تقدير الكثافة

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 7 صور
الموسوعة الحرة
توضيح لتقدير الكثافة باستخدام تقدير كثافة النواة : الكثافة الحقيقية هي مزيج من توزيعين غاوسيين متمركزين حول 0 و3، موضحين بمنحنى أزرق متصل. في كل إطار، يتم توليد 100 عينة من التوزيع، موضحة باللون الأحمر. يتم رسم نواة غاوسية متمركزة حول كل عينة باللون الرمادي. ينتج عن حساب متوسط ​​التوزيعين الغاوسيين تقدير الكثافة الموضح بالمنحنى الأسود المتقطع.

في الإحصاء ، يُعرف تقدير كثافة الاحتمال، أو ببساطة تقدير الكثافة، بأنه بناء تقدير ، استنادًا إلى البيانات المرصودة ، لدالة كثافة احتمال كامنة غير قابلة للملاحظة . تُعتبر دالة الكثافة غير القابلة للملاحظة بمثابة الكثافة التي يتوزع وفقًا لها مجتمع إحصائي كبير؛ وعادةً ما تُعتبر البيانات عينة عشوائية من ذلك المجتمع. [ 1 ]

تُستخدم طرق متنوعة لتقدير الكثافة، بما في ذلك نوافذ بارزن ومجموعة من تقنيات تجميع البيانات ، بما في ذلك التكميم المتجهي . أبسط أشكال تقدير الكثافة هو المدرج التكراري المُعاد تحجيمه .

مثال

الكثافة المقدرة لـ p (glu | diabetes=1) (أحمر)، و p  (glu | diabetes=0) (أزرق)، و p  (glu) (أسود)
الاحتمالية المقدرة لـ p (داء السكري = 1 | الجلوكوز)
الاحتمالية المقدرة لـ p  (داء السكري = 1 | الجلوكوز)

سندرس سجلات حالات الإصابة بداء السكري . فيما يلي اقتباس حرفي من وصف مجموعة البيانات :

خضعت مجموعة من النساء، ممن بلغن 21 عامًا فأكثر، من أصول بيما الهندية، ويقطنّ بالقرب من فينيكس، أريزونا، لاختبارات الكشف عن داء السكري وفقًا لمعايير منظمة الصحة العالمية . جُمعت البيانات من قِبل المعهد الوطني الأمريكي للسكري وأمراض الجهاز الهضمي والكلى. استخدمنا 532 سجلًا كاملًا. [ 2 ] [ 3 ]

في هذا المثال، نقوم بإنشاء ثلاثة تقديرات للكثافة لتركيز الجلوكوز في البلازما (glu )، الأول مشروط بوجود مرض السكري، والثاني مشروط بعدم وجوده، والثالث غير مشروط بوجوده. ثم تُستخدم تقديرات الكثافة المشروطة لحساب احتمالية الإصابة بمرض السكري بناءً على تركيز الجلوكوز في البلازما (glu).

تم الحصول على بيانات "glu" من حزمة MASS [ 4 ] الخاصة بلغة البرمجة R. ضمن R، ?Pima.trيمكن ?Pima.teتقديم وصف أكثر تفصيلاً للبيانات.

يبلغ متوسط ​​مستوى الجلوكوز في الدم لدى مرضى السكري 143.1 بانحراف معياري قدره 31.26. أما متوسط ​​مستوى الجلوكوز في الدم لدى غير المصابين بالسكري فيبلغ 110.0 بانحراف معياري قدره 24.29. يتضح من ذلك أن مرضى السكري في هذه المجموعة من البيانات يرتبطون بمستويات أعلى من الجلوكوز. وسيتضح هذا الأمر أكثر من خلال رسوم بيانية لدوال الكثافة المقدرة.

يوضح الشكل الأول تقديرات الكثافة الاحتمالية لـ p (glu | diabetes=1)، و p (glu | diabetes=0)، و p (glu). وتُعدّ هذه التقديرات تقديرات كثافة باستخدام دالة كثافة غاوسية. أي أنه يتم وضع دالة كثافة غاوسية عند كل نقطة بيانات، ثم يُحسب مجموع دوال الكثافة على مدى البيانات.

