البصريات الهندسية

وُصفت طريقة اشتقاق معادلات البصريات الهندسية بأخذ النهاية عند طول موجي يساوي صفرًا لأول مرة من قِبل أرنولد سومرفيلد وج. رونج عام 1911. ^{[ 6 ]} استند اشتقاقهما إلى ملاحظة شفهية لبيتر ديباي . ^{[ 7 ] [ 8 ]} لنفترض وجود حقل قياسي أحادي اللون${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=\phi (\mathbf {r} )e^{i\omega t}}$، أين${\displaystyle \psi }$قد يكون أيًا من مكونات المجال الكهربائي أو المغناطيسي ، وبالتالي الوظيفة${\displaystyle \phi }$تحقق معادلة الموجة$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +k_{o}^{2}n(\mathbf {r} )^{2}\phi =0}$$ أين${\displaystyle k_{o}=\omega /c=2\pi /\lambda _{o}}$مع${\displaystyle c}$كونها سرعة الضوء في الفراغ. هنا،${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$هو معامل انكسار الوسط. ودون الإخلال بعمومية المسألة، دعونا نُعرّف${\displaystyle \phi =A(k_{o},\mathbf {r} )e^{ik_{o}S(\mathbf {r} )}}$لتحويل المعادلة إلى $${\displaystyle -k_{o}^{2}A[(\nabla S)^{2}-n^{2}]+2ik_{o}(\nabla S\cdot \nabla A)+ik_{o}A\nabla ^{2}S+\nabla ^{2}A=0.}$$

بما أن المبدأ الأساسي للبصريات الهندسية يكمن في النهاية${\displaystyle \lambda _{o}\sim k_{o}^{-1}\rightarrow 0}$، يُفترض وجود السلسلة التقاربية التالية، $${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {A_{m}(\mathbf {r} )}{(ik_{o})^{m}}}}$$

لقيمة كبيرة ولكنها محدودة لـ${\displaystyle k_{o}}$تتباعد المتسلسلة، ويجب توخي الحذر في الاحتفاظ فقط بالحدود القليلة الأولى المناسبة. لكل قيمة من${\displaystyle k_{o}}$يمكن إيجاد عدد أمثل من الحدود التي يجب الاحتفاظ بها، وقد تؤدي إضافة حدود أكثر من العدد الأمثل إلى تقريب أضعف. ^{[ 9 ]} بتعويض المتسلسلة في المعادلة وجمع الحدود ذات الرتب المختلفة، نجد $${\displaystyle {\begin{aligned}O(k_{o}^{2}):&\quad (\nabla S)^{2}=n^{2},\\[1ex]O(k_{o}):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{0}+A_{0}\nabla ^{2}S=0,\\[1ex]O(1):&\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{1}+A_{1}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{0},\end{aligned}}}$$ على العموم، $${\displaystyle O(k_{o}^{1-m}):\quad 2\nabla S\cdot \nabla A_{m}+A_{m}\nabla ^{2}S=-\nabla ^{2}A_{m-1}.}$$

تُعرف المعادلة الأولى باسم معادلة الإيكونال ، والتي تحدد الإيكونال${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$هي معادلة هاميلتون-جاكوبي ، مكتوبة على سبيل المثال في الإحداثيات الديكارتية تصبح $${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=n^{2}.}$$

تحدد المعادلات المتبقية الدوال${\displaystyle A_{m}(\mathbf {r} )}$.

