المعنى العام

{\displaystyle M_{p}(1,x)} — رسم بياني لعدة متوسطات معممة $M_{p}(1,x)$

في الرياضيات ، تُعدّ المتوسطات المعممة (أو متوسط القوة أو متوسط هولدر نسبةً إلى أوتو هولدر ) ^{[ 1 ]} عائلة من الدوال لتجميع مجموعات الأعداد. وتشمل هذه الدوال، كحالات خاصة، المتوسطات الفيثاغورية ( المتوسط الحسابي ، والمتوسط الهندسي ، والمتوسط التوافقي ) .

تعريف

إذا كان $p$ عددًا حقيقيًا غير صفري ، و $x_{1},\dots ,x_{n}$ إذا كانت أعدادًا حقيقية موجبة ، فإن المتوسط المعمم أو المتوسط الأسي ذو الأس $p$ لهذه الأعداد الحقيقية الموجبة هو ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{{1}/{p}}.$

(انظر $p$ -norm ). عندما تكون قيمة $p تساوي صفرًا،$ فإننا نجعلها مساوية للمتوسط الهندسي (وهو نهاية المتوسطات ذات الأسس التي تقترب من الصفر، كما هو موضح أدناه):

$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.$

علاوة على ذلك، بالنسبة لتسلسل من الأوزان الموجبة $w i،$ فإننا نعرّف متوسط القوة المرجح على النحو التالي ^{[ 2 ]} $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{{1}/{p}}$ وعندما تكون $قيمة p تساوي صفرًا$ ، فإنها تساوي المتوسط الهندسي المرجح :

$M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}.$

المتوسطات غير المرجحة تتوافق مع تعيين جميع قيم $w i = 1$ .

حالات خاصة

بالنسبة لبعض قيم $p$ ، المتوسط $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})$ يتوافق مع متوسط معروف.

{\displaystyle n=2} — تصوير مرئي لبعض الحالات المحددة لـ $n=2$ .
  المتوسط التوافقي: $M_{-1}(a,b)$ .
  المتوسط الهندسي: $M_{0}(a,b)$ .
  المتوسط الحسابي: $M_{1}(a,b)$ .
  المتوسط التربيعي: $M_{2}(a,b)$ .

اسم	الأس	قيمة
الحد الأدنى	$p=-\infty$	$\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$
المتوسط التوافقي	$p=-1$	${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$
المتوسط الهندسي	$p=0$	${\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}$
المتوسط الحسابي	$p=1$	${\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$
الجذر التربيعي المتوسط	$p=2$	${\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}$
المتوسط التكعيبي	$p=3$	${\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}$
الحد الأقصى	$p=+\infty$	$\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$

إثبات ${\textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$ (المتوسط الهندسي)

لغرض البرهان، سنفترض دون فقدان للعمومية أن $w_{i}\in [0,1]$ و $\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1.$

يمكننا إعادة صياغة تعريف $M_{p}$ باستخدام الدالة الأسية كـ

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}$

في حالة اقتراب $p من الصفر$ ، يمكننا تطبيق قاعدة لوبيتال على وسيط الدالة الأسية. نفترض أن $p\in \mathbb {R}$ لكن $p \neq 0$ ، ومجموع $w i$ يساوي 1 (دون فقدان للعمومية)؛ ^{[ 4 ]} باشتقاق البسط والمقام بالنسبة إلى $p$ ، نحصل على ${\begin{aligned}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{aligned}}$

بفضل استمرارية الدالة الأسية، يمكننا التعويض مرة أخرى في العلاقة أعلاه للحصول على $\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})$ حسب الرغبة. ^{[ 2 ]}

إثبات ${\textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$ و ${\textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$

افترض (ربما بعد إعادة تسمية المصطلحات ودمجها معًا) أن $x_{1}\geq \dots \geq x_{n}$ . ثم

${\begin{aligned}\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).\end{aligned}}$

صيغة لـ $M_{-\infty }$ يتبع من $M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}=x_{n}.$

ملكيات

يترك $x_{1},\dots ,x_{n}$ إذا كانت متتالية من الأعداد الحقيقية الموجبة، فإن الخصائص التالية تتحقق: ^{[ 1 ]}

$\min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})$ .
يقع كل متوسط عام دائمًا بين أصغر وأكبر قيم $x$ .
$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))$ ، أين $P$ هو عامل تبديل.
كل متوسط معمّم هو دالة متناظرة لمتغيراته؛ تبديل متغيرات المتوسط المعمّم لا يغير قيمته.
$M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})$ .
كغيرها من المتوسطات ، $فإن$ المتوسط المعمم دالة متجانسة لمتغيراته $x₁, ..., xₙ .$ أي، إذا كان $b$ عددًا حقيقيًا موجبًا، فإن المتوسط المعمم ذو الأس $p$ للأعداد $b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}$ يساوي $b$ مضروبًا في المتوسط العام للأعداد $x 1 ، ... ، x n$ .
$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]$ .
كما هو الحال مع المتوسطات شبه الحسابية ، يمكن تقسيم حساب المتوسط إلى عمليات حسابية لأجزاء فرعية متساوية الحجم. وهذا يُمكّن من استخدام خوارزمية فرق تسد لحساب المتوسطات، عند الحاجة.

