التوافقيات الكروية

في ميكانيكا الكم، يتم فهم التوافقيات الكروية لابلاس من حيث الزخم الزاوي المداري ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } )=L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .}$$ يُعدّ ħ اصطلاحًا في ميكانيكا الكم؛ ومن الملائم العمل بوحدات يكون فيها ħ = 1. التوافقيات الكروية هي دوال ذاتية لمربع الزخم الزاوي المداري $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}}$$ التوافقيات الكروية لـ لابلاس هي الدوال الذاتية المشتركة لمربع الزخم الزاوي المداري ومولد الدوران حول المحور السمتي: $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

تتبادل هذه المؤثرات، وهي مؤثرات ذاتية الترافق معرفة بكثافة على فضاء هيلبرت الموزون للدوال f القابلة للتكامل التربيعي بالنسبة للتوزيع الطبيعي كدالة وزن على R ³ : $${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .}$$ علاوة على ذلك، فإن L ² هو عامل موجب .

إذا كانت Y دالة ذاتية مشتركة لـ L ² و L _z ، فبحسب التعريف $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}}$$ لبعض الأعداد الحقيقية m و λ . هنا، يجب أن يكون m عددًا صحيحًا، لأن Y يجب أن تكون دورية في الإحداثي φ بدورية عدد يقسم 2π بالتساوي . علاوة على ذلك، بما أن $${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$$ وإذا كانت كل من L _x و L _y و L _z مترافقة ذاتيًا، فإن ذلك يترتب عليه أن λ ≥ m ² .

لنرمز إلى هذا الفضاء الذاتي المشترك بـ E _{λ , m} ، ولنُعرّف مُؤثري الرفع والخفض بـ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}}$$ ثم يتبادل L ₊ و L ₋ مع L ² ، ويكون جبر لي الناتج عن L ₊ و L ₋ و L _z هو جبر لي الخطي الخاص من الرتبة 2.${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$، مع علاقات التبادل $${\displaystyle [L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.}$$ وبالتالي، فإن _L⁺ : Eλ , _{m →} Eλ , _{m + 1  (} وهو "مؤثر رفع") و L⁻ _: Eλ _{,  m} → Eλ _{, m⁻¹ (وهو "مؤثر خفض} "). وبالتحديد، _{يجب أن} يكون Lk⁺ _{:  Eλ , m} → Eλ _{, m + k} مساويًا للصفر عندما تكون k _{كبيرة بما} فيه الكفاية ، لأن المتباينة λ ≥ m² يجب أن تتحقق في كل ^فضاء من الفضاءات الذاتية المشتركة غير التافهة. ليكن Y ∈ Eλ _{, m} دالة ذاتية مشتركة غير صفرية، وليكن _k أصغر عدد صحيح ^بحيث$${\displaystyle L_{+}^{k}Y=0.}$$ ثم، بما أن $${\displaystyle L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}}$$ ويترتب على ذلك أن $${\displaystyle 0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.}$$ وبالتالي فإن λ = ℓ ( ℓ + 1) للعدد الصحيح الموجب ℓ = m + k .

تم حساب كل ما سبق باستخدام تمثيل الإحداثيات الكروية.${\displaystyle \langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$ولكن يمكن التعبير عنها بشكل أكثر تجريدًا في أساس كيت الكروي الكامل والمتعامد .

أحد مصادر الالتباس في تعريف الدوال التوافقية الكروية يتعلق بعامل الطور لـ${\displaystyle (-1)^{m}}$ويُشار إليها عادةً باسم طور كوندون -شورتلي في أدبيات ميكانيكا الكم. يمكن تضمين عامل الطور هذا إما في تعريف كثيرات حدود ليجندر المرتبطة به أو في تعريف الدوال التوافقية الكروية، ولكن لا ينبغي احتسابه مرتين. ^{[ 8 ]}

في هذا القسم، ما لم يُنص على خلاف ذلك،${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$تشير إلى دالة ليجندر المرتبطة مع تضمين طور كوندون-شورتلي، بحيث يكون ذلك لـ${\displaystyle m>0}$$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{\ell }(x),}$$ و $${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}.}$$ هذا هو الاصطلاح المستخدم، على سبيل المثال، من قبل المكتبة الرقمية للدوال الرياضية التابعة للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST) وفي العديد من المراجع الرياضية. ^{[ 9 ]}

