الرسم البياني

المدرج التكراري هو تمثيل مرئي لتوزيع البيانات الكمية. لإنشاء مدرج تكراري، تتمثل الخطوة الأولى في "تقسيم" نطاق القيم إلى فئات - أي تقسيم نطاق القيم بأكمله إلى سلسلة من الفترات - ثم حساب عدد القيم التي تقع في كل فترة. عادةً ما تُحدد الفئات كفترات متتالية غير متداخلة لمتغير ما. الفئات (الفترات) متجاورة، وعادةً ما تكون متساوية الحجم (ولكن ليس شرطًا). ^{[ 1 ]}

تُعطي المدرجات التكرارية فكرةً تقريبيةً عن كثافة التوزيع الأساسي للبيانات، وغالبًا ما تُستخدم لتقدير الكثافة : أي تقدير دالة كثافة الاحتمال للمتغير الأساسي. تُقسّم المساحة الكلية للمدرج التكراري المستخدم لكثافة الاحتمال دائمًا إلى 1. إذا كان طول الفترات على المحور السيني يساوي 1، فإن المدرج التكراري يُصبح مطابقًا لمخطط التكرار النسبي .

يُخلط أحيانًا بين المدرجات التكرارية والرسوم البيانية الشريطية . في المدرج التكراري، يُمثل كل خانة نطاقًا مختلفًا من القيم، وبالتالي يُوضح المدرج التكراري توزيع القيم. أما في الرسم البياني الشريطي، فيُمثل كل شريط فئة مختلفة من الملاحظات (على سبيل المثال، قد يُمثل كل شريط مجموعة سكانية مختلفة)، وبالتالي يُمكن استخدام الرسم البياني الشريطي لمقارنة فئات مختلفة. يوصي بعض الباحثين بوجود فجوات بين الأشرطة في الرسوم البيانية الشريطية لتوضيح أنها ليست مدرجات تكرارية. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

استُخدم مصطلح "المدرج التكراري" لأول مرة من قِبل كارل بيرسون ، مؤسس الإحصاء الرياضي ، في محاضرات ألقاها عام ١٨٩٢ في جامعة لندن . يُقال أحيانًا، خطأً، إن مصطلح بيرسون يجمع بين الجذر اليوناني γραμμα ( غراما ؛ بمعنى "شكل" أو "رسم") والجذر ἱστορία (هيستوريا؛ بمعنى "بحث" أو "تاريخ"). ويُقترح أيضًا الجذر ἱστίον ( هيستيون )، بمعنى "شبكة" أو "نسيج" (كما في علم الأنسجة ، وهو دراسة الأنسجة البيولوجية). كلا هذين التفسيرين غير صحيحين، وفي الواقع، اشتق بيرسون، الذي كان مُلِمًّا باللغة اليونانية القديمة ، المصطلح من جذر يوناني آخر، وإن كان مُتجانسًا صوتيًا ، وهو ἱστός (بمعنى "شيء منتصب" أو "صاري")، في إشارة إلى الأعمدة الرأسية في الرسم البياني. تم تضمين مصطلح بيرسون الجديد في سلسلة من المصطلحات الجديدة المماثلة الأخرى ، مثل stigmogram و radiogram . ^{[ 4 ]}

أشار بيرسون نفسه في عام 1895 إلى أنه على الرغم من حداثة مصطلح المدرج التكراري ، فإن نوع الرسم البياني الذي يشير إليه كان "شكلاً شائعاً من أشكال التمثيل البياني". ^{[ 5 ]} في الواقع، ابتكر الاقتصادي الاسكتلندي ويليام بلايفير تقنية استخدام الرسم البياني الشريطي لتمثيل القياسات الإحصائية في أطلسه التجاري والسياسي (1786). ^{[ 4 ]}

هذه هي بيانات الرسم البياني الموجود على اليمين، باستخدام 500 عنصر:

الكلمات المستخدمة لوصف الأنماط في الرسم البياني هي: "متماثل"، "ملتوٍ لليسار" أو "لليمين"، "أحادي النمط"، "ثنائي النمط" أو "متعدد الأنماط".