انطلاقاً من كثافة "glu" المشروطة بمرض السكري، يمكننا الحصول على احتمال الإصابة بمرض السكري المشروط بـ "glu" باستخدام قاعدة بايز . وللاختصار، يُشار إلى "مرض السكري" بالرمز "db." في هذه الصيغة.

ص(السكري=1|جلو)=ص(جلو|قاعدة البيانات=1)ص(قاعدة البيانات=1)ص(جلو|قاعدة البيانات=1)ص(قاعدة البيانات=1)+ص(جلو|قاعدة البيانات=0)ص(قاعدة البيانات=0){\displaystyle p({\mbox{diabetes}}=1|{\mbox{glu}})={\frac {p({\mbox{glu}}|{\mbox{db.}}=1)\,p({\mbox{db.}}=1)}{p({\mbox{glu}}|{\mbox{db.}}=1)\,p({\mbox{db.}}=1)+p({\mbox{glu}}|{\mbox{db.}}=0)\,p({\mbox{db.}}=0)}}}

يوضح الشكل الثاني الاحتمالية اللاحقة المقدرة p (داء السكري = 1 | الجلوكوز). من هذه البيانات، يبدو أن ارتفاع مستوى الجلوكوز مرتبط بداء السكري.

التطبيق والغرض

يُعدّ استخدام تقديرات الكثافة في البحث غير الرسمي عن خصائص مجموعة بيانات معينة استخدامًا طبيعيًا للغاية. إذ يمكن أن تُقدّم هذه التقديرات مؤشرًا قيّمًا على سمات مثل التواء البيانات وتعدد أنماطها. وفي بعض الحالات، تُفضي إلى استنتاجات يُمكن اعتبارها بديهية، بينما في حالات أخرى، لا تُقدّم سوى توجيهًا نحو مزيد من التحليل و/أو جمع البيانات. [ 5 ]

الرسم البياني ودالة الكثافة لتوزيع غامبل [ 6 ]

يُعدّ عرض البيانات على العميل جانبًا مهمًا من جوانب الإحصاء، وذلك لشرح وتوضيح الاستنتاجات التي ربما تم التوصل إليها بوسائل أخرى. وتُعتبر تقديرات الكثافة مثالية لهذا الغرض، نظرًا لسهولة فهمها نسبيًا لغير المتخصصين في الرياضيات.

أمثلة أخرى توضح استخدام تقديرات الكثافة لأغراض الاستكشاف والعرض، بما في ذلك الحالة المهمة للبيانات ثنائية المتغيرات. [ 7 ]

كما يتم استخدام تقدير الكثافة بشكل متكرر في الكشف عن الشذوذ أو الكشف عن المستجدات : [ 8 ] إذا كانت الملاحظة تقع في منطقة ذات كثافة منخفضة للغاية، فمن المحتمل أن تكون شذوذًا أو مستجدًا.

تقدير كثافة النواة

تقدير كثافة النواة لـ 100 رقم عشوائي موزعة توزيعًا طبيعيًا باستخدام نطاقات تنعيم مختلفة.

