تقدير الكثافة الطيفية

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 55 صور
الموسوعة الحرة

في معالجة الإشارات الإحصائية ، يهدف تقدير الكثافة الطيفية ( SDE )، أو ببساطة التقدير الطيفي ، إلى تقدير الكثافة الطيفية (المعروفة أيضًا بكثافة القدرة الطيفية ) لإشارة ما من خلال سلسلة من عينات الإشارة الزمنية. [ 1 ] وبشكل مبسط، تُحدد الكثافة الطيفية محتوى التردد للإشارة. ومن أغراض تقدير الكثافة الطيفية الكشف عن أي دورات في البيانات، وذلك بملاحظة القمم عند الترددات الموافقة لهذه الدورات.

تفترض بعض تقنيات تقدير الطيف العشوائي أن الإشارة تتكون من عدد محدود (عادةً ما يكون صغيرًا) من الترددات المولدة بالإضافة إلى الضوضاء، وتسعى إلى تحديد موقع وشدة هذه الترددات. بينما لا تفترض تقنيات أخرى أي شيء بخصوص عدد المكونات، وتسعى إلى تقدير الطيف المولد بأكمله.

ملخص

مثال على شكل موجة صوتية وطيف ترددها
شكل موجي دوري ( موجة مثلثية ) وطيف تردده، يظهر ترددًا "أساسيًا" عند 220 هرتز متبوعًا بمضاعفات (توافقيات) 220 هرتز
يتم تقدير كثافة القدرة الطيفية لجزء من الموسيقى بطريقتين مختلفتين، وذلك للمقارنة.

تحليل الطيف ، المعروف أيضًا بتحليل مجال التردد أو تقدير الكثافة الطيفية، هو عملية تقنية لتفكيك إشارة معقدة إلى أجزاء أبسط. وكما ذُكر سابقًا، فإن العديد من العمليات الفيزيائية تُوصف على نحو أفضل بأنها مجموع مكونات ترددية فردية متعددة. أي عملية تُحدد كميات مختلفة (مثل السعات، والقدرات، والشدة) مقابل التردد (أو الطور ) يُمكن تسميتها بتحليل الطيف .

يمكن إجراء تحليل الطيف على الإشارة بأكملها. أو بدلاً من ذلك، يمكن تقسيم الإشارة إلى أجزاء قصيرة (تُسمى أحيانًا إطارات )، ويمكن تطبيق تحليل الطيف على هذه الأجزاء الفردية. الدوال الدورية (مثلالخطيئة⁡(ت){\displaystyle \sin(t)}تُعدّ هذه الأساليب مناسبةً بشكلٍ خاص لهذا التقسيم الفرعي. تندرج التقنيات الرياضية العامة لتحليل الدوال غير الدورية ضمن فئة تحليل فورييه .

يُنتج تحويل فورييه لدالة ما طيفًا تردديًا يحتوي على جميع معلومات الإشارة الأصلية، ولكن بصيغة مختلفة. هذا يعني أنه يمكن إعادة بناء الدالة الأصلية بالكامل ( توليفها ) باستخدام تحويل فورييه العكسي . وللحصول على إعادة بناء مثالية، يجب أن يحافظ محلل الطيف على كلٍ من سعة وطور كل مُكوِّن ترددي. يمكن تمثيل هاتين المعلومتين كمتجه ثنائي الأبعاد، أو كعدد مُركَّب ، أو كمقدار (سعة) وطور في إحداثيات قطبية (أي كمتجه طوري ). من التقنيات الشائعة في معالجة الإشارات النظر إلى مربع السعة، أو القدرة ؛ وفي هذه الحالة، يُشار إلى الرسم البياني الناتج باسم طيف القدرة .

بسبب خاصية الانعكاس، يُطلق على تحويل فورييه اسم تمثيل الدالة بدلالة التردد بدلاً من الزمن؛ لذا فهو تمثيل في مجال التردد . العمليات الخطية التي يمكن إجراؤها في مجال الزمن لها نظائر يمكن إجراؤها بسهولة أكبر في مجال التردد. كما يُسهّل تحليل التردد فهم وتفسير تأثيرات مختلف العمليات في مجال الزمن، سواءً كانت خطية أو غير خطية. على سبيل المثال، العمليات غير الخطية أو المتغيرة مع الزمن فقط هي التي تُنتج ترددات جديدة في طيف التردد.