متباينة المتوسط المعممة

بشكل عام، إذا كان $p < q$ ، فإن $M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})$ ويكون الوسطان متساويين إذا وفقط إذا كان $x 1 = x 2 = ... = x n$ .

تكون المتباينة صحيحة بالنسبة للقيم الحقيقية لـ $p$ و $q$ ، وكذلك بالنسبة لقيم اللانهاية الموجبة والسالبة.

ويترتب على ذلك حقيقة أنه، بالنسبة لجميع $قيم p$ الحقيقية ، ${\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0$ ويمكن إثبات ذلك باستخدام متباينة جنسن .

على وجه الخصوص، بالنسبة لـ $p$ في ${-1، 0، 1}$ ، فإن متباينة المتوسط المعممة تعني متباينة المتوسطات الفيثاغورية بالإضافة إلى متباينة المتوسطات الحسابية والهندسية .

برهان المتباينة المرجحة

سنبرهن على متباينة المتوسط المرجح للقوى. ولغرض البرهان، سنفترض ما يلي دون الإخلال بعمومية البرهان : ${\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}$

يمكن الحصول على برهان المتوسطات غير المرجحة بسهولة عن طريق استبدال $w i = 1/ n$ .

تكافؤ المتباينات بين متوسطات ذات إشارات متعاكسة

لنفترض أن المتوسط بين متوسطات القوى ذات الأسس $p$ و $q$ صحيح: $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$ وبناءً على ذلك، إذن: $\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}\right)^{1/q}$

نرفع كلا الطرفين إلى قوة −1 (دالة متناقصة تمامًا في الأعداد الحقيقية الموجبة): $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}\right)^{-1/p}=\left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}\right)^{1/p}\leq \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}\right)^{1/q}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}$

نحصل على المتباينة للمتوسطات ذات الأسس $- p$ و $- q$ ، ويمكننا استخدام نفس المنطق بشكل عكسي، وبالتالي إثبات أن المتباينات متكافئة، وهو ما سيتم استخدامه في بعض البراهين اللاحقة.

المتوسط الهندسي

لأي قيمة $q > 0$ وأوزان غير سالبة مجموعها يساوي 1، فإن المتباينة التالية صحيحة: $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.$

يستند البرهان إلى متباينة جنسن ، مستفيداً من حقيقة أن اللوغاريتم مقعر: $\log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.$

بتطبيق الدالة الأسية على كلا الطرفين وملاحظة أنها، كدالة متزايدة تمامًا، تحافظ على إشارة المتباينة، نحصل على $\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.$

بأخذ القوى من الرتبة $q للمتغير$ $x i$ ينتج ${\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\\&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.\end{aligned}}$

وهكذا، نكون قد انتهينا من المتباينة ذات $q$ الموجبة ؛ أما بالنسبة للأعداد السالبة، فالأمر مماثل باستثناء تبديل الإشارات في الخطوة الأخيرة:

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}.$

بالطبع، رفع كل جانب إلى قوة عدد سالب $-1/ q$ يبدل اتجاه المتباينة.

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}.$

عدم المساواة بين أي قوتين يعني

علينا أن نثبت أنه لأي قيمة $p < q،$ فإن المتباينة التالية صحيحة: $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$ إذا كانت قيمة $p$ سالبة، وقيمة $q$ موجبة، فإن المتباينة تعادل تلك التي تم إثباتها أعلاه: $\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$

يُمكن إثبات صحة $p$ و $q$ الموجبتين كما يلي: عرّف الدالة التالية: $f : R + \to R +$ $f(x)=x^{\frac {q}{p}}$ . $f$ دالة أسية، لذا فهي تمتلك مشتقة ثانية : $f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}$ وهو موجب تمامًا ضمن نطاق $f$ ، نظرًا لأن $q > p$ ، لذلك نعلم أن $f$ محدبة.

باستخدام هذا، ومتباينة جنسن، نحصل على: ${\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{q/p}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}}$ بعد رفع كلا الطرفين إلى قوة $1/ q$ (وهي دالة متزايدة، لأن $1/ q$ موجب) نحصل على المتباينة التي كان المطلوب إثباتها:

$\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}$

باستخدام التكافؤ الموضح سابقًا، يمكننا إثبات المتباينة لقيم $p$ و $q$ السالبة عن طريق استبدالها بـ $- q$ و $- p$ على التوالي.