وصف رودولف كارل لونيبورغ لأول مرة في عام 1944 طريقة الحصول على معادلات البصريات الهندسية من خلال تحليل أسطح عدم استمرارية حلول معادلات ماكسويل. ^{[ 10 ]} ولا تقيد هذه الطريقة المجال الكهرومغناطيسي بالشكل الخاص الذي تتطلبه طريقة سومرفيلد-رونج، والتي تفترض السعة${\displaystyle A(k_{o},\mathbf {r} )}$والمرحلة${\displaystyle S(\mathbf {r} )}$تحقق المعادلة${\textstyle \lim _{k_{0}\to \infty }{\frac {1}{k_{0}}}\left({\frac {1}{A}}\,\nabla S\cdot \nabla A+{\frac {1}{2}}\nabla ^{2}S\right)=0}$يتحقق هذا الشرط بواسطة الموجات المستوية على سبيل المثال، ولكنه ليس شرطًا إضافيًا.

الاستنتاج الرئيسي لنهج لونيبورغ هو التالي:

نظرية. لنفترض أن الحقول${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$و${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$(في وسط متجانس خطي موصوف بثوابت العزل الكهربائي)${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$و${\displaystyle \mu (x,y,z)}$) لها انقطاعات محدودة على طول سطح (متحرك) في${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$موصوفة بالمعادلة${\displaystyle \psi (x,y,z)-ct=0}$ثم إن معادلات ماكسويل في صيغتها التكاملية تستلزم أن${\displaystyle \psi }$يحقق معادلة إيكونال : $${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=\varepsilon \mu =n^{2},}$$ أين${\displaystyle n(x,y,z)}$هو معامل انكسار الوسط (وحدات غاوسية).

ومن الأمثلة على سطح عدم الاستمرارية هذا الجبهة الموجية الأولية المنبعثة من مصدر يبدأ في الإشعاع في لحظة زمنية معينة.

وبالتالي تصبح أسطح عدم استمرارية المجال جبهات موجية للبصريات الهندسية مع حقول البصريات الهندسية المقابلة المعرفة على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {E} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\\[1ex]\mathbf {H} ^{*}(x,y,z)&=\mathbf {H} (x,y,z,\psi (x,y,z)/c)\end{aligned}}}$$

تخضع هذه الحقول لمعادلات النقل المتوافقة مع معادلات النقل في منهج سومرفيلد-رونج. تُعرَّف أشعة الضوء في نظرية لونيبورغ بأنها مسارات متعامدة مع أسطح الانقطاع، ويمكن إثبات أنها تخضع لمبدأ فيرما لأقصر زمن، مما يُثبت تطابق هذه الأشعة مع أشعة الضوء في البصريات القياسية.

يمكن تعميم التطورات المذكورة أعلاه على الأوساط غير المتجانسة. ^{[ 11 ]}

يعتمد برهان نظرية لونيبورغ على دراسة كيفية تحكم معادلات ماكسويل في انتشار انقطاعات الحلول. وفيما يلي اللمة التقنية الأساسية:

معضلة تقنية. ليكن${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=0}$أن يكون سطحًا فائقًا (متعدد الأبعاد ثلاثي الأبعاد) في الزمكان${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$والتي تتضمن واحداً أو أكثر مما يلي:${\displaystyle \mathbf {E} (x,y,z,t)}$،${\displaystyle \mathbf {H} (x,y,z,t)}$،${\displaystyle \varepsilon (x,y,z)}$،${\displaystyle \mu (x,y,z)}$، لها انقطاع محدود. عندئذٍ، عند كل نقطة من السطح الفائق، تتحقق الصيغ التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\frac {1}{c}}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$ حيث${\displaystyle \nabla }$يقوم المشغل بدور في${\displaystyle xyz}$-مسافة (لكل ثابت)${\displaystyle t}$وتشير الأقواس المربعة إلى الفرق في القيم على جانبي سطح عدم الاستمرارية (الذي تم تحديده وفقًا لاتفاقية اعتباطية ولكن ثابتة، على سبيل المثال التدرج).${\displaystyle \nabla \varphi }$(مشيرًا إلى اتجاه الكميات التي يتم طرحها من ).