عمليًا، تستخدم جميع البرامج والأجهزة الإلكترونية تقريبًا التي تولد أطياف التردد تحويل فورييه المنفصل (DFT)، الذي يعمل على عينات من الإشارة، ويُقدم تقريبًا رياضيًا للحل التكاملي الكامل. يُنفذ تحويل فورييه المنفصل دائمًا تقريبًا بواسطة خوارزمية فعالة تُسمى تحويل فورييه السريع (FFT). تُعد مصفوفة مُركبات مربعات المقادير في تحويل فورييه المنفصل نوعًا من طيف القدرة يُسمى مخطط الفترة ، والذي يُستخدم على نطاق واسع لدراسة خصائص التردد للدوال الخالية من الضوضاء، مثل استجابات نبضات المرشحات ودوال النوافذ . لكن مخطط الفترة لا يُحقق أي تحسن في المعالجة عند تطبيقه على إشارات شبيهة بالضوضاء أو حتى على موجات جيبية بنسب إشارة إلى ضوضاء منخفضة . بعبارة أخرى، لا يقل تباين تقديره الطيفي عند تردد معين مع زيادة عدد العينات المستخدمة في الحساب. يُمكن التخفيف من ذلك عن طريق حساب المتوسط ​​الزمني ( طريقة ويلش [ 2 ] )  أو المتوسط ​​الترددي ( التنعيم ). تُستخدم طريقة ويلش على نطاق واسع لتقدير الكثافة الطيفية (SDE). مع ذلك، تُدخل التقنيات القائمة على مخططات الفترة تحيزات طفيفة غير مقبولة في بعض التطبيقات. لذا، سيتم عرض بدائل أخرى في القسم التالي.

التقنيات

طُوِّرت العديد من التقنيات الأخرى لتقدير الطيف للتخفيف من عيوب مخطط الفترة الأساسي. ويمكن تقسيم هذه التقنيات عمومًا إلى طرق غير بارامترية ، وطرق بارامترية ، ومؤخرًا طرق شبه بارامترية (تُسمى أيضًا الطرق المتفرقة). [ 3 ] تُقدِّر الطرق غير البارامترية صراحةً التباين أو طيف العملية دون افتراض أن للعملية بنيةً محددة. بعض أكثر المُقدِّرات شيوعًا في التطبيقات الأساسية (مثل طريقة ويلش ) هي مُقدِّرات غير بارامترية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمخطط الفترة. في المقابل، تفترض الطرق البارامترية أن للعملية العشوائية الثابتة الأساسية بنيةً معينة يمكن وصفها باستخدام عدد قليل من المعلمات (على سبيل المثال، باستخدام نموذج الانحدار الذاتي أو نموذج المتوسط ​​المتحرك ). في هذه الطرق، تتمثل المهمة في تقدير معلمات النموذج الذي يصف العملية العشوائية. عند استخدام الطرق شبه البارامترية، تُنمذج العملية الأساسية باستخدام إطار عمل غير بارامتري، مع افتراض إضافي بأن عدد المكونات غير الصفرية في النموذج صغير (أي أن النموذج متفرق). ويمكن استخدام مناهج مماثلة لاستعادة البيانات المفقودة [ 4 ] وكذلك لإعادة بناء الإشارة .

فيما يلي قائمة جزئية بتقنيات تقدير الكثافة الطيفية:

التقدير البارامتري

في التقدير الطيفي البارامتري، يفترض المرء أن الإشارة يتم نمذجتها بواسطة عملية ثابتة لها دالة كثافة طيفية (SDF).S(و؛أ1،...،أص){\displaystyle S(f;a_{1},\ldots ,a_{p})}هذا يعتمد على الترددو{\displaystyle f}وص{\displaystyle p}حدودأ1،...،أص{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{p}}[ 8 ] تصبح مشكلة التقدير عندئذٍ مشكلة تقدير هذه المعلمات .