بدلاً من ذلك، يُعرّف بعض المؤلفين دوال ليجندر المرتبطة دون عامل الطور هذا. إذا تم الإشارة إليها هنا بـ${\displaystyle {\widetilde {P}}_{\ell }^{m}}$، ثم $${\displaystyle {\widetilde {P}}_{\ell }^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{\ell }(x),\qquad P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}{\widetilde {P}}_{\ell }^{m}(x).}$$ باستخدام هذه الصيغة، صيغة تحتوي على عامل خارجي${\displaystyle (-1)^{m}}$مضاعفة${\displaystyle {\widetilde {P}}_{\ell }^{m}}$يعطي نفس التوافقي الكروي الذي تعطيه الصيغة باستخدام${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$بدون عامل طور خارجي. ^{[ 8 ]}

لا يُشترط استخدام طور كوندون-شورتلي في تعريف الدوال التوافقية الكروية، ولكن إدراجه قد يُبسط بعض العمليات في ميكانيكا الكم، لا سيما تطبيق مؤثرات الرفع والخفض . ويستخدم مجتمعا الجيوديسيا ^{[ 10 ]} والمغناطيسية اصطلاحات شائعة لا يُدرج فيها عامل طور كوندون-شورتلي في دوال ليجندر المرتبطة أو في التوافقيات الكروية.

تُستخدم عدة طرق مختلفة للتطبيع بشكل شائع لدوال لابلاس التوافقية الكروية${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} }$إن خيارات التطبيع هذه مستقلة عن موضع طور كوندون-شورتلي.

مع تضمين مرحلة كوندون-شورتلي في${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$، التوافقيات الكروية المعقدة المتعامدة هي $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }.}$$ هذا هو الاصطلاح المستخدم في هذه المقالة، وهو شائع في علم الصوتيات. ^{[ 11 ]}

غالباً ما تُكتب نفس الدوال المتعامدة في ميكانيكا الكم على النحو التالي ^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,{\widetilde {P}}_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi },}$$ أين${\displaystyle {\widetilde {P}}_{\ell }^{m}}$يشير هذا إلى دالة ليجندر المرتبطة بدون طور كوندون-شورتلي. وهذا يتجنب حساب الطور مرتين.

بغض النظر عن موضع طور كوندون-شورتلي، فإن التوافقيات الكروية المتعامدة تحقق $${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},}$$ حيث δij _هي دالة كرونكر دلتا و dΩ = sin( θ ) dφ dθ . ^{[ 9 ]} يُستخدم هذا التوحيد في ميكانيكا الكم لأنه يضمن توحيد الاحتمالية، أي $${\displaystyle \int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.}$$

تستخدم تخصصات الجيوديسيا ^{[ 14 ]} والتحليل الطيفي غالبًا ما يقابلها${\displaystyle 4\pi }$التوافقيات المعيارية. تُكتب هذه التوافقيات بنفس اصطلاح الطور المذكور أعلاه، وهي $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi },}$$ والتي تمتلك قوة الوحدة $${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$$ في التطبيقات الجيوديسية، يتم عادةً دمج هذا التوحيد مع حذف طور كوندون-شورتلي. ^{[ 15 ]}

في المقابل، يستخدم مجتمع المغناطيسية ^{[ 14 ]} غالبًا التوافقيات شبه المعيارية لشميدت. وتُكتب هذه التوافقيات بنفس اصطلاح الطور المذكور أعلاه .$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi },}$$ والتي تتضمن التطبيع $${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$$ في ميكانيكا الكم، يتم استخدام هذا التطبيع أحيانًا أيضًا، ويسمى تطبيع راكا نسبة إلى جوليو راكا .