• 
  متناظر، أحادي النمط
• 
  منحرف إلى اليمين
• 
  منحرف لليسار
• 
  ثنائي النمط
• 
  متعدد الوسائط
• 
  متماثل

من المستحسن رسم البيانات باستخدام عدة فئات عرض مختلفة لفهمها بشكل أفضل. إليك مثال على الإكراميات المقدمة في المطاعم.

• 
  نصائح باستخدام عرض صندوق بقيمة دولار واحد، منحرفة إلى اليمين، أحادية النمط
• 
  نصائح باستخدام عرض فئة 10 سنتات، لا تزال البيانات منحرفة نحو اليمين، متعددة الأنماط مع أنماط عند مبالغ الدولار و50 سنتًا، مما يشير إلى التقريب، بالإضافة إلى وجود بعض القيم الشاذة.

وجد مكتب الإحصاء الأمريكي أن هناك 124 مليون شخص يعملون خارج منازلهم. ^{[ 6 ]} وباستخدام بياناتهم حول الوقت المستغرق في التنقل إلى العمل، يُظهر الجدول أدناه أن العدد المطلق للأشخاص الذين أجابوا بأن أوقات تنقلهم "30 دقيقة على الأقل ولكن أقل من 35 دقيقة" أعلى من أعداد الفئات الأعلى والأدنى منها. ويرجع ذلك على الأرجح إلى تقريب الأشخاص لأوقات رحلاتهم المُبلغ عنها. وتُعد مشكلة الإبلاغ عن القيم كأرقام مُقربة بشكل تعسفي ظاهرة شائعة عند جمع البيانات من الأفراد. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

البيانات بالأرقام المطلقة

فاصلة	عرض	كمية	الكمية/العرض
0	5	4180	836
5	5	13687	2737
10	5	18618	3723
15	5	19634	3926
20	5	17981	3596
25	5	7190	1438
30	5	16369	3273
35	5	3212	642
40	5	4122	824
45	15	9200	613
60	30	6461	215
90	60	3435	57

يُظهر هذا المدرج التكراري عدد الحالات لكل وحدة زمنية كارتفاع لكل مربع، بحيث تكون مساحة كل مربع مساوية لعدد الأشخاص في الاستطلاع الذين يندرجون ضمن فئته. تمثل المساحة أسفل المنحنى إجمالي عدد الحالات (124 مليون). يُظهر هذا النوع من المدرجات التكرارية أعدادًا مطلقة، حيث يُمثل Q عدد الحالات بالآلاف.

البيانات حسب النسبة

فاصلة	عرض	الكمية (Q)	Q/الإجمالي/العرض
0	5	4180	0.0067
5	5	13687	0.0221
10	5	18618	0.0300
15	5	19634	0.0316
20	5	17981	0.0290
25	5	7190	0.0116
30	5	16369	0.0264
35	5	3212	0.0052
40	5	4122	0.0066
45	15	9200	0.0049
60	30	6461	0.0017
90	60	3435	0.0005

يختلف هذا المدرج التكراري عن الأول فقط في المقياس الرأسي . تمثل مساحة كل مربع نسبة من المجموع الكلي الذي تمثله كل فئة، وتساوي المساحة الكلية لجميع الأعمدة 1 (النسبة تعني "الكل"). المنحنى المعروض هو تقدير بسيط للكثافة . يوضح هذا الإصدار النسب، ويُعرف أيضًا باسم المدرج التكراري لوحدة المساحة.