يستخدم الشكل الأكثر شيوعًا لتقدير SDF البارامتري نموذج الانحدار الذاتي كنموذجالواقع المعزز(ص){\displaystyle {\text{AR}}(p)}من النظامص{\displaystyle p}[ 8 ] : 392 تسلسل الإشارة{Yت}{\displaystyle \{Y_{t}\}}يخضع لمتوسط ​​صفريالواقع المعزز(ص){\displaystyle {\text{AR}}(p)} العملية تحقق المعادلة

Yت=ϕ1Yت-1+ϕ2Yت-2+⋯+ϕصYت-ص+εت،{\displaystyle Y_{t}=\phi _{1}Y_{t-1}+\phi _{2}Y_{t-2}+\cdots +\phi _{p}Y_{tp}+\varepsilon _{t},}

حيثϕ1،...،ϕص{\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{p}}هي معاملات ثابتة وεت{\displaystyle \varepsilon _{t}}هي عملية ضوضاء بيضاء ذات متوسط ​​صفري وتباين ابتكاريσص2{\displaystyle \sigma _{p}^{2}}. SDF لهذه العملية هو

S(و؛ϕ1،...،ϕص،σص2)=σص2Δت|1-∑ك=1صϕكهـ-2πأناوكΔت|2،|و|<وشمال،{\displaystyle S(f;\phi _{1},\ldots ,\phi _{p},\sigma _{p}^{2})={\frac {\sigma _{p}^{2}\Delta t}{\left|1-\sum _{k=1}^{p}\phi _{k}e^{-2\pi ifk\Delta t}\right|^{2}}},\qquad |f|<f_{N},}

معΔت{\displaystyle \Delta t}الفترة الزمنية لأخذ العينات ووشمال{\displaystyle f_{N}}تردد نايكويست .

توجد عدة طرق لتقدير المعلماتϕ1،...،ϕص،σص2{\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{p},\sigma _{p}^{2}}التابعالواقع المعزز(ص){\displaystyle {\text{AR}}(p)}العملية وبالتالي الكثافة الطيفية: [ 8 ] : 452-453

  • يتم إيجاد مُقدِّرات يول -ووكر عن طريق حل معادلات يول-ووكر بشكل متكرر لـالواقع المعزز(ص){\displaystyle {\text{AR}}(p)}عملية
  • تُحسب مُقدِّرات بورغ بمعالجة معادلات يول-ووكر كشكل من أشكال مسائل المربعات الصغرى العادية. وتُعتبر مُقدِّرات بورغ عمومًا أفضل من مُقدِّرات يول-ووكر. [ 8 ] : 452 وقد ربط بورغ هذه المُقدِّرات بتقدير الطيف ذي الإنتروبيا القصوى . [ 9 ]
  • تُعامل مُقدِّرات المربعات الصغرى الأمامية والخلفية على النحو التالي:الواقع المعزز(ص){\displaystyle {\text{AR}}(p)}تُعالج هذه الطريقة كمسألة انحدار، وتُحل باستخدام طريقة التقديم والتراجع. وهي تُنافس مُقدِّرات بورغ.
  • تُقدّر مُقدِّرات الاحتمال الأقصى المعلمات باستخدام أسلوب الاحتمال الأقصى . يتضمن هذا الأسلوب تحسينًا غير خطي، وهو أكثر تعقيدًا من الأساليب الثلاثة الأولى.

تشمل الطرق البارامترية البديلة التوفيق مع نموذج المتوسط ​​المتحرك (MA) ومع نموذج المتوسط ​​المتحرك التلقائي الكامل (ARMA).

تقدير التردد

تقدير التردد هو عملية تقدير تردد الإشارة وسعتها وإزاحة طورها في وجود الضوضاء، مع افتراضات مسبقة حول عدد مكوناتها. [ 10 ] وهذا يختلف عن الطرق العامة المذكورة أعلاه، والتي لا تفترض أي افتراضات مسبقة حول المكونات.

نغمة واحدة

إذا أراد المرء فقط تقدير تردد أعلى إشارة نغمة نقية واحدة ، فيمكنه استخدام خوارزمية كشف درجة الصوت .

إذا تغير التردد السائد بمرور الوقت، فإن المشكلة تصبح تقدير التردد اللحظي كما هو محدد في تمثيل الزمن-التردد . تشمل طرق تقدير التردد اللحظي تلك القائمة على توزيع ويغنر-فيل ودوال الغموض من الرتبة العليا . [ 11 ]

إذا أراد المرء معرفة جميع مكونات التردد (التي قد تكون معقدة) للإشارة المستقبلة (بما في ذلك الإشارة المرسلة والضوضاء)، فإنه يستخدم نهج النغمات المتعددة.

نغمات متعددة

نموذج نموذجي للإشارةx(ن){\displaystyle x(n)}يتكون من مجموعص{\displaystyle p}الدوال الأسية المركبة في وجود الضوضاء البيضاء ،w(ن){\displaystyle w(n)}

x(ن)=∑ك=1صأكهـأنانωك+w(ن){\displaystyle x(n)=\sum _{k=1}^{p}A_{k}e^{in\omega _{k}}+w(n)}.

