دالة شور المحدبة

في الرياضيات، الدالة المحدبة شور ، والمعروفة أيضًا باسم الدالة المحدبة S ، والدالة المتساوية ، والدالة الحافظة للترتيب، هي دالة${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$هذا للجميع${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$بحيث${\displaystyle x}$يغلب عليه بواسطة${\displaystyle y}$، لدى المرء ذلك${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$. سميت الدوال المحدبة شور على اسم إساي شور ، وتستخدم في دراسة الترتيب الجزئي .

تكون الدالة f "مقعرة شور" إذا كان سالبها، − f ، محدب شور.

كل دالة محدبة ومتناظرة (تحت تبديل الوسائط) هي أيضًا دالة محدبة من نوع شور .

كل دالة محدبة وفقًا لمعيار شور متناظرة، ولكنها ليست بالضرورة محدبة. ^{[ 1 ]}

لو${\displaystyle f}$هو (بشكل دقيق) محدب شور و${\displaystyle g}$إذا كانت الدالة متزايدة بشكل رتيب (بشكل صارم)، فإن${\displaystyle g\circ f}$محدبة (بشكل صارم) وفقًا لمعيار شور.

لو${\displaystyle g}$إذا كانت دالة محدبة معرفة على فترة حقيقية، فإن${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g(x_{i})}$محدب من نوع شور.

• ${\displaystyle f(x)=\min(x)}$مقعرة من نوع شور بينما${\displaystyle f(x)=\max(x)}$هي محدبة من نوع شور. ويمكن ملاحظة ذلك مباشرة من التعريف.
• دالة إنتروبيا شانون${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}}$مقعر من نوع شور.
• دالة إنتروبيا ريني هي أيضًا دالة مقعرة من نوع شور.
• ${\displaystyle x\mapsto \sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1}$يكون محدبًا وفقًا لمعيار شور إذا${\displaystyle k\geq 1}$وشور مقعر إذا${\displaystyle k\in (0,1)}$.
• الوظيفة${\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}}$تكون مقعرة وفقًا لمعيار شور، عندما نفترض أن${\displaystyle x_{i}>0}$وبالمثل، فإن جميع الدوال المتناظرة الأولية تكون مقعرة وفقًا لمعيار شور، عندما${\displaystyle x_{i}>0}$.
• التفسير الطبيعي للتقسيم هو أنه إذا${\displaystyle x\succ y}$ثم${\displaystyle x}$أكثر انتشارًا من${\displaystyle y}$لذا، من الطبيعي التساؤل عما إذا كانت المقاييس الإحصائية للتباين دوال شور المحدبة. التباين والانحراف المعياري دالتان شور محدبتان، بينما الانحراف المطلق الوسيط ليس كذلك.
• مثال على الاحتمالات: إذا ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$إذا كانت المتغيرات العشوائية قابلة للتبادل ، فإن الدالة${\displaystyle {\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}}$تكون محدبة شور كدالة لـ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$، بافتراض وجود التوقعات.
• معامل جيني محدب تمامًا وفقًا لمعيار شور.

• دالة شبه محدبة