دالة غاوس

في الرياضيات ، الدالة الغاوسية ، والتي يشار إليها غالبًا ببساطة باسم الدالة الغاوسية ، هي دالة للشكل الأساسي $${\displaystyle f(x)=\exp(-x^{2})}$$ ومع الامتداد البارامتري $${\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)}$$ لأي ثوابت حقيقية a و b و c غير صفرية . سُميت هذه الدالة نسبةً إلى عالم الرياضيات كارل فريدريش غاوس . يتميز رسم دالة غاوس بشكله المتناظر المميز الذي يشبه شكل الجرس . يُمثل المعامل a ارتفاع قمة المنحنى، بينما يُمثل b الموضع الأفقي لمركز القمة، ويتحكم المعامل c ( الانحراف المعياري ، والذي يُسمى أحيانًا عرض الجذر التربيعي المتوسط ​​لدالة غاوس ) في عرض "الجرس".

تُستخدم الدوال الغاوسية غالبًا لتمثيل دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي ذي توزيع طبيعي بقيمة متوقعة μ = b وتباين σ² = ^{c² .} في هذه الحالة ، تكون الدالة الغاوسية على الشكل ^{[ 1 ]} .

$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right).}$$

تُستخدم الدوال الغاوسية على نطاق واسع في الإحصاء لوصف التوزيعات الطبيعية ، وفي معالجة الإشارات لتعريف المرشحات الغاوسية ، وفي معالجة الصور حيث تُستخدم الدوال الغاوسية ثنائية الأبعاد لتطبيق التمويه الغاوسي ، وفي الرياضيات لحل معادلات الحرارة ومعادلات الانتشار ولتعريف تحويل فايرشتراس . كما تُستخدم بكثرة في الكيمياء الكمومية لتكوين مجموعات الأساس .

تنشأ الدوال الغاوسية من خلال تركيب الدالة الأسية مع دالة تربيعية مقعرة : $${\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma \right),}$$ أين $${\displaystyle \alpha =-{\tfrac {1}{2c^{2}}},\qquad \beta ={\frac {b}{c^{2}}},\qquad \gamma =\ln a-{\frac {b^{2}}{2c^{2}}}.}$$ (ملحوظة:${\textstyle a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$في${\displaystyle \ln a}$، لا ينبغي الخلط بينه وبين${\textstyle \alpha =-{\tfrac {1}{2c^{2}}}}$)

وبالتالي فإن الدوال الغاوسية هي تلك الدوال التي يكون لوغاريتمها دالة تربيعية مقعرة.

يرتبط المعامل c بعرض الذروة عند نصف ارتفاعها (FWHM) وفقًا لـ

$${\displaystyle {\text{FWHM}}=2{\sqrt {2\ln 2}}\,c\approx 2.35482\,c.}$$

يمكن التعبير عن الدالة بدلالة FWHM، والتي يمثلها w : $${\displaystyle f(x)=a\exp \left(-{\frac {4(\ln 2)(xb)^{2}}{w^{2}}}\right).}$$

بدلاً من ذلك، يمكن تفسير المعامل c بالقول إن نقطتي الانعطاف للدالة تحدثان عند x = b ± c .

قد يكون عرض النطاق الكامل عند عُشر القيمة القصوى (FWTM) لتوزيع غاوسي ذا أهمية، وهو $${\displaystyle {\text{FWTM}}=2{\sqrt {2\ln 10}}\,c\approx 4.29193\,c.}$$

الدوال الغاوسية تحليلية ، ونهايتها عندما x → ∞ هي  0 (في الحالة المذكورة أعلاه لـ b = 0 ).

تُعد الدوال الغاوسية من بين الدوال الأولية التي تفتقر إلى الدوال الأصلية الأولية ؛ وتكامل الدالة الغاوسية هو دالة الخطأ :

$${\displaystyle \int \exp \left(-x^{2}\right)\,dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} x+C.}$$

ومع ذلك، يمكن حساب تكاملاتهم غير المحددة على كامل خط الأعداد الحقيقية بدقة، باستخدام التكامل الغاوسي.$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-x^{2}\right)\,dx={\sqrt {\pi }},}$$ ويحصل المرء $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)\,dx=a|c|{\sqrt {2\pi }}.}$$

هذا التكامل يساوي 1 إذا وفقط إذا${\textstyle a={\tfrac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}}$( ثابت التطبيع )، وفي هذه الحالة، فإن التوزيع الغاوسي هو دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي موزع توزيعًا طبيعيًا بقيمة متوقعة μ = b وتباين σ ² = c ² : $${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}$$

تم رسم هذه المنحنيات الغاوسية في الشكل المرفق.