بالنسبة لاتفاقية الطور المستخدمة في هذه المقالة، فإن التوافقيات الكروية المركبة تحقق $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),}$$حيث يشير الرمز * إلى المرافق المركب . وبالمثل، بما أن${\displaystyle (-1)^{m}=(-1)^{-m}}$للأعداد الصحيحة${\displaystyle m}$، ويمكن كتابة هذا أيضًا باستخدام${\displaystyle (-1)^{-m}}$وتنتج هذه المعادلة أيضًا من علاقة الدوال التوافقية الكروية بمصفوفة ويغنر D. ^{[ 9 ]}

بافتراض أن التوافقيات الكروية المركبة مُعَيَّرة ومُوَحَّدة الطور بحيث $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}{}^{*}=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m},}$$ أساس حقيقي للتوافقيات الكروية${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$يمكن تعريفها من حيث نظائرها المعقدة${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$عن طريق الضبط $${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$ يُستخدم هنا اصطلاح كوندون-شورتلي الطوري لضمان الاتساق. المعادلات العكسية المقابلة التي تُعرّف التوافقيات الكروية المركبة${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$من حيث التوافقيات الكروية الحقيقية${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$نكون $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}}$$

التوافقيات الكروية الحقيقية${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$تُعرف أحيانًا باسم التوافقيات الكروية المجزأة . ^{[ 16 ]} تتمتع هذه الدوال بنفس خصائص التعامد التي تتمتع بها الدوال المركبة.${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$أعلاه. التوافقيات الكروية الحقيقية${\displaystyle Y_{\ell m}}$تُسمى الدوال التي يكون فيها m > 0 من نوع جيب التمام، وتلك التي يكون فيها m < 0 من نوع الجيب. ويمكن توضيح سبب ذلك بكتابة الدوال بدلالة كثيرات حدود ليجندر كما يلي: $${\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_{\ell }^{0}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}}$$ هنا${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$^{يشير الرمز [ 8 ]} مرة أخرى إلى دالة ليجندر المرتبطة بها مع تضمين طور كوندون-شورتلي. مع اختلاف موضع هذا الطور، يجب تغيير الإشارات المعروضة بشكل متسق.

يمكن أيضًا رؤية عوامل الجيب وجيب التمام نفسها في القسم الفرعي التالي الذي يتناول التمثيل الديكارتي.

انظر هنا للاطلاع على قائمة التوافقيات الكروية الحقيقية حتى (بما في ذلك${\displaystyle \ell =4}$، وهو ما يمكن اعتباره متسقًا مع مخرجات المعادلات المذكورة أعلاه.

إذا تم اعتماد الاصطلاح الكمومي لـ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$، ثم $${\displaystyle e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).}$$ هنا،${\displaystyle \mathbf {r} }$هو المتجه ذو المكونات${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$،${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$، و $${\displaystyle {\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i{\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat {y}} }\right).}$$${\displaystyle \mathbf {a} }$ هو متجه ذو إحداثيات مركبة:

${\displaystyle \mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({\frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].}$

الخاصية الأساسية لـ${\displaystyle \mathbf {a} }$هو أنه فارغ: $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.}$$

يكفي أن تأخذ${\displaystyle v}$و${\displaystyle \lambda }$كمعاملات حقيقية. بتسمية هذه الدالة المولدة باسم هيرغلوتز ، فإننا نتبع كوران وهيلبرت 1962 ، §VII.7 ، اللذين ينسبان الفضل في اكتشافها إلى ملاحظات غير منشورة له.

يمكن اشتقاق جميع خصائص التوافقيات الكروية تقريبًا من هذه الدالة المولدة. ^{[ 17 ]} ومن الفوائد المباشرة لهذا التعريف أنه إذا كان المتجه${\displaystyle \mathbf {r} }$يتم استبدالها بمؤثر متجه الدوران الكمومي${\displaystyle \mathbf {J} }$بحيث${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })}$هو نظير المشغل للتوافقي الصلب${\displaystyle r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)}$[ ^{18 ]} يحصل المرء على دالة مولدة لمجموعة موحدة من عوامل ^تشغيل الموتر الكروي ،${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })}$:

$${\displaystyle e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).}$$

يضمن التوازي بين التعريفين أن${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}}$يتم تحويل 's تحت الدوران (انظر أدناه) بنفس طريقة${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$وهذا بدوره يضمن أنها عوامل موترية كروية،${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$، مع${\displaystyle k={\ell }}$و${\displaystyle q=m}$وهي، بالإضافة إلى ذلك، مجموعة معيارية ذات مقياس أو تطبيع ثابت، وتخضع لجميع خصائص هذه المؤثرات، مثل نظرية تركيب كليبيش-غوردان ، ونظرية ويغنر-إيكارت .

