نواة دالة الأساس الشعاعي

في مجال تعلم الآلة ، تُعد دالة النواة ذات الأساس الشعاعي ، أو دالة النواة RBF ، دالة نواة شائعة الاستخدام في العديد من خوارزميات التعلم المعتمدة على النواة . وعلى وجه الخصوص، تُستخدم بشكل شائع في تصنيف آلة المتجهات الداعمة . ^{[ 1 ]}

نواة RBF على عينتين${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x'} \in \mathbb {R} ^{k}}$، ممثلة كمتجهات مميزة في فضاء إدخال معين ، يتم تعريفها على النحو التالي ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\exp \left(-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$$

$\displaystyle \textstyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|^{2}}$يمكن التعرف عليها على أنها المسافة الإقليدية المربعة بين متجهي الميزات.${\displaystyle \sigma }$هو مُعامل حر . يتضمن التعريف المكافئ مُعاملًا${\displaystyle \textstyle \gamma ={\tfrac {1}{2\sigma ^{2}}}}$:

$${\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\exp(-\gamma \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|^{2})}$$

بما أن قيمة نواة RBF تتناقص مع المسافة وتتراوح بين الصفر (في حالة المسافة اللانهائية) والواحد (عندما x = x' )، فإنها تُفسَّر بسهولة كمقياس للتشابه . ^{[ 2 ]} فضاء ميزات النواة له عدد لا نهائي من الأبعاد؛ لـ${\displaystyle \sigma =1}$، وتوسيعها باستخدام نظرية الحدود المتعددة هو: ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|^{2}\right)&=\exp \left({\frac {2}{2}}\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {x'} -{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x} \|^{2}-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x'} \|^{2}\right)\\[5pt]&=\exp \left(\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {x'} \right)\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x} \|^{2}\right)\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x'} \|^{2}\right)\\[5pt]&=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {x} ^{\top }\mathbf {x'} )^{j}}{j!}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x} \|^{2}\right)\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x'} \|^{2}\right)\\[5pt]&=\sum _{j=0}^{\infty }\quad \sum _{n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}=j}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x} \|^{2}\right){\frac {x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{k}^{n_{k}}}{\sqrt {n_{1}!\cdots n_{k}!}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x'} \|^{2}\right){\frac {{x'}_{1}^{n_{1}}\cdots {x'}_{k}^{n_{k}}}{\sqrt {n_{1}!\cdots n_{k}!}}}\\[5pt]&=\langle \varphi (\mathbf {x} ),\varphi (\mathbf {x'} )\rangle \end{alignedat}}}$$

$${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|\mathbf {x} \|^{2}\right)\left(a_{\ell _{0}}^{(0)},a_{1}^{(1)},\dots ,a_{\ell _{1}}^{(1)},\dots ,a_{1}^{(j)},\dots ,a_{\ell _{j}}^{(j)},\dots \right)}$$ أين${\displaystyle \ell _{j}={\tbinom {k+j-1}{j}}}$،$${\displaystyle a_{\ell }^{(j)}={\frac {x_{1}^{n_{1}}\cdots x_{k}^{n_{k}}}{\sqrt {n_{1}!\cdots n_{k}!}}}\quad |\quad n_{1}+n_{2}+\dots +n_{k}=j\wedge 1\leq \ell \leq \ell _{j}}$$

نظرًا لأن آلات المتجهات الداعمة وغيرها من النماذج التي تستخدم حيلة النواة لا تتناسب جيدًا مع أعداد كبيرة من عينات التدريب أو أعداد كبيرة من الميزات في فضاء الإدخال، فقد تم تقديم العديد من التقريبات لنواة RBF (والنوى المشابهة). ^{[ 4 ]} عادةً ما تأخذ هذه التقريبات شكل دالة z التي تربط متجهًا واحدًا بمتجه ذي أبعاد أعلى، مما يقارب النواة:

$${\displaystyle \langle z(\mathbf {x} ),z(\mathbf {x'} )\rangle \approx \langle \varphi (\mathbf {x} ),\varphi (\mathbf {x'} )\rangle =K(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$$

أين${\displaystyle \textstyle \varphi }$هي عملية الربط الضمنية المضمنة في نواة RBF.

• دالة غاوس
• النواة (الإحصائيات)
• نواة متعددة الحدود
• دالة الأساس الشعاعي
• شبكة وظائف الأساس الشعاعي
• شبكة نواة أوبست