حاصل ضرب دالتين غاوسيتين هو دالة غاوسية، والتفاف دالتين غاوسيتين هو أيضاً دالة غاوسية، ويكون التباين هو مجموع التباينات الأصلية:${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$. ومع ذلك، فإن حاصل ضرب دالتي كثافة احتمالية غاوسية (PDFs) ليس بشكل عام دالة كثافة احتمالية غاوسية.

يصبح مبدأ عدم اليقين في تحويل فورييه مساواة إذا وفقط إذا تم اعتبار الدوال الغاوسية (المعدلة). ^{[ 2 ]}

يؤدي إجراء تحويل فورييه (باستخدام اصطلاح التردد الزاوي الوحدوي) لدالة غاوسية ذات المعاملات a = 1 و b = 0 و c إلى الحصول على دالة غاوسية أخرى ذات معاملات${\displaystyle c}$، b = 0 و 1 / c . ^{[ 3 ]} لذا ، على وجه الخصوص ، تبقى الدوال الغاوسية التي يكون فيها b = 0 و c = a ثابتةً بواسطة تحويل فورييه (فهي دوال ذاتية لتحويل فورييه بقيمة ذاتية  1). ويتجلى ذلك عمليًا في نمط الحيود : على سبيل المثال، الشريحة الفوتوغرافية التي يتغير نفاذها وفقًا لتوزيع غاوسي هي أيضًا دالة غاوسية.

إن حقيقة أن دالة غاوس هي دالة ذاتية لتحويل فورييه المستمر تسمح لنا باستنتاج المتطابقة المثيرة للاهتمام التالية من صيغة جمع بواسون : $${\displaystyle \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot \left({\frac {k}{c}}\right)^{2}\right)=c\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} }\exp \left(-\pi \cdot (kc)^{2}\right).}$$

تكامل دالة غاوسية اختيارية هو $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)\,dx=\ a\,|c|\,{\sqrt {2\pi }}.}$$

وهناك شكل بديل هو $$\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }k\exp \left(-fx^{2}+gx+h\right)\,dx&=\int _{-\infty }^{\infty }k\exp \left(-f\left(x-{\frac {g}{2f}}\right)^{2}+{\frac {g^{2}}{4f}}+h\right)\,dx\\&=k\,{\sqrt {\frac {\pi }{f}}}\,\exp \left({\frac {g^{2}}{4f}}+h\right),\end{aligned}}}$$ حيث يجب أن تكون قيمة f موجبة تمامًا حتى يتقارب التكامل.

الشكل الأساسي: $${\displaystyle f(x,y)=\exp \left(-x^{2}-y^{2}\right)}$$

في بُعدين، تكون وسيطة الدالة الأسية في دالة غاوس أي شكل تربيعي سالب التحديد . وبالتالي، ستكون مجموعات المستوى لدالة غاوس دائمًا عبارة عن قطع ناقص.

ومن الأمثلة المحددة على دالة غاوسية ثنائية الأبعاد ما يلي: $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{Y}^{2}}}\right)\right).}$$

_{هنا ،} يُمثل المعامل A السعة، و _x₀ و y₀ المركز ، و σₓ و σᵧ _هما مدى انتشار البقعة على المحورين x و _y . تم إنشاء الشكل على اليمين باستخدام A = 1، x₀ = 0 _، y₀ = ₀ ، σₓ = _σᵧ = ₁ .  

يُعطى الحجم تحت دالة غاوس بالصيغة التالية: $${\displaystyle V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{X}\sigma _{Y}.}$$

بشكل عام، تُعبّر دالة غاوسية إهليلجية ثنائية الأبعاد عن نفسها كما يلي: $${\displaystyle f(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}\right)\right),}$$ حيث المصفوفة $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}}}$$ is positive-definite.

Using this formulation, the figure on the right can be created using A = 1, (x₀, y₀) = (0, 0), a = c = ⁠1/2⁠, b = 0.

Meaning of parameters for the general equation

For the general form of the equation the coefficient A is the height of the peak and (x₀, y₀) is the center of the blob.

