التكرار (الإحصائيات)

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 12 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُعرف تكرار أو التكرار المطلق لحدث ما بأنه تكرار أو تكرار مطلق لحدث ما.أنا{\displaystyle i}هو الرقمنأنا{\displaystyle n_{i}}عدد مرات حدوث الملاحظة أو تسجيلها في تجربة أو دراسة. [ 1 ] : 12-19. التكرار النسبي هو نسبة التكرار المطلق إلى حجم العينة . التكرار التراكمي هو مجموع التكرارات المطلقة لجميع الأحداث عند نقطة معينة أو دونها في قائمة مرتبة من الأحداث. [ 1 ] : 17-19. غالبًا ما تُعرض هذه التكرارات بيانيًا أو في جداول. ويمكن استخدامها ، على سبيل المثال، لتقدير الاحتمالات التجريبية أو دوال التوزيع التراكمي .

التركيبة

التكرار النسبي لحدث ما هو التكرار المطلق مقسومًا على العدد الإجمالي للأحداث:

وأنا=نأناشمال=نأنا∑جنج.{\displaystyle f_{i}={\frac {n_{i}}{N}}={\frac {n_{i}}{\sum _{j}n_{j}}}.}

قيموأنا{\displaystyle f_{i}}لجميع المناسباتأنا{\displaystyle i}يمكن رسمها لإنتاج توزيع التردد.

في حالة عندمانأنا=0{\displaystyle n_{i}=0}بالتأكيدأنا{\displaystyle i}ويمكن إضافة أعداد وهمية .

التصور

الرسم البياني
رسم بياني لتوزيع أوقات السفر (إلى العمل)، تعداد الولايات المتحدة لعام 2000
مخطط بياني شريطي
مخطط شريطي ، مع اعتبار "البلد" متغيرًا فئويًا لمجموعة البيانات المنفصلة
مخطط شريطي ثلاثي الأبعاد
مخطط شريطي ثلاثي الأبعاد أفقي
مخطط دائري
رسم بياني دائري يوضح عدد سكان العالم حسب البلد
طرق مختلفة لتصوير التوزيعات التكرارية

يُظهر التوزيع التكراري تجميعًا مُلخصًا للبيانات مُقسّمةً إلى فئات حصرية، مع عدد مرات ظهور كل فئة. وهو وسيلة لعرض البيانات غير المُنظمة، لا سيما لعرض نتائج الانتخابات، ودخل الأفراد في منطقة مُعينة، ومبيعات منتج ما خلال فترة زمنية مُحددة، ومبالغ قروض الطلاب للخريجين، وما إلى ذلك. ومن بين الرسوم البيانية التي يُمكن استخدامها مع التوزيعات التكرارية: المدرجات التكرارية ، والرسوم البيانية الخطية ، والرسوم البيانية الشريطية ، والرسوم البيانية الدائرية . وتُستخدم التوزيعات التكرارية مع البيانات النوعية والكمية على حد سواء.

بناء

  1. حدد عدد الفئات. قد لا يكشف وجود عدد كبير جدًا أو قليل جدًا من الفئات عن الشكل الأساسي لمجموعة البيانات، كما سيصعب تفسير توزيع التكرار. يمكن تحديد أو تقدير العدد الأمثل للفئات باستخدام الصيغة التالية:عدد الفصول=ج=1+3.3سجل⁡نعدد الفصول = C = 1 + 3.3 log n(لوغاريتم الأساس 10)، أو باستخدام صيغة اختيار الجذر التربيعيج=ن{\displaystyle C={\sqrt {n}}}حيث يمثل n العدد الإجمالي للمشاهدات في البيانات. (سيكون هذا العدد كبيرًا جدًا بالنسبة لمجموعات البيانات الكبيرة مثل إحصاءات السكان). ومع ذلك، فإن هذه الصيغ ليست قاعدة ثابتة، وقد لا يكون عدد الفئات الناتج عن الصيغة مناسبًا تمامًا للبيانات قيد المعالجة.
  2. احسب مدى البيانات (المدى = القيمة القصوى - القيمة الدنيا) من خلال إيجاد القيمتين الدنيا والقصوى للبيانات. سيُستخدم المدى لتحديد فاصل الفئة أو عرض الفئة.
  3. حدد عرض الفئات، ويرمز له بـ h ويتم الحصول عليه بواسطةح=يتراوحعدد الفصول{\displaystyle h={\frac {\text{المدى}}{\text{عدد الفئات}}}}(بافتراض أن فترات الفئات هي نفسها لجميع الفئات).

