دالة الأساس الشعاعي

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 49 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، دالة الأساس الشعاعي ( RBF ) هي دالة ذات قيم حقيقيةφ{\textstyle \varphi }والتي تعتمد قيمتها فقط على المسافة بين المدخل ونقطة ثابتة ما ، إما نقطة الأصل ، بحيثφ(x)=φ^(‖x‖){\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}أو أي نقطة ثابتة أخرىج{\textstyle \mathbf {c} }، ويسمى مركزًا ، بحيثφ(x)=φ^(‖x-ج‖){\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|)}أي وظيفةφ{\textstyle \varphi }الذي يفي بالغرضφ(x)=φ^(‖x‖){\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}هي دالة شعاعية . المسافة عادةً ما تكون المسافة الإقليدية ، على الرغم من استخدام مقاييس أخرى أحيانًا. وغالبًا ما تُستخدم كمجموعة.{φك}ك{\displaystyle \{\varphi _{k}\}_{k}}والتي تشكل أساسًا لبعض فضاءات الدوال ذات الأهمية، ومن هنا جاء الاسم.

تُستخدم مجاميع دوال الأساس الشعاعي عادةً لتقريب الدوال المعطاة . ويمكن تفسير عملية التقريب هذه كنوع بسيط من الشبكات العصبية ؛ وهذا هو السياق الذي طُبقت فيه في الأصل على التعلم الآلي ، في عمل ديفيد بروميد وديفيد لوي عام 1988، [ 1 ] [ 2 ] والذي انبثق من بحث مايكل جيه دي باول الرائد عام 1977. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] كما تُستخدم دوال الأساس الشعاعي كنواة في تصنيف متجه الدعم . [ 6 ] وقد أثبتت هذه التقنية فعاليتها ومرونتها الكافية بحيث تُستخدم دوال الأساس الشعاعي الآن في مجموعة متنوعة من التطبيقات الهندسية. [ 7 ] [ 8 ]

تعريف

الدالة الشعاعية هي دالةφ:[0،∞)→R{\textstyle \varphi :[0,\infty )\to \mathbb {R} } . عند اقترانها بمعيار‖⋅‖:V→[0،∞){\textstyle \|\cdot \|:V\to [0,\infty )}في فضاء متجهي، دالة من الشكلφج=φ(‖x-ج‖){\textstyle \varphi _{\mathbf {c} }=\varphi (\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|)}يقال إنها نواة شعاعية مركزها عندج∈V{\textstyle \mathbf {c} \in V}يُقال إن الدالة الشعاعية والنوى الشعاعية المرتبطة بها هي دوال أساسية شعاعية إذا كان، لأي مجموعة منتهية من العقد{xك}ك=1ن⊆V{\displaystyle \{\mathbf {x} _{k}\}_{k=1}^{n}\subseteq V}، جميع الشروط التالية صحيحة:

  • الحبوبφx1،φx2،...،φxن{\displaystyle \varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}}مستقلة خطيًا (على سبيل المثالφ(ر)=ر2{\displaystyle \varphi (r)=r^{2}}فيV=R{\displaystyle V=\mathbb {R} }(ليست دالة أساسية شعاعية)
  • الحبوبφx1،φx2،...،φxن{\displaystyle \varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}}تشكل أساسًا لفضاء هار ، مما يعني أن مصفوفة الاستيفاء (الموضحة أدناه) غير منفردة . [ 9 ] [ 10 ]

أمثلة

تشمل أنواع دوال الأساس الشعاعي الشائعة الاستخدام (كتابةر=‖x-xأنا‖{\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|}وباستخدامε{\textstyle \varepsilon }للإشارة إلى مُعامل الشكل الذي يمكن استخدامه لتوسيع نطاق مُدخلات النواة الشعاعية [ 11 ] ):

  • دوال RBF سلسة للغاية

    هذه الدوال الأساسية الشعاعية مأخوذة منج∞(R){\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}وهي دوال موجبة التحديد تمامًا [ 12 ] تتطلب ضبط معامل الشكلε{\displaystyle \varepsilon }

  • دوال RBF أخرى سلسة للغاية

    هذه الدوال الأساسية الشعاعية هي أيضًا منج∞(R){\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}ويتطلب ذلك ضبط معلمة الشكلε{\displaystyle \varepsilon }لكنها ليست محددة إيجابية تمامًا .