مخطط البرهان. ابدأ بمعادلات ماكسويل بعيدًا عن المصادر (وحدات غاوسية): $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \varepsilon \mathbf {E} =0\\[1ex]\nabla \cdot \mu \mathbf {H} =0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {E} +{\tfrac {\mu }{c}}\,\mathbf {H} _{t}=0\\[1ex]\nabla \times \mathbf {H} -{\tfrac {\varepsilon }{c}}\,\mathbf {E} _{t}=0\end{aligned}}}$$

استخدام نظرية ستوكس في${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$يمكن استنتاج من المعادلة الأولى أعلاه أنه لأي مجال${\displaystyle D}$في${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$بحدود ناعمة متقطعة (ثلاثية الأبعاد)${\displaystyle \Gamma }$ما يلي صحيح: $${\displaystyle \oint _{\Gamma }(\mathbf {M} \cdot \varepsilon \mathbf {E} )\,dS=0}$$ أين${\displaystyle \mathbf {M} =(x_{N},y_{N},z_{N})}$هو إسقاط العمودي الخارجي للوحدة${\displaystyle (x_{N},y_{N},z_{N},t_{N})}$ل${\displaystyle \Gamma }$على الشريحة ثلاثية الأبعاد${\displaystyle t={\rm {const}}}$، و${\displaystyle dS}$هل المجلد الثالث على${\displaystyle \Gamma }$وبالمثل، يمكن استنتاج ما يلي من معادلات ماكسويل المتبقية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \cdot \mu \mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {E} +{\frac {\mu }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {H} \right)dS&=0\\[1.55ex]\oint _{\Gamma }\left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} -{\frac {\varepsilon }{c}}\,t_{N}\,\mathbf {E} \right)dS&=0\end{aligned}}}$$

والآن، بالنظر إلى الأسطح الفرعية الصغيرة العشوائية${\displaystyle \Gamma _{0}}$ل${\displaystyle \Gamma }$وإنشاء أحياء صغيرة محيطة${\displaystyle \Gamma _{0}}$في${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$وبطرح التكاملات المذكورة أعلاه وفقًا لذلك، نحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\varepsilon \mathbf {E} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}(\nabla \varphi \cdot [\mu \mathbf {H} ])\,{dS \over \|\nabla ^{4D}\varphi \|}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\mu \mathbf {H} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\\[1ex]\int _{\Gamma _{0}}\left(\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{1 \over c}\,\varphi _{t}\,[\varepsilon \mathbf {E} ]\right)\,{\frac {dS}{\|\nabla ^{4D}\varphi \|}}&=0\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \nabla ^{4D}}$يشير إلى التدرج في البعد الرابع${\displaystyle xyzt}$-مسافة. وبما أن${\displaystyle \Gamma _{0}}$إذا كانت القيمة اختيارية، فيجب أن تكون الدوال التكاملية مساوية للصفر مما يثبت اللمة.

من السهل الآن إثبات أنه أثناء انتشارها عبر وسط متصل، تخضع أسطح عدم الاستمرارية لمعادلة إيكونال. تحديدًا، إذا${\displaystyle \varepsilon }$و${\displaystyle \mu }$إذا كانت الدوال متصلة، فإن عدم الاتصال في${\displaystyle \mathbf {E} }$و${\displaystyle \mathbf {H} }$إرضاء:${\displaystyle [\varepsilon \mathbf {E} ]=\varepsilon [\mathbf {E} ]}$و${\displaystyle [\mu \mathbf {H} ]=\mu [\mathbf {H} ]}$في هذه الحالة، يمكن كتابة المعادلتين الأخيرتين من اللمة على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ]+{\mu \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {H} ]&=0\\[1ex]\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ]-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,[\mathbf {E} ]&=0\end{aligned}}}$$

