الدالة الشعاعية

في الرياضيات ، الدالة الشعاعية هي دالة ذات قيم حقيقية معرفة على فضاء إقليدي .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تعتمد قيمة هذه الدالة عند كل نقطة على المسافة بين تلك النقطة ونقطة الأصل فقط . وعادةً ما تكون هذه المسافة هي المسافة الإقليدية . على سبيل المثال، تأخذ الدالة القطرية Φ في بعدين الشكل ^{[ 1 ].}$${\displaystyle \Phi (x,y)=\varphi (r),\quad r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$ حيث φ دالة لمتغير حقيقي واحد غير سالب. وتُقارن الدوال القطرية بالدوال الكروية ، ويمكن تحليل أي دالة انحدار (مثل الدالة المستمرة والمتناقصة بسرعة ) على الفضاء الإقليدي إلى متسلسلة تتكون من أجزاء قطرية وكروية: وهي المتسلسلة التوافقية الكروية الصلبة .

تكون الدالة شعاعية إذا وفقط إذا كانت ثابتة تحت جميع الدورانات مع تثبيت نقطة الأصل. أي أن f تكون شعاعية إذا وفقط إذا $${\displaystyle f\circ \rho =f\,}$$ لكل ρ ∈ SO( n ) ، وهي المجموعة المتعامدة الخاصة في n بُعدًا. يُمكّن هذا التوصيف للدوال الشعاعية من تعريف التوزيعات الشعاعية أيضًا . هذه هي التوزيعات S على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بحيث​ $${\displaystyle S[\varphi ]=S[\varphi \circ \rho ]}$$ لكل دالة اختبار φ ودوران ρ .

بفرض أي دالة f (قابلة للتكامل محليًا) ، فإن الجزء القطري منها يُعطى عن طريق حساب المتوسط ​​على الكرات المتمركزة عند نقطة الأصل. أي، $${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int _{S^{n-1}}f(rx')\,dx'}$$ حيث ω _{n − 1} هي مساحة سطح الكرة ( n − 1) -S ^{n − 1} ، و r = | x | ، x ′ = x / r . ويترتب على ذلك أساسًا من نظرية فوبيني أن الدالة القابلة للتكامل محليًا لها جزء شعاعي محدد جيدًا عند كل قيمة تقريبًا لـ r .

إن تحويل فورييه للدالة القطرية هو تحويل قطري أيضًا، ولذا تلعب الدوال القطرية دورًا حيويًا في تحليل فورييه . علاوة على ذلك، يتميز تحويل فورييه للدالة القطرية عادةً بسلوك اضمحلال أقوى عند اللانهاية مقارنةً بالدوال غير القطرية: فبالنسبة للدوال القطرية المحدودة في جوار نقطة الأصل، يضمحل تحويل فورييه أسرع من R ^{− ( n − 1)/2} . تُعد دوال بيسل فئة خاصة من الدوال القطرية التي تظهر بشكل طبيعي في تحليل فورييه كدوال ذاتية قطرية لمؤثر لابلاس ؛ ومن ثم تظهر بشكل طبيعي كجزء قطري من تحويل فورييه.

• دالة الأساس الشعاعي

• شتاين، إلياس ؛ فايس، غيدو (1971)، مقدمة في تحليل فورييه على الفضاءات الإقليدية ، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون، ISBN 978-0-691-08078-9.