بمعنى آخر، يُمثل المدرج التكراري توزيع التكرارات باستخدام مستطيلات، حيث يُمثل عرض كل مستطيل فئات البيانات، وتتناسب مساحته مع التكرارات المقابلة، بينما يُمثل ارتفاع كل مستطيل متوسط ​​كثافة التكرار لتلك الفئة. تُوضع الفئات معًا لإظهار أن البيانات التي يُمثلها المدرج التكراري، على الرغم من كونها فئات منفصلة، ​​إلا أنها متصلة أيضًا. (على سبيل المثال، في المدرج التكراري، من الممكن وجود فئتين متصلتين هما 10.5–20.5 و20.5–33.5، ولكن لا يمكن وجود فئتين متصلتين هما 10.5–20.5 و22.5–32.5. تُمثل الفئات الفارغة بفراغ ولا يتم تخطيها.) ^{[ 10 ]}

تُولَّد البيانات المستخدمة لإنشاء المدرج التكراري عبر دالة m _{_i} التي تحسب عدد المشاهدات التي تقع ضمن كل فئة من الفئات المنفصلة (المعروفة باسم الخانات ). وبالتالي، إذا افترضنا أن n هو العدد الإجمالي للمشاهدات و k هو العدد الإجمالي للخانات، فإن بيانات المدرج التكراري m _{_i} تحقق الشروط التالية:

${\displaystyle n=\sum _{i=1}^{k}{m_{i}}.}$

يمكن اعتبار المدرج التكراري بمثابة تقدير مبسط لكثافة النواة ، حيث يستخدم نواة لتنعيم التكرارات عبر الفئات. ينتج عن ذلك دالة كثافة احتمالية أكثر سلاسة ، والتي تعكس عمومًا توزيع المتغير الأساسي بدقة أكبر. يمكن رسم تقدير الكثافة كبديل للمدرج التكراري، وعادةً ما يُرسم كمنحنى بدلًا من مجموعة مربعات. مع ذلك، يُفضل استخدام المدرجات التكرارية في التطبيقات التي تتطلب نمذجة خصائصها الإحصائية. يصعب وصف التباين المرتبط لتقدير كثافة النواة رياضيًا، بينما يكون الأمر بسيطًا بالنسبة للمدرج التكراري حيث تتغير كل فئة بشكل مستقل.

يُعد متوسط ​​المدرج التكراري المزاح بديلاً لتقدير كثافة النواة، ^{[ 11 ]} وهو سريع الحساب ويعطي تقديرًا سلسًا لمنحنى الكثافة دون استخدام النوى.

عدد الصناديق وعرضها

لا يوجد عدد "أمثل" للفئات، ويمكن لأحجام الفئات المختلفة أن تكشف عن خصائص مختلفة للبيانات. يعود تاريخ تجميع البيانات إلى أعمال جرانت في القرن السابع عشر على الأقل، ولكن لم تُقدّم أي إرشادات منهجية ^{[ 12 ]} حتى أعمال ستورجيس في عام 1926. ^{[ 13 ]}

يُقلل استخدام فئات أوسع في المناطق ذات الكثافة المنخفضة لنقاط البيانات الأساسية من التشويش الناتج عن عشوائية أخذ العينات؛ بينما يُعطي استخدام فئات أضيق في المناطق ذات الكثافة العالية (بحيث تُطغى الإشارة على التشويش) دقةً أكبر في تقدير الكثافة. لذا، يُمكن أن يكون تغيير عرض الفئة في المدرج التكراري مفيدًا. ومع ذلك، تُستخدم الفئات متساوية العرض على نطاق واسع.

حاول بعض المنظرين تحديد العدد الأمثل للفئات، لكن هذه الطرق تفترض عمومًا افتراضات قوية حول شكل التوزيع. وبناءً على توزيع البيانات الفعلي وأهداف التحليل، قد تكون عروض الفئات المختلفة مناسبة، لذا عادةً ما تكون التجربة ضرورية لتحديد العرض المناسب. ومع ذلك، توجد العديد من الإرشادات والقواعد العامة المفيدة. ^{[ 14 ]}

يمكن تحديد عدد الخانات k بشكل مباشر أو يمكن حسابه من عرض الخانة المقترح h على النحو التالي: 

${\displaystyle k=\left\lceil {\frac {\max x-\min x}{h}}\right\rceil .}$

تشير الأقواس إلى دالة السقف .