يُنتج تعريف هيرغلوتز كثيرات حدود يمكن، إذا رغب المرء، تحليلها إلى كثير حدود من${\displaystyle z}$وآخر من${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$، كما يلي (مرحلة كوندون-شورتلي): $${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\left(-1\right)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$ وبالنسبة لـ m = 0 : $${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$$ هنا $${\displaystyle A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),}$$$${\displaystyle B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),}$$ و $${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$$ ل${\displaystyle m=0}$ويؤدي هذا إلى $${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}.}$$

العامل${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)}$وهي في الأساس متعددة حدود ليجندر المرتبطة بها${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$والعوامل${\displaystyle (A_{m}\pm iB_{m})}$هي في الأساس${\displaystyle e^{\pm im\varphi }}$.

تتمتع التوافقيات الكروية بتكافؤ محدد. أي أنها إما زوجية أو فردية بالنسبة للانعكاس حول نقطة الأصل. ويُرمز للانعكاس بالمؤثر .${\displaystyle P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )}$ثم، كما يمكن ملاحظة ذلك من نواحٍ عديدة (ربما أبسطها من خلال دالة هيرغلوتز المولدة)، مع${\displaystyle \mathbf {r} }$كونه متجه وحدة، $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).}$$

من حيث الزوايا الكروية، يحول التكافؤ نقطة ذات إحداثيات${\displaystyle \{\theta ,\varphi \}}$ل${\displaystyle \{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}}$ثم يكون بيان تكافؤ التوافقيات الكروية كما يلي $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$ (يمكن رؤية ذلك على النحو التالي: تعطي كثيرات حدود ليجندر المرتبطة (−1) ^{ℓ + m} ومن الدالة الأسية لدينا (−1) ^m ، مما يعطي معًا للتوافقيات الكروية زوجية (−1) ^ℓ .)

يستمر التكافؤ بالنسبة للتوافقيات الكروية الحقيقية، وبالنسبة للتوافقيات الكروية في الأبعاد الأعلى: تطبيق انعكاس نقطي على توافقية كروية من الدرجة ℓ يغير الإشارة بمعامل (−1) ^ℓ .

لنفترض دورانًا${\displaystyle {\mathcal {R}}}$حول الأصل الذي يرسل متجه الوحدة${\displaystyle \mathbf {r} }$ل${\displaystyle \mathbf {r} '}$في ظل هذه العملية، يتم الحصول على توافقية كروية من الدرجة${\displaystyle \ell }$والطلب${\displaystyle m}$يتحول إلى توليفة خطية من التوافقيات الكروية من نفس الدرجة. أي، $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),}$$ أين${\displaystyle A_{mm'}}$هي مصفوفة من الرتبة${\displaystyle (2\ell +1)}$يعتمد ذلك على الدوران${\displaystyle {\mathcal {R}}}$لكن هذه ليست الطريقة المعتادة للتعبير عن هذه الخاصية. فالطريقة المعتادة هي كتابة:

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),}$$ أين${\displaystyle D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}}$هو المرافق المركب لعنصر من مصفوفة ويغنر D. على وجه الخصوص عندما${\displaystyle \mathbf {r} '}$هو${\displaystyle \phi _{0}}$بتدوير السمت نحصل على المتطابقة،

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0}}.}$$

لعلّ السلوك الدوراني للتوافقيات الكروية هو السمة الأساسية لها من وجهة نظر نظرية الزمر.${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$درجات علمية${\displaystyle \ell }$توفير مجموعة أساسية من الدوال للتمثيل غير القابل للاختزال للمجموعة SO(3) ذات البعد${\displaystyle (2\ell +1)}$. العديد من الحقائق المتعلقة بالتوافقيات الكروية (مثل نظرية الجمع) التي يتم إثباتها بشكل شاق باستخدام أساليب التحليل تكتسب براهين أبسط وأهمية أعمق باستخدام أساليب التناظر.