كثافة القدرة الطيفية لـx(ن){\displaystyle x(n)}يتكون منص{\displaystyle p}وظائف النبض بالإضافة إلى وظيفة الكثافة الطيفية الناتجة عن الضوضاء.

تتضمن أكثر طرق تقدير التردد شيوعًا تحديد فضاء الضوضاء الفرعي لاستخراج مكوناته. وتعتمد هذه الطرق على تحليل القيم الذاتية لمصفوفة الارتباط الذاتي إلى فضاء إشارة فرعي وفضاء ضوضاء فرعي. بعد تحديد هذين الفضاءين الفرعيين، تُستخدم دالة تقدير التردد لإيجاد ترددات المكونات من فضاء الضوضاء الفرعي. ومن أشهر طرق تقدير التردد القائمة على فضاء الضوضاء الفرعي: طريقة بيسارينكو ، وطريقة تصنيف الإشارات المتعددة (MUSIC)، وطريقة المتجهات الذاتية، وطريقة المعيار الأدنى.

طريقة بيسارينكو
P^دكتوراه(هـجω)=1|هـحvمين|2{\displaystyle {\hat {P}}_{\text{PHD}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{\text{min}}\right|^{2}}}}
موسيقى
P^MU(هـجω)=1∑أنا=ص+1م|هـحvأنا|2{\displaystyle {\hat {P}}_{\text{MU}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}\right|^{2}}}}
طريقة المتجهات الذاتية
P^سيارة كهربائية(هـجω)=1∑أنا=ص+1م1λأنا|هـحvأنا|2{\displaystyle {\hat {P}}_{\text{EV}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}{\frac {1}{\lambda _{i}}}\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}\right|^{2}}}}
طريقة الحد الأدنى للمعايير
P^مينيسوتا(هـجω)=1|هـحأ|2؛ أ=λPنu1{\displaystyle {\hat {P}}_{\text{MN}}\left(e^{j\omega }\right)={\frac {1}{\left|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {a} \right|^{2}}};\ \mathbf {a} =\lambda \mathbf {P} _{n}\mathbf {u} _{1}}

مثال على الحساب

يفترضxن{\displaystyle x_{n}}، منن=0{\displaystyle n=0}لشمال-1{\displaystyle N-1}هي سلسلة زمنية (زمن منفصل) بمتوسط ​​صفري. لنفترض أنها مجموع عدد محدود من المكونات الدورية (جميع الترددات موجبة):

xن=∑كأكالخطيئة⁡(2πνكن+ϕك)=∑كأك[الخطيئة⁡(ϕك)كوس⁡(2πνكن)+كوس⁡(ϕك)الخطيئة⁡(2πνكن)]=∑ك[أككوس⁡(2πνكن)+بكالخطيئة⁡(2πνكن)]{\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=\sum _{k}A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}n+\phi _{k})\\&=\sum _{k}A_{k}\left[\sin(\phi _{k})\cos(2\pi \nu _{k}n)+\cos(\phi _{k})\sin(2\pi \nu _{k}n)\right]\\&=\sum _{k}\left[a_{k}\cos(2\pi \nu _{k}n)+b_{k}\sin(2\pi \nu _{k}n)\right]\end{aligned}}} أين أك=أكالخطيئة⁡(ϕك)،بك=أككوس⁡(ϕك).{\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=A_{k}\sin(\phi _{k}),&b_{k}&=A_{k}\cos(\phi _{k}).\end{aligned}}}

تباينxن{\displaystyle x_{n}}بالنسبة لدالة ذات متوسط ​​صفري كما سبق، تُعطى بالصيغة التالية:

1شمال∑ن=0شمال-1xن2.{\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.}

إذا كانت هذه البيانات عبارة عن عينات مأخوذة من إشارة كهربائية، فسيكون هذا متوسط ​​قدرتها (الطاقة هي الطاقة لكل وحدة زمنية، لذا فهي مماثلة للتباين إذا كانت الطاقة مماثلة لمربع السعة).

والآن، ولتبسيط الأمور، لنفترض أن الإشارة تمتد إلى ما لا نهاية في الزمن، لذلك ننتقل إلى النهاية عندماشمال→∞.{\displaystyle N\to \infty .}إذا كانت القدرة المتوسطة محدودة، وهو ما يحدث دائمًا تقريبًا في الواقع، فإن الحد التالي موجود وهو تباين البيانات.