    • متعدد التربيعات :
    • RTH: [ 13 ]
  • المنحنى التوافقي المتعدد : *للمنحنيات التوافقية متعددة الدرجات الزوجية(ك=2،4،6،...){\displaystyle (k=2,4,6,\dotsc )}، لتجنب المشاكل العددية فير=0{\displaystyle r=0}أينln⁡(0)=-∞{\displaystyle \ln(0)=-\infty }غالبًا ما تُكتب عملية التنفيذ الحسابي على النحو التالي:φ(ر)=رك-1ln⁡(رر){\displaystyle \varphi (r)=r^{k-1}\ln(r^{r})}.
  • منحنى الصفيحة الرقيقة (منحنى متعدد التوافقيات خاص):
  • دوال RBF المدعومة بشكل مضغوط

    تتميز هذه الدوال الأساسية الشعاعية بدعم مضغوط، وبالتالي فهي لا تساوي الصفر إلا ضمن نصف قطر1/ε{\displaystyle 1/\varepsilon }وبالتالي، يكون لها مصفوفات تفاضل متفرقة.

    • وظيفة التضخيم :

تقريب

تُستخدم دوال الأساس الشعاعية عادةً لبناء تقريبات للدوال على شكل

حيث دالة التقريبy(x){\textstyle y(\mathbf {x} )}يتم تمثيلها كمجموع لـشمال{\displaystyle N}دوال الأساس الشعاعية، كل منها مرتبط بمركز مختلفxأنا{\textstyle \mathbf {x} _{i}}، ومرجحة بمعامل مناسبwأنا.{\textstyle w_{i}.}الأوزانwأنا{\textstyle w_{i}}يمكن تقديرها باستخدام طرق المصفوفات للمربعات الصغرى الخطية ، لأن دالة التقريب خطية في الأوزان.wأنا{\textstyle w_{i}}.

وقد تم استخدام مخططات التقريب من هذا النوع بشكل خاص في التنبؤ بالسلاسل الزمنية والتحكم في الأنظمة غير الخطية التي تظهر سلوكًا فوضويًا بسيطًا بما فيه الكفاية وإعادة البناء ثلاثي الأبعاد في رسومات الحاسوب (على سبيل المثال، RBF الهرمي وتشوه فضاء الوضع ).

شبكة آر بي إف

دالتان أساسيتان شعاعيتان غاوسيتان غير معياريتين في بُعد إدخال واحد. تقع مراكز الدالتين الأساسيتين عندx1=0.75{\textstyle x_{1}=0.75}وx2=3.25{\textstyle x_{2}=3.25}.

المجموع

يمكن أيضًا تفسيرها على أنها نوع بسيط من الشبكات العصبية الاصطناعية أحادية الطبقة يُسمى شبكة الدوال الأساسية الشعاعية ، حيث تؤدي الدوال الأساسية الشعاعية دور دوال التنشيط في الشبكة. ويمكن إثبات أنه من حيث المبدأ، يمكن استكمال أي دالة متصلة على فترة مغلقة بدقة اختيارية بواسطة مجموع من هذا الشكل، إذا كان عدد الدوال كبيرًا بما فيه الكفاية.شمال{\textstyle N}يتم استخدام دوال الأساس الشعاعية.

التقريبy(x){\textstyle y(\mathbf {x} )}قابلة للتفاضل بالنسبة للأوزانwأنا{\textstyle w_{i}}وبالتالي، يمكن تعلم الأوزان باستخدام أي من الطرق التكرارية القياسية للشبكات العصبية.

يُتيح استخدام دوال الأساس الشعاعية بهذه الطريقة أسلوب استيفاء معقولًا شريطة اختيار مجموعة البيانات المُلائمة بحيث تُغطي النطاق بأكمله بشكل منهجي (وتُعدّ نقاط البيانات المتساوية البُعد مثالية). مع ذلك، فبدون حدّ متعدد الحدود متعامد مع دوال الأساس الشعاعية، تميل التقديرات خارج مجموعة البيانات المُلائمة إلى أن تكون ضعيفة الأداء.