اختيار الجذر التربيعي

${\displaystyle k=\lceil {\sqrt {n}}\rceil \,}$

وهي تأخذ الجذر التربيعي لعدد نقاط البيانات في العينة وتقربه إلى أقرب عدد صحيح . وقد اقترحت هذه القاعدة عدد من كتب الإحصاء الأساسية ^{[ 15 ]} ويتم تطبيقها على نطاق واسع في العديد من حزم البرامج. ^{[ 16 ]}

صيغة ستورجيس

قاعدة ستورجيس ^{[ 13 ]} مشتقة من التوزيع ذي الحدين وتفترض ضمنيًا توزيعًا طبيعيًا تقريبًا.

${\displaystyle k=\lceil \log _{2}n\rceil +1,\,}$

تعتمد صيغة ستورجيس ضمنيًا على نطاق البيانات لتحديد أحجام الفئات، وقد يكون أداؤها ضعيفًا إذا كان حجم العينة (n)  أقل من  30 ، لأن عدد الفئات سيكون صغيرًا - أقل من سبع - ومن غير المرجح أن يُظهر اتجاهات البيانات بشكل جيد. في المقابل، قد تُبالغ صيغة ستورجيس في تقدير عرض الفئات لمجموعات البيانات الكبيرة جدًا، مما يؤدي إلى رسوم بيانية مُفرطة التنعيم. ^{[ 17 ]} وقد يكون أداؤها ضعيفًا أيضًا إذا لم تكن البيانات موزعة توزيعًا طبيعيًا.

عند مقارنتها بقاعدة سكوت وقاعدة تيريل-سكوت، وهما صيغتان أخريان مقبولتان على نطاق واسع لفئات المدرج التكراري، فإن ناتج صيغة ستورجيس يكون الأقرب عندما n ≈ 100. ^{[ 17 ]}

قاعدة الأرز

${\displaystyle k=\lceil 2{\sqrt[{3}]{n}}\rceil }$

يتم تقديم قاعدة رايس ^{[ 18 ]} كبديل بسيط لقاعدة ستورجيس.

صيغة دوان

صيغة دوان ^{[ 19 ]} هي تعديل لصيغة ستورجيس التي تحاول تحسين أدائها مع البيانات غير الطبيعية.

${\displaystyle k=1+\log _{2}(n)+\log _{2}\left(1+{\frac {|g_{1}|}{\sigma _{g_{1}}}}\right)}$

أين${\displaystyle g_{1}}$يمثل معامل الالتواء المقدر للعزم الثالث للتوزيع و

${\displaystyle \sigma _{g_{1}}={\sqrt {\frac {6(n-2)}{(n+1)(n+3)}}}}$

قاعدة سكوت المرجعية العادية

عرض الحاوية${\displaystyle h}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle h={\frac {3.49{\hat {\sigma }}}{\sqrt[{3}]{n}}},}$

أين${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$يمثل الانحراف المعياري للعينة . تُعد قاعدة سكوت المرجعية الطبيعية ^{[ 20 ]} مثالية للعينات العشوائية من البيانات الموزعة توزيعًا طبيعيًا، بمعنى أنها تُقلل من متوسط ​​مربع الخطأ المتكامل لتقدير الكثافة. ^{[ 12 ]} هذه هي القاعدة الافتراضية المستخدمة في برنامج مايكروسوفت إكسل. ^{[ 21 ]}

قاعدة تيريل-سكوت

${\displaystyle k={\sqrt[{3}]{2n}}}$

قاعدة تيريل-سكوت ^{[ 17 ] [ 22 ]} ليست قاعدة مرجعية عادية. فهي تُحدد الحد الأدنى لعدد الفئات المطلوبة للحصول على مدرج تكراري أمثل تقاربياً، حيث تُقاس الأمثلية بمتوسط ​​مربع الخطأ المتكامل. ويُستنتج هذا الحد من خلال إيجاد الكثافة "الأكثر سلاسة" الممكنة، والتي تبيّن أنها${\displaystyle {\frac {3}{4}}(1-x^{2})}$أي كثافة أخرى ستتطلب عددًا أكبر من الفئات، ولذلك يُشار إلى التقدير المذكور أعلاه أيضًا باسم قاعدة "التنعيم المفرط". يشير تشابه الصيغ وحقيقة أن تيريل وسكوت كانا في جامعة رايس عندما اقترحاها إلى أن هذا هو أيضًا أصل قاعدة رايس.