If we set $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\b&=-{\frac {\sin \theta \cos \theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\sin \theta \cos \theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\\c&={\frac {\sin ^{2}\theta }{2\sigma _{X}^{2}}}+{\frac {\cos ^{2}\theta }{2\sigma _{Y}^{2}}},\end{aligned}}}$$then we rotate the blob by a positive, counter-clockwise angle ${\displaystyle \theta }$ (for negative, clockwise rotation, invert the signs in the b coefficient).^[4]

To get back the coefficients ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle \sigma _{X}}$ and ${\displaystyle \sigma _{Y}}$ from ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ and ${\displaystyle c}$ use

$${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2b}{a-c}}\right),\quad \theta \in \left[-{\tfrac {\pi }{4}},{\tfrac {\pi }{4}}\right],\\\sigma _{X}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \cos ^{2}\theta +2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \sin ^{2}\theta )}},\\\sigma _{Y}^{2}&={\frac {1}{2(a\cdot \sin ^{2}\theta -2b\cdot \cos \theta \sin \theta +c\cdot \cos ^{2}\theta )}}.\end{aligned}}}$$

Example rotations of Gaussian blobs can be seen in the following examples:

Using the following Octave code, one can easily see the effect of changing the parameters:

A=1;x0=0;y0=0;sigma_X=1;sigma_Y=2;[X,Y]=meshgrid(-5:.1:5,-5:.1:5);لـ θ = 0 : π / 100 : π، a = cos ( θ ) ^ 2 / ( 2 * σ_X ^ 2 ) + sin ( θ ) ^ 2 / ( 2 * σ_Y ^ 2 )؛ b = sin ( 2 * θ ) / ( 4 * σ_X ^ 2 ) - sin ( 2 * θ ) / ( 4 * σ_Y ^ 2 )؛ c = sin ( θ ) ^ 2 / ( 2 * σ_X ^ 2 ) + cos ( θ ) ^ 2 / ( 2 * σ_Y ^ 2 ).Z = A * exp ( - ( a * ( X - x0 ) .^ 2 + 2 * b * ( X - x0 ) .* ( Y - y0 ) + c * ( Y - y0 ) .^ 2 ));تصفح ( س ، ص ، ع )؛ تفسير التظليل ؛ عرض ( -36 ، 36 ) ؛ انتظر ضغط الزر. نهاية

تُستخدم هذه الوظائف غالبًا في معالجة الصور وفي النماذج الحسابية لوظيفة النظام البصري - انظر المقالات المتعلقة بمساحة المقياس والتكيف الشكلي الأفيني .

انظر أيضًا إلى التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات .

في${\displaystyle n}$في فضاء ذي أبعاد n، يمكن تعريف دالة غاوسية على النحو التالي: $${\displaystyle f(x)=\exp \left(-x^{\mathsf {T}}Cx\right),}$$ أين${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$هو عمود من${\displaystyle n}$إحداثيات،${\displaystyle C}$هو إيجابي-محدد${\displaystyle n\times n}$المصفوفة، و${\displaystyle {}^{\mathsf {T}}}$يشير إلى تبديل المصفوفة .

تكامل هذه الدالة الغاوسية على كامل${\displaystyle n}$يُعطى الفضاء ذو ​​الأبعاد n على النحو التالي: $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp \left(-x^{\mathsf {T}}Cx\right)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det C}}}.}$$

يمكن حسابها بسهولة عن طريق تحويل المصفوفة إلى مصفوفة قطرية${\displaystyle C}$وتغيير متغيرات التكامل إلى المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle C}$.

وبشكل أعم، تُعرَّف دالة غاوسية مُزاحة على النحو التالي: $${\displaystyle f(x)=\exp \left(-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x\right),}$$ أين${\displaystyle s={\begin{bmatrix}s_{1}&\cdots &s_{n}\end{bmatrix}}}$هو متجه الإزاحة والمصفوفة${\displaystyle C}$يمكن افتراض أنها متناظرة،${\displaystyle C^{\mathsf {T}}=C}$وهي دالة موجبة التحديد. ويمكن حساب التكاملات التالية باستخدام هذه الدالة بنفس الأسلوب: $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det {C}}}}\exp \left({\tfrac {1}{4}}v^{\mathsf {T}}C^{-1}v\right)\equiv {\mathcal {M}}.}$$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\left(a^{\mathsf {T}}x\right)\,dx=\left(a^{\mathsf {T}}u\right)\cdot {\mathcal {M}},{\text{ where }}u={\tfrac {1}{2}}C^{-1}v.}$$