بأخذ الضرب الاتجاهي للمعادلة الثانية مع${\displaystyle \nabla \varphi }$وبالتعويض عن الأول نحصل على: $${\displaystyle \nabla \varphi \times (\nabla \varphi \times [\mathbf {H} ])-{\varepsilon \over c}\,\varphi _{t}\,(\nabla \varphi \times [\mathbf {E} ])=(\nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ])\,\nabla \varphi -\|\nabla \varphi \|^{2}\,[\mathbf {H} ]+{\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}\,[\mathbf {H} ]=0}$$

استمرارية${\displaystyle \mu }$والمعادلة الثانية من اللمة تعني:${\displaystyle \nabla \varphi \cdot [\mathbf {H} ]=0}$وبالتالي، بالنسبة للنقاط الواقعة على السطح${\displaystyle \varphi =0}$فقط : $${\displaystyle \|\nabla \varphi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\varphi _{t}^{2}}$$

(لاحظ أن وجود الانقطاع ضروري في هذه الخطوة، وإلا سنقسم على صفر.)

بسبب الاعتبارات الفيزيائية، يمكن للمرء أن يفترض دون فقدان للعمومية أن${\displaystyle \varphi }$ويكون على الشكل التالي: ${\displaystyle \varphi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)-ct}$أي سطح ثنائي الأبعاد يتحرك عبر الفضاء، مصمم على شكل أسطح مستوية من${\displaystyle \psi }$(رياضياً)${\displaystyle \psi }$موجود إذا${\displaystyle \varphi _{t}\neq 0}$(بحسب نظرية الدالة الضمنية .) المعادلة أعلاه مكتوبة بدلالة${\displaystyle \psi }$يصبح: $${\displaystyle \|\nabla \psi \|^{2}={\varepsilon \mu \over c^{2}}\,(-c)^{2}=\varepsilon \mu =n^{2}}$$ أي، $${\displaystyle \psi _{x}^{2}+\psi _{y}^{2}+\psi _{z}^{2}=n^{2}}$$ وهي معادلة إيكونال، وهي تنطبق على جميع${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$،${\displaystyle z}$، لأن المتغير${\displaystyle t}$غائب. يمكن الحصول على قوانين أخرى في علم البصريات، مثل قانون سنيل وصيغ فرينل، بطريقة مماثلة من خلال مراعاة الانقطاعات في${\displaystyle \varepsilon }$و${\displaystyle \mu }$.

في تدوين المتجهات الأربعة المستخدم في النسبية الخاصة ، يمكن كتابة معادلة الموجة على النحو التالي: $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0}$$

والاستبدال${\displaystyle \psi =Ae^{iS/\varepsilon }}$يؤدي إلى ^{[ 12 ]}$${\displaystyle -{\frac {A}{\varepsilon ^{2}}}{\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {2i}{\varepsilon }}{\frac {\partial A}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {iA}{\varepsilon }}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x_{i}\partial x^{i}}}=0.}$$

وبالتالي، تُعطى معادلة إيكونال بالصيغة التالية $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}=0.}$$

بمجرد إيجاد قيمة إيكونال عن طريق حل المعادلة أعلاه، يمكن إيجاد متجه الموجة الرباعي من $${\displaystyle k_{i}=-{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}.}$$

• إتش. برونز، "الرمزية"
• م. مالوس، "أوبتيك"
• ج. بلوكر، "مناقشة الشكل العام للموجات الضوئية"
• إي. كومر، "النظرية العامة لأنظمة الأشعة المستقيمة"
• إي. كومر، عرض تقديمي حول أنظمة الأشعة المستقيمة القابلة للتحقيق بصريًا
• ر. مايباور، "نظرية الأنظمة المستقيمة لأشعة الضوء"
• م. باش، "حول الأسطح البؤرية لأنظمة الأشعة وأسطح التفرد للمركبات"
• أ. ليفيستال، "بحوث في البصريات الهندسية"
• إف كلاين، "على برونز إيكونال"
• ر. دونتوت، "حول الثوابت التكاملية وبعض نقاط البصريات الهندسية"
• تي. دي دوندر، "حول الثوابت التكاملية للبصريات"