المتوسط المعمم f

يمكن تعميم المتوسط الأسي بشكل أكبر إلى المتوسط $f$ المعمم :

$M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)$

يشمل هذا المتوسط الهندسي دون استخدام النهاية مع $f (x) = log(x)$ . ويُحسب المتوسط الأسي مع $f (x) = x^p$ . وقد دُرست خصائص هذه المتوسطات في دي كارفاليو (2016). ^{[ 3 ]}

التطبيقات

معالجة الإشارات

يُستخدم المتوسط المتحرك الأسي كمتوسط متحرك غير خطي ، حيث يميل نحو قيم الإشارة الصغيرة عند قيم $p$ الصغيرة ، ويُبرز قيم الإشارة الكبيرة عند قيم $p$ الكبيرة . وبوجود تطبيق فعال للمتوسط الحسابي المتحرك ، smoothيُمكن تطبيق المتوسط المتحرك الأسي باستخدام كود Haskell التالي .

powerSmooth :: Floating a => ([ a ] -> [ a ]) -> a -> [ a ] -> [ a ] powerSmooth smooth p = map ( ** recip p ) . smooth . map ( ** p )

بالنسبة لقيمة $p$ الكبيرة ، يمكن أن يعمل ككاشف غلاف على إشارة مُقوَّمة .
بالنسبة للقيم الصغيرة $p$ ، يمكن أن يعمل ككاشف أساسي على طيف الكتلة .

انظر أيضاً

المتوسط الحسابي الهندسي
متوسط
هيرونيان يعني
عدم تساوي المتوسطات الحسابية والهندسية
متوسط ليمر – وهو أيضاً متوسط مرتبط بالقوى
مسافة مينكوفسكي
المتوسط شبه الحسابي – اسم آخر للمتوسط المعمم f المذكور أعلاه
الجذر التربيعي المتوسط

ملحوظات

↑ إذاكان NM = a و PM = b ، فإن AM = AM للضلعين a و b ، ونصف القطر r = AQ = AG.باستخدام نظرية فيثاغورس ، QM² = AQ² + AM² ، ومنه QM = √ ( AQ² + AM² ) = QM . باستخدام نظرية فيثاغورس، AM² = AG² + GM² ، ومنه GM = √ ( AM² - AG² ) = GM .باستخدام تشابه المثلثات ، HM / GM = GM / AM ، ومنه HM = GM² / AM = HM .

مراجع

1 2 سيكورا، ستانيسلاف (2009). "المتوسطات الرياضية: الخصائص الأساسية". مكتبة ستان . الجزء الثالث . كاستانو بريمو، إيطاليا. doi : 10.3247/SL3Math09.001 .
1 2 3 ب. س. بولين: دليل الوسائل وعدم المساواة بينها . دوردريخت، هولندا: كلوير، 2003، ص 175-177
1 2 دي كارفاليو، ميغيل (2016). "ماذا تقصد بكلمة 'Mean'؟" . الإحصائي الأمريكي . 70 (3): 764-776. doi : 10.1080/00031305.2016.1148632 . hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c .
↑ دليل الوسائل ومتبايناتها (الرياضيات وتطبيقاتها) .

للمزيد من القراءة

بولين، ب.س. (2003). "الفصل الثالث - وسائل القوة". دليل الوسائل وعدم المساواة فيها . دوردريخت، هولندا: كلوير. ص 175-265 .

روابط خارجية

[5] إذاكان NM = a و PM = b ، فإن AM = AM للضلعين a و b ، ونصف القطر r = AQ = AG.باستخدام نظرية فيثاغورس ، QM² = AQ² + AM² ، ومنه QM = √ ( AQ² + AM² ) = QM . باستخدام نظرية فيثاغورس، AM² = AG² + GM² ، ومنه GM = √ ( AM² - AG² ) = GM .باستخدام تشابه المثلثات ، HM / GM = GM / AM ، ومنه HM = GM² / AM = HM .

[sykora-1] 1 2 سيكورا، ستانيسلاف (2009). "المتوسطات الرياضية: الخصائص الأساسية". مكتبة ستان . الجزء الثالث . كاستانو بريمو، إيطاليا. doi : 10.3247/SL3Math09.001 .

[Bullen1-2] 1 2 3 ب. س. بولين: دليل الوسائل وعدم المساواة بينها . دوردريخت، هولندا: كلوير، 2003، ص 175-177

[dC2016-3] 1 2 دي كارفاليو، ميغيل (2016). "ماذا تقصد بكلمة 'Mean'؟" . الإحصائي الأمريكي . 70 (3): 764-776. doi : 10.1080/00031305.2016.1148632 . hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c .

[4] دليل الوسائل ومتبايناتها (الرياضيات وتطبيقاتها) .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ ملاحظة 1 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