دوال الأساس الشعاعي للمعادلات التفاضلية الجزئية

تُستخدم دوال الأساس الشعاعي لتقريب الدوال، وبالتالي يمكن استخدامها لتقسيم المعادلات التفاضلية الجزئية وحلها عدديًا. وقد طُبّق هذا لأول مرة عام 1990 على يد إي جيه كانسا، الذي طوّر أول طريقة عددية تعتمد على دوال الأساس الشعاعي. تُعرف هذه الطريقة باسم طريقة كانسا ، وقد استُخدمت لحل معادلة بواسون الإهليلجية ومعادلة الانتشار-الحمل الخطي .x{\displaystyle \mathbf {x} }يتم تقريب القيم في المجال بواسطة التركيبة الخطية لدوال الأساس الشعاعي:

يتم تقريب المشتقات على النحو التالي:

أينشمال{\displaystyle N}تمثل عدد النقاط في المجال المتقطع،د{\displaystyle d}بُعد المجال وλ{\displaystyle \lambda }المعاملات العددية التي لا تتغير بفعل المؤثر التفاضلي. [ 14 ]

بعد ذلك، طُوِّرت طرق عددية مختلفة تعتمد على دوال الأساس الشعاعي. من بين هذه الطرق: طريقة RBF-FD [ 15 ] [ 16 ] ، وطريقة RBF-QR [ 17 ] ، وطريقة RBF-PUM [ 18 ] .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ شبكات الدوال الأساسية الشعاعية ( مؤرشفة بتاريخ 23 أبريل 2014 في أرشيف الإنترنت )
  2. ↑ بروميد، ديفيد هـ.؛ لوي، ديفيد (1988). "الاستيفاء الوظيفي متعدد المتغيرات والشبكات التكيفية" (ملف PDF) . الأنظمة المعقدة . 2 : 321-355 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 14-07-2014.
  3. ↑ مايكل جيه دي باول (1977). "إجراءات إعادة التشغيل لطريقة التدرج المترافق". البرمجة الرياضية . 12 (1): 241-254 . doi : 10.1007/bf01593790 . S2CID 9500591 . 
  4. ↑ شاهين، فرات (1997). منهج الدوال الأساسية الشعاعية لمشكلة تصنيف الصور الملونة في تطبيق صناعي فوري (رسالة ماجستير). جامعة فرجينيا للتكنولوجيا . ص 26. hdl : 10919/36847 . قدم باول الدوال الأساسية الشعاعية لأول مرة لحل مشكلة الاستيفاء متعدد المتغيرات الحقيقية. 
  5. ↑ بروميد ولو 1988 ، ص 347 : "نود أن نشكر البروفيسور إم جيه دي باول في قسم الرياضيات التطبيقية والفيزياء النظرية بجامعة كامبريدج لتوفيره الحافز الأولي لهذا العمل." 
  6. ↑ فاندر بلاس، جيك (6 مايو 2015). "مقدمة في آلات المتجهات الداعمة" . [أورايلي]. مؤرشف من الأصل في 5 سبتمبر 2015. تم الاطلاع عليه في 14 مايو 2015 .
  7. ↑ بومان، مارتن ديتريش (2003). دوال الأساس الشعاعي : النظرية والتطبيقات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN  978-0511040207. OCLC 56352083 . 
  8. ↑ بيانكوليني، ماركو إيفانجيلوس (2018). دوال الأساس الشعاعية السريعة للتطبيقات الهندسية . دار نشر سبرينغر الدولية. ISBN 9783319750118. OCLC 1030746230 . 
  9. ↑ فاسهاور، غريغوري إي. (2007). طرق التقريب غير الشبكي باستخدام MATLAB . سنغافورة: دار النشر العالمية العلمية المحدودة. الصفحات 17-25 . ISBN  9789812706331.
  10. ↑ ويندلاند، هولجر (2005). تقريب البيانات المبعثرة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 11، 18-23 ، 64-66 . ISBN  0521843359.
  11. ↑ فاسهاور، غريغوري إي. (2007). طرق التقريب غير الشبكي باستخدام MATLAB . سنغافورة: دار النشر العالمية العلمية المحدودة، ص 37. ISBN  9789812706331.
  12. ↑ فاسهاور، غريغوري إي. (2007). طرق التقريب غير الشبكي باستخدام MATLAB . سنغافورة: دار النشر العالمية العلمية المحدودة. الصفحات 37-45 . ISBN  9789812706331.
  13. ↑ حيدري، محمد؛ محمدي، مريم؛ دي ماركي، ستيفانو (2021). "مؤثر شبه استيفاء يحافظ على الشكل قائم على دالة أساسية شعاعية متسامية جديدة". ملاحظات بحثية حول التقريب في دولوميت . 14 (1): 56-73 . doi : 10.14658/PUPJ-DRNA-2021-1-6 .
  14. ↑ كانسا، إي جيه (1990-01-01). "المعادلات التربيعية المتعددة - مخطط تقريبي للبيانات المبعثرة مع تطبيقات في ديناميكا الموائع الحسابية - الجزء الثاني: حلول للمعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة والزائدية والإهليلجية" . الحوسبة والرياضيات مع التطبيقات . 19 (8): 147-161 . doi : 10.1016/0898-1221(90)90271-K . ISSN 0898-1221 . 
  15. ↑ تولستيك، أ. إ.؛ شيروبوكوف، د. أ. (2003-12-01). "حول استخدام دوال الأساس الشعاعية في "نمط الفروق المحدودة" مع تطبيقات على مسائل المرونة" . الميكانيكا الحسابية . 33 (1): 68-79 . Bibcode : 2003CompM..33...68T . doi : 10.1007/s00466-003-0501-9 . ISSN 1432-0924 . S2CID 121511032 .  
  16. ↑ شو، سي؛ دينغ، إتش؛ يو، كيه إس (14 فبراير 2003). "طريقة التربيع التفاضلي القائمة على دالة الأساس الشعاعي المحلية وتطبيقها لحل معادلات نافيير-ستوكس ثنائية الأبعاد غير القابلة للانضغاط" . أساليب الحاسوب في الميكانيكا التطبيقية والهندسة . 192 (7): 941-954 . رمز Bibcode : 2003CMAME.192..941S . doi : 10.1016/S0045-7825(02)00618-7 . ISSN 0045-7825 . 
  17. ↑ فورنبرغ، بنغت؛ لارسون، إليزابيث؛ فلاير، ناتاشا (2011-01-01). "حسابات مستقرة باستخدام دوال الأساس الشعاعي الغاوسي" . مجلة SIAM للحوسبة العلمية . 33 (2): 869-892 . Bibcode : 2011SJSC...33..869F . doi : 10.1137/09076756X . ISSN 1064-8275 . 
  18. ↑ صفدري-فيغاني، علي؛ هيريودونو، ألفا؛ لارسون، إليزابيث (2015-08-01). "طريقة التجميع لتقسيم الدوال الأساسية الشعاعية للوحدة لمعادلات الحمل الحراري والانتشار الناشئة في التطبيقات المالية" . مجلة الحوسبة العلمية . 64 (2): 341-367 . doi : 10.1007/s10915-014-9935-9 . ISSN 1573-7691 . S2CID 254691757 .  

