ثابت التطبيع

في نظرية الاحتمالات ، يتم استخدام ثابت التطبيع أو عامل التطبيع لتقليل أي دالة غير سالبة يكون تكاملها محدودًا إلى دالة كثافة احتمالية .

على سبيل المثال، يمكن تحويل دالة غاوسية إلى دالة كثافة احتمالية، مما ينتج عنه التوزيع الطبيعي القياسي. في نظرية بايز، يُستخدم ثابت التطبيع لضمان أن مجموع جميع الفرضيات الممكنة يساوي 1. ومن الاستخدامات الأخرى لثوابت التطبيع جعل قيمة متعددة حدود ليجندر تساوي 1، وكذلك في خاصية تعامد الدوال المتعامدة.

وقد تم استخدام مفهوم مماثل في مجالات أخرى غير الاحتمالات، مثل كثيرات الحدود.

في نظرية الاحتمالات ، الثابت المعياري هو ثابت يجب ضرب دالة غير سالبة في كل مكان به بحيث تكون المساحة تحت منحنى الدالة مساوية لـ 1، على سبيل المثال، لجعلها دالة كثافة احتمالية أو دالة كتلة احتمالية . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

إذا بدأنا من دالة غاوس البسيطة$${\displaystyle p(x)=e^{-x^{2}/2},\quad x\in (-\infty ,\infty )}$$ لدينا التكامل الغاوسي المقابل$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}/2}\,dx={\sqrt {2\pi \,}},}$$

أما إذا استخدمنا مقلوب القيمة الأخيرة كثابت تطبيع للقيمة الأولى، فإننا نحدد دالة${\displaystyle \varphi (x)}$مثل $${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}}$$ بحيث يكون تكامله وحدة $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi \,}}}e^{-x^{2}/2}\,dx=1}$$ ثم الدالة${\displaystyle \varphi (x)}$هي دالة كثافة احتمالية. ^{[ 3 ]} هذه هي كثافة التوزيع الطبيعي القياسي . ( القياسي ، في هذه الحالة، يعني أن القيمة المتوقعة تساوي صفرًا والتباين يساوي واحدًا).

وثابت${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$هو ثابت التطبيع للدالة${\displaystyle p(x)}$.

بصورة مماثلة، $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}=e^{\lambda },}$$ وبالتالي $${\displaystyle f(n)={\frac {\lambda ^{n}e^{-\lambda }}{n!}}}$$ هي دالة كتلة احتمالية على مجموعة جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة. ^{[ 4 ]} هذه هي دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون ذي القيمة المتوقعة λ.

لاحظ أنه إذا كانت دالة كثافة الاحتمال دالة لمتغيرات مختلفة، فإن ثابت التطبيع الخاص بها سيكون كذلك أيضًا. يلعب ثابت التطبيع المُعَلم لتوزيع بولتزمان دورًا محوريًا في الميكانيكا الإحصائية . في هذا السياق، يُطلق على ثابت التطبيع اسم دالة التوزيع .

تنص نظرية بايز على أن مقياس الاحتمال اللاحق يتناسب مع حاصل ضرب مقياس الاحتمال المسبق ودالة الاحتمال . ويعني التناسب مع أنه يجب الضرب أو القسمة على ثابت معياري لتعيين قيمة 1 للفضاء بأكمله، أي للحصول على مقياس احتمال. في حالة منفصلة بسيطة، لدينا $${\displaystyle P(H_{0}\mid D)={\frac {P(D\mid H_{0})P(H_{0})}{P(D)}}}$$ حيث P(H₀ ₎ هي الاحتمالية المسبقة لصحة الفرضية؛ وP(D|H₀ ₎ هي الاحتمالية الشرطية للبيانات بشرط صحة الفرضية، ولكن بشرط معرفة البيانات، فهي احتمالية صحة الفرضية (أو معاييرها) بالنظر إلى البيانات؛ وP(H₀ _|  D  ) هي الاحتمالية اللاحقة لصحة الفرضية بالنظر إلى البيانات. من المفترض أن تكون P(D) هي احتمالية الحصول على البيانات، ولكن يصعب حسابها بمفردها، لذا فإن طريقة بديلة لوصف هذه العلاقة هي التناسب. $${\displaystyle P(H_{0}\mid D)\propto P(D\mid H_{0})P(H_{0}){\text{ كدالة لـ }}H_{0}.}$$ منذ${\textstyle P(H\mid D)}$إذا كانت احتمالية، فإن مجموع جميع الفرضيات الممكنة (المتنافية) يجب أن يساوي 1، مما يؤدي إلى الاستنتاج التالي: $${\displaystyle P(H_{0}\mid D)={\frac {P(D\mid H_{0})P(H_{0})}{\displaystyle \sum _{i}P(D\mid H_{i})P(H_{i})}}.}$$ في هذه الحالة، مقلوب القيمة $${\displaystyle P(D)=\sum _{i}P(D\mid H_{i})P(H_{i})\;}$$ هو ثابت التوحيد . ^{[ 5 ]} يمكن توسيعه من عدد قابل للعد من الفرضيات إلى عدد غير قابل للعد عن طريق استبدال المجموع بالتكامل.

للتوضيح، توجد طرق عديدة لتقدير ثابت التطبيع لأغراض عملية. تشمل هذه الطرق تقنية أخذ العينات الجسرية، ومُقدِّر مونت كارلو البسيط، ومُقدِّر المتوسط ​​التوافقي المعمم، وأخذ العينات المهمة. ^{[ 6 ]}

تتميز كثيرات حدود ليجندر بالتعامد بالنسبة للقياس المنتظم على الفترة [−1، 1] وحقيقة أنها مُعَيَّرة بحيث تكون قيمتها عند 1 هي 1. والثابت الذي يُضرب به كثير الحدود بحيث تكون قيمته عند 1 هو ثابت التعيير.

يتم تطبيع الدوال المتعامدة بحيث$${\displaystyle \langle f_{i},\,f_{j}\rangle =\,\delta _{i,j}}$$بالنسبة لبعض الضرب الداخلي ⟨ f , g ⟩ .

يتم استخدام الثابت 1/ √ 2 لإنشاء الدوال الزائدية cosh و sinh من أطوال الأضلاع المتجاورة والمتقابلة للمثلث الزائدي .

• التطبيع (الإحصاء)