عمومًا، يكون عرض الفئة أو فاصلها متساويًا لجميع الفئات. يجب أن تغطي الفئات مجتمعةً على الأقل المسافة من أدنى قيمة (الحد الأدنى) في البيانات إلى أعلى قيمة (الحد الأقصى). يُفضّل استخدام فواصل فئات متساوية في توزيع التكرار، بينما قد يكون استخدام فواصل فئات غير متساوية (مثل الفواصل اللوغاريتمية) ضروريًا في بعض الحالات لتحقيق توزيع جيد للملاحظات بين الفئات وتجنب وجود عدد كبير من الفئات الفارغة أو شبه الفارغة. [ 2 ]

  1. حدد حدود كل فئة على حدة، واختر نقطة بداية مناسبة للفئة الأولى، وهي نقطة اختيارية؛ قد تكون أقل من أو تساوي القيمة الدنيا. عادةً ما تبدأ الفئة الأولى قبل القيمة الدنيا بحيث يكون متوسط ​​حدود الفئة الأولى (الحد الأدنى والحد الأعلى) في موضع مناسب.
  2. قم بتسجيل الملاحظة وضع علامة عمودية (|) للدلالة على الفئة التي تنتمي إليها. ويتم الاحتفاظ بسجل تراكمي حتى آخر ملاحظة.
  3. أوجد الترددات، والتردد النسبي، والتردد التراكمي، وما إلى ذلك حسب الحاجة.

فيما يلي بعض الطرق الشائعة الاستخدام لتصوير التردد: [ 3 ]

الرسوم البيانية

المدرج التكراري هو تمثيل للتكرارات المُجدولة، ويُعرض على شكل مستطيلات أو مربعات متجاورة (في بعض الحالات)، مُقامة على فترات منفصلة (فئات)، بمساحة تتناسب مع تكرار المشاهدات في الفترة. كما أن ارتفاع المستطيل يساوي كثافة التكرار للفترة، أي التكرار مقسومًا على عرض الفترة. المساحة الكلية للمدرج التكراري تساوي عدد البيانات. يمكن أيضًا تطبيع المدرج التكراري لعرض التكرارات النسبية. عندئذٍ، يُظهر نسبة الحالات التي تقع ضمن كل فئة من الفئات العديدة ، بمساحة كلية تساوي 1. تُحدد الفئات عادةً على أنها فترات متتالية غير متداخلة لمتغير ما. يجب أن تكون الفئات (الفترات) متجاورة، وغالبًا ما تُختار لتكون متساوية الحجم. [ 4 ] تُرسَم مستطيلات المدرج التكراري بحيث تتلامس للدلالة على أن المتغير الأصلي متصل. [ 5 ]

الرسوم البيانية الشريطية

الرسم البياني الشريطي هو رسم بياني يتكون من أشرطة مستطيلة تتناسب أطوالها مع القيم التي تمثلها. يمكن رسم الأشرطة عموديًا أو أفقيًا. ويُطلق على الرسم البياني الشريطي العمودي أحيانًا اسم الرسم البياني الشريطي العمودي.

جدول توزيع التكرار

جدول التوزيع التكراري هو ترتيب للقيم التي يأخذها متغير واحد أو أكثر في عينة . يحتوي كل إدخال في الجدول على تكرار أو عدد مرات ظهور القيم ضمن مجموعة أو فترة معينة، وبهذه الطريقة، يلخص الجدول توزيع القيم في العينة.

هذا مثال على جدول تكرار أحادي المتغير (= متغير واحد ). يوضح الجدول تكرار كل إجابة على سؤال من أسئلة الاستبيان.

رتبةدرجة الاتفاقرقم
1أوافق بشدة22
2أوافق إلى حد ما30
3لست متأكداً20
4أختلف معك إلى حد ما15
5أختلف بشدة15

تعتمد طريقة جدولة مختلفة على تجميع القيم في فئات بحيث تشمل كل فئة نطاقًا من القيم. على سبيل المثال، يمكن تنظيم أطوال الطلاب في فصل دراسي في جدول التكرار التالي.

نطاق الارتفاععدد الطلابالعدد التراكمي
أقل من 5 أقدام2525
5.0–5.5 قدم3560
5.5–6.0 قدم2080
6.0–6.5 قدم20100

توزيعات التردد المشترك

غالباً ما يتم عرض التوزيعات الترددية المشتركة ثنائية المتغيرات على شكل جداول طوارئ (ثنائية الاتجاه) :

جدول توافق ثنائي الاتجاه مع التكرارات الهامشية
الرقصالرياضةتلفزيونالمجموع
الرجال210820
نحيف166830
المجموع18161650

يُظهر صف المجموع وعمود المجموع التكرارات الهامشية أو التوزيع الهامشي ، بينما يُظهر جسم الجدول التكرارات المشتركة. [ 6 ]

تفسير

في ظل تفسير الاحتمالية على أساس التكرار ، يُفترض أن المصدر إرجودي ، أي أنه مع ازدياد طول سلسلة التجارب بلا حدود، فإن نسبة التجارب التي يحدث فيها حدث معين ستقترب من قيمة ثابتة، تُعرف بالتكرار النسبي الحدي . [ 7 ] [ 8 ]

غالباً ما يتم مقارنة هذا التفسير بالاحتمالية البايزية .