قاعدة فريدمان-دياكونيس

تحدد قاعدة فريدمان -دياكونيس عرض الفئة${\displaystyle h}$كما يلي: ^{[ 23 ] [ 12 ]}

${\displaystyle h=2{\frac {\operatorname {IQR} (x)}{\sqrt[{3}]{n}}},}$

وهو يعتمد على المدى الربيعي ، ويرمز له بـ IQR. ويستبدل 3.5σ من قاعدة سكوت بـ 2 IQR، وهو أقل حساسية من الانحراف المعياري للقيم المتطرفة في البيانات.

تقليل الخطأ التربيعي المقدر للتحقق المتبادل

يمكن تعميم هذا النهج لتقليل متوسط ​​الخطأ التربيعي المتكامل من قاعدة سكوت إلى ما هو أبعد من التوزيعات الطبيعية، باستخدام التحقق المتقاطع "ترك واحد خارجًا": ^{[ 24 ] [ 25 ]}

${\displaystyle {\underset {h}{\operatorname {arg\,min} }}{\hat {J}}(h)={\underset {h}{\operatorname {arg\,min} }}\left({\frac {2}{(n-1)h}}-{\frac {n+1}{n^{2}(n-1)h}}\sum _{k}N_{k}^{2}\right)}$

هنا،${\displaystyle N_{k}}$يمثل عدد نقاط البيانات في الخانة k ، واختيار قيمة h التي تقلل من J سيؤدي إلى تقليل متوسط ​​الخطأ التربيعي المتكامل.

اختيار شيمازاكي وشينوموتو

يعتمد الاختيار على تقليل دالة المخاطر المقدرة L ^{2 [ 26 ]}

${\displaystyle {\underset {h}{\operatorname {arg\,min} }}{\frac {2{\bar {m}}-v}{h^{2}}}}$

أين${\displaystyle \textstyle {\bar {m}}}$و${\displaystyle \textstyle v}$المتوسط ​​والتباين المتحيز لمدرج تكراري ذي عرض خانة${\displaystyle \textstyle h}$،${\displaystyle \textstyle {\bar {m}}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}m_{i}}$و${\displaystyle \textstyle v={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}(m_{i}-{\bar {m}})^{2}}$.

عرض الفئات المتغير

بدلاً من اختيار فئات متباعدة بانتظام، يُفضّل في بعض التطبيقات تغيير عرض الفئة. هذا يجنّب الفئات ذات الأعداد المنخفضة. ومن الحالات الشائعة اختيار فئات متساوية الاحتمالية ، حيث يُتوقع أن يكون عدد العينات في كل فئة متساوياً تقريباً. يمكن اختيار الفئات وفقاً لتوزيع معروف أو بناءً على البيانات بحيث تحتوي كل فئة على${\displaystyle \approx n/k}$العينات. عند رسم المدرج التكراري، تُستخدم كثافة التكرار للمحور التابع. وبينما تتساوى مساحة جميع الفئات تقريبًا، فإن ارتفاعات المدرج التكراري تُقارب توزيع الكثافة.

بالنسبة للصناديق ذات الاحتمالات المتساوية، يُقترح اتباع القاعدة التالية لعدد الصناديق: ^{[ 27 ]}

${\displaystyle k=2n^{2/5}}$

يستند اختيار هذه الفئات إلى تعظيم قوة اختبار مربع كاي لبيرسون الذي يختبر ما إذا كانت الفئات تحتوي على أعداد متساوية من العينات. وبشكل أكثر تحديدًا، بالنسبة لفترة ثقة معينة${\displaystyle \alpha }$يوصى بالاختيار بين 1/2 و 1 ضعف المعادلة التالية: ^{[ 28 ]}

${\displaystyle k=4\left({\frac {2n^{2}}{\Phi ^{-1}(\alpha )}}\right)^{\frac {1}{5}}}$

أين${\displaystyle \Phi ^{-1}}$هي دالة بروبيت . باتباع هذه القاعدة لـ${\displaystyle \alpha =0.05}$سيعطي بين${\displaystyle 1.88n^{2/5}}$و${\displaystyle 3.77n^{2/5}}$تم اختيار المعامل 2 كقيمة يسهل تذكرها من هذه القيمة المثلى الواسعة.

