فيثاغورس يعني

في الرياضيات، تُعرف المتوسطات الفيثاغورية الكلاسيكية الثلاثة بالمتوسط ​​الحسابي (AM)، والمتوسط ​​الهندسي (GM)، والمتوسط ​​التوافقي (HM). وقد درس الفيثاغوريون، وأجيال لاحقة من علماء الرياضيات اليونانيين، هذه المتوسطات مع النسب ^{[ 1 ]} لأهميتها في الهندسة والموسيقى. ويمكن اعتبارها الآن حالات خاصة من عائلة من الدوال تُسمى المتوسطات المعممة .

تُعرَّف المتوسطات الفيثاغورية الثلاثة بالمعادلات $$\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {x_{1}+\;\cdots \;+x_{n}}{n}},\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x_{1}\times \,\cdots \,\times x_{n}\right\vert }},{\text{ و}}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x_{n}}}}}.\end{aligned}}}$$

كل منها يعني،${\textstyle \اسم المشغل {M} }$، لها الخصائص التالية للمدخلات الحقيقية الموجبة:

التجانس من الدرجة الأولى

$${\displaystyle \operatorname {M} (bx_{1},\ldots ,bx_{n})=b\operatorname {M} (x_{1},\ldots ,x_{n})}$$وهذا يضمن أن تكون القيمة الفيزيائية للمتوسط ​​هي نفسها، بغض النظر عن اختيار مقياس النسبة لوحداته.

الثبات في ظل التبادل

$${\displaystyle \operatorname {M} (\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=\operatorname {M} (\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )}$$لأي${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$وهذا يضمن أن المتوسط ​​هو دالة متناظرة لا تعتمد قيمتها على ترتيب وسيطاتها.

الرتابة

لو${\displaystyle a\leq b}$ثم${\displaystyle \operatorname {M} (a,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\leq \operatorname {M} (b,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})}$

العجز الجنسي

${\displaystyle M(x,x,\ldots x)=x}$للجميع${\displaystyle x}$

يشير كل من الرتابة والتكرار معًا إلى أن متوسط ​​المجموعة يقع دائمًا بين طرفي المجموعة: $${\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq \operatorname {M} (x_{1},\ldots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$$

المتوسط ​​التوافقي والمتوسط ​​الحسابي هما متقابلان متبادلان بالنسبة للحجج الموجبة. $${\displaystyle \operatorname {HM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {AM} \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}},}$$ بينما المتوسط ​​الهندسي هو مقلوبه الثنائي: $${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {GM} \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}}.}$$

هناك ترتيب لهذه الوسائل (إذا كانت جميعها${\displaystyle x_{i}}$(إيجابي) $${\displaystyle \min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max }$$ وتتحقق المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle x_{i}}$جميعهم متساوون.

هذا تعميم لمتباينة الوسط الحسابي والوسط الهندسي، وحالة خاصة من متباينة الوسط المعمم. ويستند البرهان إلى متباينة الوسط الحسابي-الهندسي .${\displaystyle \operatorname {AM} \leq \max }$والازدواجية المتبادلة (${\displaystyle \min }$و${\displaystyle \max }$(وهي أيضًا متضادة ومتقابلة).

ترتبط دراسة المتوسطات الفيثاغورية ارتباطًا وثيقًا بدراسة الترتيب الجزئي والدوال المحدبة وفقًا لنظرية شور . فالمتوسط ​​التوافقي والمتوسط ​​الهندسي دالتان متناظرتان مقعرتان بالنسبة لمتغيراتهما، وبالتالي فهما مقعرتان وفقًا لنظرية شور، بينما المتوسط ​​الحسابي دالة خطية بالنسبة لمتغيراته، وبالتالي فهو مقعر ومحدب في آن واحد.

كل ما نعرفه تقريبًا عن الوسائل الفيثاغورية مستمد من كتب الحساب التي كُتبت في القرنين الأول والثاني الميلاديين. يقول نيكوماخوس الجراسي إنها كانت "معترفًا بها من قبل جميع القدماء، فيثاغورس وأفلاطون وأرسطو". ^{[ 2 ]} وأقدم استخدام معروف لها هو جزء من كتابات الفيلسوف الفيثاغوري أرخيتاس التارنتيني .