استخدم إم جي كيندال مصطلح " التكراري" لأول مرة عام 1949، وذلك للتمييز بينه وبين البايزيين ، الذين أطلق عليهم اسم "غير التكراريين". [ 9 ] [ 10 ] وقد لاحظ

3... يمكننا بشكل عام التمييز بين موقفين رئيسيين. أحدهما يعتبر الاحتمال "درجة من الاعتقاد العقلاني"، أو فكرة مماثلة... أما الثاني فيعرف الاحتمال من حيث تكرار وقوع الأحداث، أو بالنسب النسبية في "المجموعات السكانية" أو "الجماعات"؛ (ص 101)
...
12. قد يُعتقد أن الاختلافات بين التكراريين وغير التكراريين (إن جاز التعبير) تعود إلى حد كبير إلى اختلاف المجالات التي يدّعون تغطيتها. (ص 104)
...
أؤكد أن هذا ليس صحيحاً ... يكمن الفرق الجوهري بين التكراريين وغير التكراريين، في رأيي، في أن الأولين، سعياً منهم لتجنب أي شيء له صلة بالرأي، يحاولون تعريف الاحتمالية بدلالة الخصائص الموضوعية لمجموعة سكانية، حقيقية كانت أم افتراضية، بينما لا يفعل الآخرون ذلك. [التشديد في الأصل]

التطبيقات

تُعدّ إدارة البيانات المُجدولة حسب التكرار والتعامل معها أسهل بكثير من التعامل مع البيانات الخام. توجد خوارزميات بسيطة لحساب الوسيط، والمتوسط، والانحراف المعياري، وغيرها من هذه الجداول.

يعتمد اختبار الفرضيات الإحصائية على تقييم الاختلافات والتشابهات بين التوزيعات التكرارية. ويتضمن هذا التقييم مقاييس النزعة المركزية أو المتوسطات ، مثل المتوسط ​​الحسابي والوسيط ، ومقاييس التباين أو التشتت الإحصائي ، مثل الانحراف المعياري أو التباين .

يُقال إن التوزيع التكراري ملتوٍ عندما يكون متوسطه ووسيطه مختلفين اختلافًا كبيرًا، أو بشكل أعم عندما يكون غير متماثل . يُعدّ التفرطح مقياسًا لنسبة القيم المتطرفة (القيم الشاذة) التي تظهر على طرفي المدرج التكراري . إذا كان التوزيع أكثر عرضةً للقيم الشاذة من التوزيع الطبيعي، يُقال إنه ذو تفرطح حاد؛ وإذا كان أقل عرضةً لها، يُقال إنه ذو تفرطح مسطح.

تُستخدم توزيعات تردد الأحرف أيضًا في تحليل التردد لفك الشفرات ، وتُستخدم لمقارنة الترددات النسبية للأحرف في لغات مختلفة، وغالبًا ما تُستخدم لغات أخرى مثل اليونانية واللاتينية وما إلى ذلك.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 كيني، جيه إف؛ كيبينج، إي إس (1962). رياضيات الإحصاء، الجزء 1 (  الطبعة الثالثة). برينستون، نيوجيرسي: فان نوستراند رينهولد .
  2. ↑ مانيكاندان، س. (1 يناير 2011). "التوزيع التكراري" . مجلة علم الأدوية والعلاج الدوائي . 2 (1): 54-55 . doi : 10.4103/0976-500X.77120 . ISSN 0976-500X . PMC 3117575. PMID 21701652 .   
  3. ↑ كارلسون، ك. ووينكويست، ج. (2014) مقدمة في الإحصاء . منشورات سيج. الفصل 1: مقدمة في الإحصاء وتوزيعات التكرار
  4. ↑ هاويت، د. وكريمر، د. (2008) الإحصاء في علم النفس . برنتيس هول
  5. ↑ تشارلز ستانجور (2011) "أساليب البحث في العلوم السلوكية". وادزورث، سينجايج ليرنينج. ISBN 9780840031976.
  6. ↑ ستات تريك، معجم الإحصاء والاحتمالات، التردد المشترك
  7. ↑ فون ميزس، ريتشارد (1939) الاحتمالات والإحصاء والحقيقة (بالألمانية) (الترجمة الإنجليزية، 1981: منشورات دوفر؛ طبعة منقحة رقم 2. ISBN 0486242145) (ص 14)
  8. ↑ نظرية التكرار، الفصل 5؛ في كتاب دونالد جيلز، النظريات الفلسفية للاحتمال (2000)، دار النشر النفسية. ISBN 9780415182751، ص 88.
  9. ↑ أقدم الاستخدامات المعروفة لبعض كلمات الاحتمالات والإحصاء
  10. ↑ كيندال، موريس جورج (1949). "حول التوفيق بين نظريات الاحتمالات". بيومتريكا . 36 (1/2). مؤسسة بيومتريكا: 101-116 . doi : 10.1093/biomet/36.1-2.101 . JSTOR 2332534 .