ملاحظة

أحد الأسباب الوجيهة التي تدعو إلى أن يكون عدد الصناديق متناسبًا مع${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}}$وهو ما يلي: لنفترض أن البيانات تم الحصول عليها على النحو التالي${\displaystyle n}$تحققات مستقلة لتوزيع احتمالي محدود ذي كثافة سلسة. عندئذٍ يظل المدرج التكراري "وعرًا" بنفس القدر.${\displaystyle n}$يميل إلى اللانهاية. إذا${\displaystyle s}$إذا كان "عرض" التوزيع (مثل الانحراف المعياري أو المدى الربيعي)، فإن عدد الوحدات في فئة (التكرار) يكون من رتبة${\displaystyle nh/s}$والخطأ المعياري النسبي من رتبة${\displaystyle {\sqrt {s/(nh)}}}$بالمقارنة مع الفئة التالية، يكون التغير النسبي في التردد من رتبة${\displaystyle h/s}$بشرط أن تكون مشتقة الكثافة غير صفرية. هاتان المعادلتان من نفس الرتبة إذا${\displaystyle h}$النظام${\displaystyle s/{\sqrt[{3}]{n}}}$، لهذا السبب${\displaystyle k}$النظام${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}}$. يمكن أيضًا تطبيق هذا الخيار البسيط للجذر التكعيبي على الفئات ذات العرض غير الثابت.

• في علم المياه، يُستخدم المدرج التكراري ودالة الكثافة المقدرة لبيانات هطول الأمطار وتصريف الأنهار، بعد تحليلها باستخدام التوزيع الاحتمالي ، لفهم سلوكها وتكرار حدوثها. ^{[ 30 ]} يوضح الشكل الأزرق مثالاً على ذلك.
• يوجد في العديد من برامج معالجة الصور الرقمية أداة الرسم البياني، والتي توضح لك توزيع التباين / السطوع للبكسلات .

  

• عرض البيانات والمعلومات
• تجميع البيانات
• تقدير الكثافة
  • تقدير كثافة النواة ، وهي طريقة أكثر سلاسة ولكنها أكثر تعقيدًا لتقدير الكثافة.
• تقدير الإنتروبيا
• قاعدة فريدمان-دياكونيس
• رسم بياني للصورة
• مخطط باريتو
• سبع أدوات أساسية للجودة
• المدرجات التكرارية المثلى V

• لانكستر، إتش أو. مقدمة في الإحصاء الطبي. جون وايلي وأولاده. 1974. رقم ISBN 0-471-51250-8

• استكشاف المدرجات التكرارية ، مقال بقلم آران لونزر وأميليا ماكنمارا
• رحلة الذهاب إلى العمل ومكان العمل (موقع وثيقة التعداد المذكورة في المثال)
• رسم بياني سلس للإشارات والصور من عينات قليلة. مؤرشف بتاريخ 7 يناير 2013 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• الرسوم البيانية: البناء والتحليل والفهم مع روابط خارجية وتطبيق على فيزياء الجسيمات.
• طريقة لاختيار حجم خانة الرسم البياني التكراري
• الرسوم البيانية: النظرية والتطبيق ، بعض الرسوم التوضيحية الرائعة لبعض مفاهيم عرض الفئة المشتقة أعلاه.
• دالة في برنامج Matlab لرسم رسوم بيانية جميلة
• الرسم البياني الديناميكي في برنامج مايكروسوفت إكسل
• إنشاء ومعالجة المدرجات التكرارية باستخدام تطبيقات جافا، والرسوم البيانية على SOCR
• مجموعة أدوات لإنشاء أفضل الرسوم البيانية ( مؤرشفة بتاريخ ٢٤ أكتوبر ٢٠١٧ في أرشيف الإنترنت)