في الإحصاء ، يُعد تقدير كثافة النواة (KDE) تطبيقًا لتنعيم النواة لتقدير كثافة الاحتمال ، أي أنه أسلوب غير معلمي لتقدير دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي بالاعتماد على النوى كأوزان . يُجيب KDE على مشكلة أساسية في تنعيم البيانات، حيث تُستخلص استنتاجات حول المجتمع بناءً على عينة بيانات محدودة . في بعض المجالات، مثل معالجة الإشارات والاقتصاد القياسي، يُطلق عليه أيضًا اسم طريقة نافذة بارزن-روزنبلات، نسبةً إلى إيمانويل بارزن وموراي روزنبلات ، اللذين يُنسب إليهما الفضل عادةً في ابتكاره بشكل مستقل في صورته الحالية. [ 10 ] [ 11 ] من أشهر تطبيقات تقدير كثافة النواة تقدير الكثافات الحدية المشروطة بالفئة للبيانات عند استخدام مصنف بايز الساذج ، مما يُحسّن دقة التنبؤ. [ 12 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ألبرتو بيرناكيا، سيمون بيغولوتي، طريقة متسقة ذاتيًا لتقدير الكثافة، مجلة الجمعية الإحصائية الملكية، السلسلة ب: المنهجية الإحصائية، المجلد 73، العدد 3، يونيو 2011، الصفحات 407-422، https://doi.org/10.1111/j.1467-9868.2011.00772.x
  2. ↑ "مرض السكري لدى نساء بيما الهنديات - توثيق R" .
  3. ↑ سميث، جيه دبليو، وإيفرهارت، جيه إي، وديكسون، دبليو سي، ونولر، دبليو سي، ويوهانس، آر إس (1988). آر إيه غرينز (محرر). "استخدام خوارزمية التعلم ADAP للتنبؤ ببداية داء السكري" . وقائع ندوة تطبيقات الحاسوب في الرعاية الطبية (واشنطن، 1988) . لوس ألاميتوس، كاليفورنيا: 261-265 . PMC 2245318 . {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  4. ↑ "وظائف الدعم ومجموعات البيانات لـ Venables و Ripley's MASS" .
  5. ↑ سيلفرمان، ب. و. (1986). تقدير الكثافة للإحصاء وتحليل البيانات . تشابمان وهول. ISBN 978-0412246203.
  6. ↑ آلة حاسبة لتوزيعات الاحتمالات ودوال الكثافة
  7. ↑ جيف هـ. جيفنز (2013). الإحصاء الحاسوبي. وايلي. ص 330. ISBN 978-0-470-53331-4.
  8. ^ بيمنتل، ماركو ايه اف. كليفتون، ديفيد أ. كليفتون، لي. تاراسينكو ، ليونيل (2014-01-02). “مراجعة للكشف عن الجدة”. معالجة الإشارات . 99 (يونيو 2014): 215-249 . دوى : 10.1016/j.sigpro.2013.12.026 .
  9. ↑ رسم توضيحي للرسوم البيانية ودوال كثافة الاحتمال
  10. ↑ روزنبلات، م. (1956). "ملاحظات حول بعض التقديرات غير البارامترية لدالة الكثافة" . حوليات الإحصاء الرياضي . 27 (3): 832-837 . doi : 10.1214/aoms/1177728190 .
  11. ↑ بارزن، إي. (1962). "حول تقدير دالة كثافة الاحتمال والمنوال" . حوليات الإحصاء الرياضي . 33 (3): 1065-1076 . doi : 10.1214/aoms/1177704472 . JSTOR 2237880 . 
  12. ↑ هاستي، تريفور ؛ تيبشيراني، روبرت ؛ فريدمان، جيروم هـ. (2001). عناصر التعلم الإحصائي : التنقيب في البيانات، والاستدلال، والتنبؤ : مع 200 رسم توضيحي ملون . نيويورك: سبرينغر. ISBN   0-387-95284-5. OCLC 46809224 . 

مصادر

  • برايان د. ريبلي (1996). التعرف على الأنماط والشبكات العصبية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521460866.
  • تريفور هاستي ، وروبرت تيبشيراني ، وجيروم فريدمان. عناصر التعلم الإحصائي . نيويورك: سبرينغر، 2001. ISBN 0-387-95284-5( انظر الفصل 6.)
  • كي لي وجيفري إس. راسين. الاقتصاد القياسي غير البارامتري: النظرية والتطبيق . مطبعة جامعة برينستون، 2007، رقم ISBN 0-691-12161-3( انظر الفصل 1.)
  • دي دبليو سكوت. تقدير الكثافة متعددة المتغيرات. النظرية والتطبيق والتصور . نيويورك: وايلي، 1992.
  • ب. و. سيلفرمان . تقدير الكثافة . لندن: تشابمان وهول، 1986. ISBN 978-0-412-24620-3