توجد ثلاثة أنواع من المتوسطات في الموسيقى: المتوسط ​​الحسابي، والمتوسط ​​الهندسي، والمتوسط ​​التوافقي. يكون المتوسط ​​حسابيًا عندما تكون ثلاثة حدود متناسبة بحيث يكون الفرق بين الحد الأول والثاني مساويًا للفرق بين الحد الثاني والثالث. في هذه الحالة، تكون المسافة بين الحدين الأكبر والأصغر أكبر. يكون المتوسط ​​هندسيًا عندما تكون الحدود متناسبة بحيث تكون المسافة بين الحدين الأكبر والأصغر مساوية للمسافة بين الحدين الأكبر والأصغر. أما المتوسط ​​التوافقي، فيكون عندما يكون الفرق بين الحد الأول والثاني مساويًا للفرق بين الحدين الأكبر والأصغر. في هذه الحالة، تكون المسافة بين الحدين الأكبر والأصغر أكبر.

يُنسب مصطلح "المتوسط ​​التوافقي"، وفقًا ليامبليخوس ، إلى أرخيتاس وهيباسوس . كما تظهر المتوسطات الفيثاغورية في كتاب طيماوس لأفلاطون . ومن الأدلة الأخرى على استخدامها المبكر تعليقٌ لبابوس .

كان [...] ثييتيتوس هو من ميز القوى التي تتناسب في الطول عن تلك التي لا تتناسب، وهو من قسم الخطوط غير النسبية الأكثر شيوعًا وفقًا للوسائل المختلفة، حيث نسب الخطوط الوسطى إلى الهندسة، والخطوط ذات الحدين إلى الحساب، والخطوط المستقيمة إلى التناغم، كما ذكر أوديموس المشائي. ^{[ 4 ]}

يظهر مصطلح "المتوسط" (باليونانية القديمة μεσότης، mesótēs ) في كتيبات الحساب الفيثاغورية الجديدة بالارتباط بمصطلح "النسبة" (باليونانية القديمة ἀναλογία، analogía ).

من بين جميع أزواج الأعداد الطبيعية المختلفة من الشكل ( أ ، ب ) بحيث يكون أ < ب ، فإن أصغر عدد (كما هو محدد بأصغر قيمة لـ أ + ب ) الذي تكون فيه المتوسطات الحسابية والهندسية والتوافقية أعدادًا طبيعية أيضًا هو (5، 45) و(10، 40). ^{[ 5 ]}

بالنسبة لزوج من الأعداد الطبيعية، يكون المتوسط ​​الحسابي عددًا طبيعيًا عندما يكون المجموع زوجيًا. أما عندما يكون المجموع فرديًا، فلا يكون المتوسط ​​عددًا طبيعيًا.

بالنسبة لزوج من الأعداد الطبيعية، يكون الوسط الهندسي عددًا نسبيًا، وخاصةً عندما يكون عددًا طبيعيًا، إذا كان حاصل ضربهما مربعًا كاملًا، وخاصةً إذا كان مربعًا كاملًا طبيعيًا. أما إذا لم يكن حاصل الضرب مربعًا كاملًا، وخاصةً إذا لم يكن مربعًا كاملًا طبيعيًا، فيكون الوسط الهندسي عددًا غير نسبي.

بالنسبة لزوج من الأعداد الطبيعية، يكون الوسط التوافقي عددًا طبيعيًا عندما يكون ضعف حاصل ضربهما قابلاً للقسمة على مجموعهما. أما عندما لا يكون ضعف حاصل ضربهما قابلاً للقسمة على مجموعهما، فلا يكون الوسط عددًا طبيعيًا.

• المتوسط ​​الحسابي الهندسي
• متوسط
• النسبة الذهبية
• مثلث كبلر
• متباينات QM-AM-GM-HM

• كانتريل، ديفيد دبليو. "المتوسطات الفيثاغورية" . عالم الرياضيات .