للمزيد من القراءة

  • هاردي، آر. إل. (1971). "معادلات متعددة التربيع للتضاريس والأسطح غير المنتظمة الأخرى". مجلة البحوث الجيوفيزيائية . 76 (8): 1905-1915 . Bibcode : 1971JGR....76.1905H . doi : 10.1029/jb076i008p01905 .
  • هاردي، آر إل (1990). "نظرية وتطبيقات طريقة التربيع المتعدد ثنائي التوافقي، 20 عامًا من الاكتشاف، 1968-1988" . تطبيقات الرياضيات الحاسوبية . 19 (8/9): 163-208 . doi : 10.1016/0898-1221(90)90272-l .
  • بريس، دبليو إتش؛ تيوكولسكي، إس إيه؛ فيترلينغ، دبليو تي؛ فلانيري، بي بي (2007)، "القسم 3.7.1. استيفاء دالة الأساس الشعاعي" ، وصفات عددية: فن الحوسبة العلمية (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 978-0-521-88068-8تمت أرشفة هذا النص من المصدر الأصلي بتاريخ 11 مارس 2017 ، وتمت مراجعته بتاريخ 8 أغسطس 2011.
  • سيرايانون، س.، 1988، دراسات مقارنة لـ kriging، متعدد التربيع ثنائي التوافقي، وطرق أخرى لحل مشاكل الموارد المعدنية، أطروحة دكتوراه، قسم علوم الأرض، جامعة ولاية أيوا، أميس، أيوا.
  • سيرايانون، س.؛ هاردي، ر. ل. (1995). "طريقة التربيع المتعدد ثنائي التوافقيات المستخدمة في الموارد المعدنية والأرصاد الجوية وغيرها من التطبيقات". مجلة العلوم التطبيقية والحسابات . 1 : 437-475 .