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+v^{\mathsf {T}}x}\left(x^{\mathsf {T}}Dx\right)\,dx=\left(u^{\mathsf {T}}Du+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(DC^{-1}\right)\right)\cdot {\mathcal {M}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-x^{\mathsf {T}}C'x+s'^{\mathsf {T}}x}\left(-{\frac {\partial }{\partial x}}\Lambda {\frac {\partial }{\partial x}}\right)e^{-x^{\mathsf {T}}Cx+s^{\mathsf {T}}x}\,dx\\&\qquad =\left(2\operatorname {tr} \left(C'\Lambda CB^{-1}\right)+4u^{\mathsf {T}}C'\Lambda Cu-2u^{\mathsf {T}}\left(C'\Lambda s+C\Lambda s'\right)+s'^{\mathsf {T}}\Lambda s\right)\cdot {\mathcal {M}},\end{aligned}}}$$ أين $${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}B^{-1}v,\quad v=s+s',\quad B=C+C'.}$$

تعتمد العديد من المجالات، مثل قياس الضوء النجمي ، وتوصيف حزمة غاوس ، وقياس طيف خطوط الانبعاث/الامتصاص، على دوال غاوسية مُعينة، وتحتاج إلى تقدير دقيق لمعاملات الارتفاع والموقع والعرض لهذه الدالة. يوجد ثلاثة معاملات مجهولة لدالة غاوسية أحادية البعد ( a ، b ، c )، وخمسة معاملات لدالة غاوسية ثنائية البعد.${\displaystyle (A;x_{0},y_{0};\sigma _{X},\sigma _{Y})}$.

الطريقة الأكثر شيوعًا لتقدير معلمات التوزيع الغاوسي هي أخذ لوغاريتم البيانات وملاءمة قطع مكافئ لمجموعة البيانات الناتجة. ^{[ 7 ] [ 8 ]} على الرغم من أن هذه الطريقة توفر إجراءً بسيطًا لملاءمة المنحنى ، إلا أن الخوارزمية الناتجة قد تكون متحيزة بسبب إعطاء وزن مفرط لقيم البيانات الصغيرة، مما قد يؤدي إلى أخطاء كبيرة في تقدير الشكل. يمكن التعويض جزئيًا عن هذه المشكلة من خلال تقدير المربعات الصغرى الموزونة ، بتقليل وزن قيم البيانات الصغيرة، ولكن هذه الطريقة أيضًا قد تكون متحيزة بالسماح لذيل التوزيع الغاوسي بالسيطرة على الملاءمة. لإزالة هذا التحيز، يمكن استخدام إجراء المربعات الصغرى الموزونة بشكل تكراري ، حيث يتم تحديث الأوزان في كل تكرار. ^{[ 8 ]} من الممكن أيضًا إجراء الانحدار غير الخطي مباشرةً على البيانات، دون الحاجة إلى تحويل البيانات اللوغاريتمي ؛ لمزيد من الخيارات، انظر ملاءمة التوزيع الاحتمالي .

قد يتساءل المرء عن نظير منفصل للدالة الغاوسية؛ وهذا ضروري في التطبيقات المنفصلة، ​​وخاصةً معالجة الإشارات الرقمية . يتمثل الحل البسيط في أخذ عينات من الدالة الغاوسية المستمرة، مما ينتج عنه نواة غاوسية مأخوذة منها عينات . مع ذلك، لا تمتلك هذه الدالة المنفصلة نظائر منفصلة لخصائص الدالة المستمرة، وقد تؤدي إلى آثار غير مرغوب فيها، كما هو موضح في مقالة " تنفيذ فضاء المقياس ".

يتمثل النهج البديل في استخدام نواة غاوس المنفصلة : ^{[ 11 ]}$${\displaystyle T(n,t)=e^{-t}I_{n}(t)}$$ أين${\displaystyle I_{n}(t)}$تشير إلى دوال بيسل المعدلة ذات الرتبة الصحيحة.

هذا هو النظير المتقطع للتوزيع الغاوسي المستمر، حيث إنه حل لمعادلة الانتشار المتقطع (مكان متقطع، زمن مستمر)، تمامًا كما أن التوزيع الغاوسي المستمر هو حل لمعادلة الانتشار المستمر. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

تظهر الدوال الغاوسية في العديد من السياقات في العلوم الطبيعية ، والعلوم الاجتماعية ، والرياضيات ، والهندسة . ومن الأمثلة على ذلك:

