملات${\displaystyle a_{k}}$في${\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$(مع${\displaystyle a_{0}\neq \infty }$يمكن تحليل ) إلى حاصل ضرب أحاديات:

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}x^{n}\parallel a_{1}x^{n-1}\parallel \cdots \parallel a_{n}=a_{0}(x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})\end{aligned}}}$

لبعض الجذور${\displaystyle r_{k}}$(ربما مكرر) في${\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}.}$

على غرار كثيرات الحدود في عملية الجمع، فإن معادلة كثيرات الحدود

${\displaystyle (x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})=\infty }$

يشير ذلك إلى أن${\textstyle x=r_{k}}$لبعض قيم k .

يمكن حل المعادلة الخطية بسهولة باستخدام المعكوس الموازي :

${\displaystyle {\begin{aligned}ax\parallel b&=\infty \\[3mu]\implies x&=-{\frac {b}{a}}.\end{aligned}}}$

لحل معادلة تربيعية متوازية ، أكمل المربع للحصول على صيغة مماثلة للصيغة التربيعية.

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}\parallel bx\parallel c&=\infty \\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}\\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}&=\left(-{\frac {c}{a}}\right)\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}\\[5mu]\left(x\parallel {\frac {2b}{a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}{{\tfrac {1}{4}}a^{2}}}\\[5mu]\implies x&={\frac {(-b)\parallel \pm {\sqrt {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}}}{{\tfrac {1}{2}}a}}.\end{aligned}}}$

الأعداد المركبة الموسعة التي تشمل الصفر،${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \infty ,}$لم يعد حقلاً تحت عمليتي التوازي والضرب، لأن الصفر ليس له معكوس تحت التوازي. (هذا مشابه لطريقة${\displaystyle {\bigl (}{\overline {\mathbb {C} }},{+},{\cdot }{\bigr )}}$ليس حقلاً لأن${\displaystyle \infty }$ليس لها معكوس جمعي.)

لكل قيمة غير صفرية لـ a ،

${\displaystyle a\parallel 0={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{0}}}}=0}$

الكمية${\displaystyle 0\parallel (-0)=0\parallel 0}$يمكن تركها غير محددة (انظر الشكل غير المحدد ) أو تعريفها على أنها تساوي 0 .

في حال عدم وجود أقواس، يُعرَّف عامل التوازي بأنه له الأسبقية على الجمع أو الطرح ، على غرار الضرب. ^{[ 1 ] [ 31 ] [ 9 ] [ 10 ]}

بفرض الكتلتين m و M ، فإن الكتلة المختزلة${\displaystyle \mu ={\frac {mM}{m+M}}=m\parallel M}$يُستخدم هذا المفهوم بشكل متكرر في الميكانيكا. على سبيل المثال، عندما تدور الكتل حول بعضها البعض، فإن عزم القصور الذاتي يساوي كتلتها المختزلة مضروبة في المسافة بينهما.

في الهندسة الكهربائية ، يمكن استخدام عامل التوازي لحساب المعاوقة الكلية لمختلف الدوائر الكهربائية المتصلة على التوالي والتوازي . ^{[ ملاحظة 2 ]} ثمة ازدواجية بين المجموع المعتاد (على التوالي) والمجموع على التوازي. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

على سبيل المثال، المقاومة الكلية للمقاومات الموصولة على التوازي هي مقلوب مجموع مقلوبات المقاومات الفردية .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{R_{\text{eq}}}}&={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\\[5mu]R_{\text{eq}}&=R_{1}\parallel R_{2}\parallel \cdots \parallel R_{n}.\end{aligned}}}$

وينطبق الأمر نفسه على السعة الكلية للمكثفات المتصلة على التوالي . ^{[ ملاحظة 2 ]}

إن دالة الكثافة المدمجة f _coalesced (x) المكونة من n دالة كثافة احتمالية مستقلة f ₁ (x), f ₂ (x), …, f _n (x) تساوي مقلوب مجموع مقلوب الكثافات. ^{[ 32 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{f_{coalesced}(x)}}&={\frac {1}{f_{1}(x)}}+{\frac {1}{f_{2}(x)}}+\cdots +{\frac {1}{f_{n}(x)}}\\[5mu]\end{aligned}}}$

في البصريات الهندسية، تقريب العدسة الرقيقة لمعادلة صانع العدسات.

${\displaystyle f=\rho _{virtual}\parallel \rho _{object}}$

يُطلق على الفترة الزمنية بين اقتران جسمين يدوران في مدارين اسم الفترة الاقترانية . إذا كانت فترة الجسم الأبطأ هي T2 _، وفترة الجسم الأسرع هي T1 _، فإن الفترة الاقترانية هي

${\displaystyle T_{syn}=T_{1}\parallel (-T_{2}).}$