ليمشمال→∞1شمال∑ن=0شمال-1xن2.{\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}^{2}.}

ومرة أخرى، ولتبسيط الأمور، سننتقل إلى الزمن المستمر، ونفترض أن الإشارة تمتد إلى ما لا نهاية في الزمن في كلا الاتجاهين. عندئذٍ تصبح هاتان المعادلتان كما يلي:

x(ت)=∑كأكالخطيئة⁡(2πνكت+ϕك){\displaystyle x(t)=\sum _{k}A_{k}\sin \left(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k}\right)}

و

ليمتي→∞12تي∫-تيتيx(ت)2دت.{\displaystyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)^{2}\,dt.}

الجذر التربيعي المتوسط ​​لـالخطيئة{\displaystyle \sin }يكون1/2{\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}لذا فإن تباينأكالخطيئة⁡(2πνكت+ϕك){\displaystyle A_{k}\sin(2\pi \nu _{k}t+\phi _{k})}يكون12أك2.{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.}وبالتالي، فإن مساهمة القدرة المتوسطة لـx(ت){\displaystyle x(t)}قادمة من المكون ذي الترددνك{\displaystyle \nu _{k}}يكون12أك2.{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2}.}تُساهم كل هذه المساهمات في تكوين متوسط ​​قوةx(ت).{\displaystyle x(t).}

إذن، القدرة كدالة للتردد هي12أك2،{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}A_{k}^{2},}ودالة التوزيع التراكمي الإحصائي الخاصة بهاS(ν){\displaystyle S(\nu )}سيكون

S(ν)=12∑ك:νك<νأك2.{\displaystyle S(\nu )={\frac {1}{2}}\sum _{k:\nu _{k}<\nu }A_{k}^{2}.}

S{\displaystyle S}هي دالة متدرجة ، غير متناقصة بشكل رتيب. تحدث قفزاتها عند ترددات المكونات الدورية لـx{\displaystyle x}، وقيمة كل قفزة هي قوة أو تباين ذلك المكون.

التباين هو التغاير بين البيانات ونفسها. إذا نظرنا الآن إلى البيانات نفسها ولكن مع تأخير زمني قدرهτ{\displaystyle \tau }، يمكننا أخذ التباين المشترك لـx(ت){\displaystyle x(t)}معx(ت+τ){\displaystyle x(t+\tau )}ونعرّف هذا بأنه دالة الارتباط الذاتيج{\displaystyle c}من الإشارة (أو البيانات)x{\displaystyle x}:

ج(τ)=ليمتي→∞12تي∫-تيتيx(ت)x(ت+τ)دت.{\displaystyle c(\tau )=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}x(t)\,x(t+\tau )\,dt.}

إذا وُجدت، فهي دالة زوجية لـτ.{\displaystyle \tau .}إذا كانت القدرة المتوسطة محدودة، فإنج{\displaystyle c}موجود في كل مكان، وهو محدود، ومقيد بـج(0){\displaystyle c(0)}، وهو متوسط ​​قوة أو تباين البيانات.

يمكن إثبات ذلكج{\displaystyle c}يمكن تحليلها إلى مكونات دورية لها نفس الفترات مثلx{\displaystyle x}:

ج(τ)=12∑كأك2كوس⁡(2πνكτ).{\displaystyle c(\tau )={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}A_{k}^{2}\cos(2\pi \nu _{k}\tau ).}

هذا في الواقع هو التحلل الطيفي لـج{\displaystyle c}عبر الترددات المختلفة، ويرتبط بتوزيع القدرةx{\displaystyle x}على الترددات: سعة مكون التردد لـج{\displaystyle c}وهي مساهمتها في متوسط ​​قوة الإشارة.