• في الإحصاء ونظرية الاحتمالات ، تظهر الدوال الغاوسية كدالة كثافة للتوزيع الطبيعي ، وهو توزيع احتمالي محدود لمجاميع معقدة، وفقًا لنظرية النهاية المركزية .
• تُعدّ الدوال الغاوسية دالة غرين لمعادلة الانتشار (المتجانسة والمتناحية) (وكذلك لمعادلة الحرارة ، وهي معادلة تفاضلية جزئية تصف التطور الزمني لكثافة الكتلة أثناء الانتشار ) . تحديدًا، إذا كانت كثافة الكتلة عند الزمن t = 0 معطاة بدالة ديراك دلتا ، مما يعني أساسًا أن الكتلة مُركّزة مبدئيًا في نقطة واحدة، فإن توزيع الكتلة عند الزمن t يُعطى بدالة غاوسية، حيث يرتبط المعامل a خطيًا بـ 1 / √t ، ويرتبط المعامل c خطيًا بـ √t ؛ وتُوصَف هذه الدالة الغاوسية المتغيرة مع الزمن بواسطة نواة الحرارة . وبشكل أعم، إذا كانت كثافة الكتلة الابتدائية هي φ ( x )، فإن كثافة الكتلة عند أزمنة لاحقة تُحسب بأخذ التفاف φ مع دالة غاوسية. يُعرف التفاف دالة مع دالة غاوسية أيضًا باسم تحويل فايرشتراس .
• الدالة الغاوسية هي الدالة الموجية للحالة الأرضية للمذبذب التوافقي الكمي .
• يمكن أن تكون المدارات الجزيئية المستخدمة في الكيمياء الحاسوبية عبارة عن تركيبات خطية من الدوال الغاوسية تسمى المدارات الغاوسية (انظر أيضًا مجموعة الأساس (الكيمياء) ).
• رياضياً، يمكن تمثيل مشتقات دالة غاوس باستخدام دوال هيرميت . بالنسبة لتباين يساوي واحدًا، فإن المشتقة النونية لدالة غاوس هي دالة غاوس نفسها مضروبة في متعددة حدود هيرميت النونية ، مع مراعاة المقياس.
• وبالتالي، ترتبط الدوال الغاوسية أيضًا بحالة الفراغ في نظرية المجال الكمومي .
• تُستخدم الحزم الغاوسية في الأنظمة البصرية وأنظمة الميكروويف والليزر.
• في تمثيل فضاء المقياس ، تُستخدم الدوال الغاوسية كنوى تنعيم لتوليد تمثيلات متعددة المقاييس في رؤية الحاسوب ومعالجة الصور . وعلى وجه التحديد، تُستخدم مشتقات الدوال الغاوسية ( دوال هيرميت ) كأساس لتحديد عدد كبير من أنواع العمليات البصرية.
• تُستخدم الدوال الغاوسية لتعريف بعض أنواع الشبكات العصبية الاصطناعية .
• في المجهر الفلوري، يتم استخدام دالة غاوسية ثنائية الأبعاد لتقريب قرص إيري ، الذي يصف توزيع الشدة الناتج عن مصدر نقطي .
• في معالجة الإشارات، تُستخدم هذه القيم لتحديد مرشحات غاوسية ، كما هو الحال في معالجة الصور حيث تُستخدم مرشحات غاوسية ثنائية الأبعاد لتطبيق التمويه الغاوسي . أما في معالجة الإشارات الرقمية ، فيُستخدم نواة غاوسية منفصلة ، ​​والتي يمكن تقريبها بمعامل ذي الحدين ^{[ 13 ]} أو عن طريق أخذ عينات من دالة غاوسية.
• في الإحصاء الجغرافي، استُخدمت هذه الأساليب لفهم التباين بين أنماط صورة تدريبية معقدة . وتُستخدم مع طرق النواة لتجميع الأنماط في فضاء الميزات. ^{[ 14 ]}

• دالة على شكل جرس
• توزيع كوشي
• التوزيع الطبيعي
• نواة دالة الأساس الشعاعي

• هابرمان، ريتشارد (2013). "10.3.3 التحويل العكسي لفورييه لدالة غاوسية". المعادلات التفاضلية الجزئية التطبيقية . بوسطن: بيرسون. ISBN 978-0-321-79705-6.

• يتضمن موقع Mathworld برهانًا للعلاقات بين c و FWHM
• "دمج منحنى الجرس" . MathPages.com .
• تنفيذ التوزيع الغاوسي بلغات هاسكل وإرلانج وبيرل
• بنسيمهون مايكل، دالة التراكم ذات الأبعاد N ، وحقائق مفيدة أخرى حول التوزيعات الغاوسية والكثافات الطبيعية (2009)
• كود لتركيب التوزيعات الغاوسية في برنامجي ImageJ و Fiji.