إن طيف القدرة في هذا المثال غير متصل، وبالتالي لا يمتلك مشتقة، ومن ثم لا يمتلك هذا الإشارة دالة كثافة طيفية للقدرة. عمومًا، يتكون طيف القدرة عادةً من جزأين: طيف خطي كما في هذا المثال، وهو غير متصل ولا يمتلك دالة كثافة، وجزء متبقٍ، وهو متصل تمامًا ويمتلك دالة كثافة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ P Stoica and R Moses, Spectral Analysis of Signals, Prentice Hall, 2005.
  2. ↑ ويلش، ب. د. (1967)، "استخدام تحويل فورييه السريع لتقدير أطياف القدرة: طريقة تعتمد على المتوسط ​​الزمني على مخططات دورية قصيرة ومعدلة"، معاملات IEEE في الصوتيات والإلكترونيات الصوتية ، AU-15 (2): 70-73 ، Bibcode : 1967ITAE...15...70W ، doi : 10.1109/TAU.1967.1161901 ، S2CID 13900622 
  3. ستويكا ، بيتري؛ بابو، برابهو؛ لي، جيان (يناير 2011). " طريقة جديدة لتقدير المعلمات المتفرقة في النماذج القابلة للفصل واستخدامها في التحليل الطيفي للبيانات المأخوذة عينات منها بشكل غير منتظم". معاملات IEEE في معالجة الإشارات . 59 (1): 35-47 . Bibcode : 2011ITSP...59...35S . doi : 10.1109/TSP.2010.2086452 . ISSN 1053-587X . S2CID 15936187 .  
  4. ↑ ستويكا، بيتري؛ لي، جيان؛ لينغ، جون؛ تشنغ، يوبو (أبريل 2009). "استعادة البيانات المفقودة عبر منهج تكيفي تكراري غير بارامتري" . المؤتمر الدولي لهندسة الصوت والكلام ومعالجة الإشارات لعام 2009. معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات. الصفحات 3369-3372 . doi : 10.1109/icassp.2009.4960347 . ISBN  978-1-4244-2353-8.
  5. ↑ سوارد، يوهان؛ أدالبجورنسون، ستيفان إنجي؛ جاكوبسون، أندرياس (مارس 2017). "تعميم للمُقدِّر التكراري المتفرق القائم على التغاير" . المؤتمر الدولي لهندسة الصوت والكلام ومعالجة الإشارات (ICASSP) لعام 2017. معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات. الصفحات 3954-3958 . doi : 10.1109/icassp.2017.7952898 . ISBN  978-1-5090-4117-6. S2CID 5640068 . 
  6. ↑ يارديبي، طارق؛ لي، جيان؛ ستويكا، بيتري؛ شو، مينغ؛ باغيروير، آرثر ب. (يناير 2010). "تحديد موقع المصدر واستشعاره: نهج تكيفي تكراري غير بارامتري قائم على المربعات الصغرى الموزونة". معاملات IEEE في أنظمة الفضاء والطيران والإلكترونيات . 46 (1): 425-443 . Bibcode : 2010ITAES..46..425Y . doi : 10.1109/TAES.2010.5417172 . hdl : 1721.1/59588 . ISSN 0018-9251 . S2CID 18834345 .  
  7. ↑ باناهي، أشكان؛ فيبرغ، ماتس (فبراير 2011). "حول دقة طريقة تقدير اتجاه الوصول القائمة على LASSO" . ورشة عمل ITG الدولية لعام 2011 حول الهوائيات الذكية . IEEE. الصفحات 1-5 . doi : 10.1109/wsa.2011.5741938 . ISBN  978-1-61284-075-8. S2CID 7013162 . 
  8. 1 2 3 4 بيرسيفال، دونالد ب.؛ والدن، أندرو ت. (1992). التحليل الطيفي للتطبيقات الفيزيائية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 9780521435413.
  9. ↑ Burg, JP (1967) "Maximum Entropy Spectral Analysis", Proceedings of the 37th Meeting of the Society of Exploration Geophysicists , Oklahoma City, Oklahoma.
  10. ↑ هايز، مونسون هـ.، معالجة الإشارات الرقمية الإحصائية والنمذجة ، جون وايلي وأولاده، 1996. ISBN 0-471-59431-8.
  11. ↑ ليرغا، جوناثان. "نظرة عامة على طرق تقدير التردد اللحظي للإشارة" (ملف PDF) . جامعة رييكا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 مارس 2014 .

للمزيد من القراءة

  • بورات، ب. (1994). المعالجة الرقمية للإشارات العشوائية: النظرية والأساليب . برنتيس هول. ISBN 978-0-13-063751-2.
  • بريستلي، إم بي (1991). التحليل الطيفي والسلاسل الزمنية . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-12-564922-3.
  • ستويكا، ب.؛ موسى، ر. (2005). التحليل الطيفي للإشارات . برنتيس هول. ISBN 978-0-13-113956-5.
  • تومسون، دي جيه (1982). "تقدير الطيف والتحليل التوافقي". وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . 70 (9): 1055-1096 . رمز Bibcode : 1982IEEEP..70.1055T . CiteSeerX 10.1.1.471.1278 . doi : 10.1109/PROC.1982.12433 . S2CID 290772 .