التوافقيات الكروية المتجهة

في الفيزياء، التوافقيات الكروية المتجهة${\displaystyle \mathbf {Y} _{j,\ell ,s}^{m_{j}}}$تُعرَّف بأنها دوران${\textstyle s=1}$الدوال الذاتية لمؤثرات الزخم الزاوي${\textstyle J^{2},J_{z},L^{2}}$، و${\textstyle S^{2}}$، أين${\textstyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} }$يمثل الزخم الزاوي الكلي. ^{[ 6 ]} وتُكتب على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {Y} _{j,\ell ,1}^{m_{j}}(\mathbf {k} )=\sum _{m_{\ell }\,=\,-\ell }^{+\ell }~\sum _{m_{s}\,=\,-1}^{+1}\langle j~m_{j}|\ell ~1~m_{\ell }~m_{s}\rangle Y_{\ell }^{m_{\ell }}(\mathbf {k} )\,{\hat {\mathbf {e} }}_{m_{s}},}$$وهي عبارة عن تركيبات خطية من التوافقيات الكروية العددية${\displaystyle Y_{\ell }^{m_{\ell }}}$باستخدام أساس الزخم الزاوي المتجهي$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{\pm 1}=\mp {\frac {{\hat {\mathbf {x} }}\pm i{\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {2}}},\quad {\hat {\mathbf {e} }}_{0}={\hat {\mathbf {z} }}.}$$باستخدام معاملات كليبش-غوردان${\displaystyle \langle j~m_{j}|\ell ~1~m_{\ell }~m_{s}\rangle }$.

نظرًا لأن البوزونات المتجهة مثل الفوتون لها عزم مغزلي يساوي واحدًا، فإن التوافقيات الكروية المتجهة تُستخدم بشكل شائع في الفيزياء لوصف التفاعلات المتجهة وشبه المتجهة ، مثل الانتقالات الكهرومغناطيسية، في الأنظمة الذرية والنووية. وهي حالة خاصة (${\textstyle s=1}$) حالة التوافقيات الكروية الدورانية .

لاستخلاص هذه العلاقات، يبدأ المرء بتوسيع الموجة المستوية للموجات المستوية ذات الاستقطاب المتجهي.

ومثل التوافقيات الكروية العددية، فإن VSH تحقق

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Psi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*},\\\mathbf {\Phi } _{\ell ,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*},\end{aligned}}}$$

مما يقلل عدد الدوال المستقلة إلى النصف تقريبًا. تشير النجمة إلى المرافق المركب .

تكون VSH متعامدة بالطريقة ثلاثية الأبعاد المعتادة عند كل نقطة${\displaystyle \mathbf {r} }$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {\Psi } _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

وهي أيضًا متعامدة في فضاء هيلبرت :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {Y} _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Phi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=\ell (\ell +1)\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {Y} _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {\Psi } _{\ell m}\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}^{*}\,d\Omega &=0.\end{aligned}}}$$

نتيجة إضافية عند نقطة واحدة${\displaystyle \mathbf {r} }$(لم يرد ذكره في باريرا وآخرون، 1985) هو، بالنسبة للجميع${\displaystyle \ell ,m,\ell ',m'}$،

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{\ell m}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{\ell 'm'}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$

تسمح علاقات التعامد بحساب عزوم الأقطاب المتعددة الكروية لحقل متجه على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\ell m}^{r}&=\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {Y} _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(1)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Psi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega ,\\E_{\ell m}^{(2)}&={\frac {1}{\ell (\ell +1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Phi } _{\ell m}^{*}\,d\Omega .\end{aligned}}}$$

بالنظر إلى توسيع متعدد الأقطاب لحقل قياسي

$${\displaystyle \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\phi _{\ell m}(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),}$$

يمكننا التعبير عن تدرجه بدلالة VSH كما يلي

$${\displaystyle \nabla \phi =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {d\phi _{\ell m}}{dr}}\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {\phi _{\ell m}}{r}}\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right).}$$

لأي حقل متعدد الأقطاب لدينا

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}fY_{\ell m},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=0.\end{aligned}}}$$

عن طريق التراكب نحصل على تباعد أي حقل متجهي:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left({\frac {dE_{\ell m}^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}E_{\ell m}^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)Y_{\ell m}.}$$

نلاحظ أن المكون الموجود على Φ _ℓm يكون دائمًا لولبيًا .

لأي حقل متعدد الأقطاب لدينا

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{\ell m}\right)&=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right)&=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}f\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

عن طريق التراكب نحصل على التفاف أي حقل متجه:

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left(-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\mathbf {Y} _{\ell m}-\left({\frac {dE_{\ell m}^{(2)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(2)}\right)\mathbf {\Psi } _{\ell m}+\left(-{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{r}+{\frac {dE_{\ell m}^{(1)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{\ell m}^{(1)}\right)\mathbf {\Phi } _{\ell m}\right).}$$

فعل مُشغِّل لابلاس${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$يتم الفصل على النحو التالي:

$${\displaystyle \Delta \left(f(r)\mathbf {Z} _{\ell m}\right)=\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\mathbf {Z} _{\ell m}+f(r)\Delta \mathbf {Z} _{\ell m},}$$ أين${\displaystyle \mathbf {Z} _{\ell m}=\mathbf {Y} _{\ell m},\mathbf {\Psi } _{\ell m},\mathbf {\Phi } _{\ell m}}$و

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {Y} _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}(2+\ell (\ell +1))\mathbf {Y} _{\ell m}+{\frac {2}{r^{2}}}\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Psi } _{\ell m}&={\frac {2\ell (\ell +1)}{r^{2}}}\mathbf {Y} _{\ell m}-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Psi } _{\ell m},\\\Delta \mathbf {\Phi } _{\ell m}&=-{\frac {1}{r^{2}}}\ell (\ell +1)\mathbf {\Phi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

لاحظ أيضًا أن هذا الإجراء يصبح متناظرًا ، أي أن المعاملات غير القطرية متساوية.${\textstyle {\frac {2}{r^{2}}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$، من أجل VSH مُعايَر بشكل صحيح.

يتم الحصول على تعابير القيم السالبة لـ m من خلال تطبيق علاقات التناظر.

تُعدّ VSH مفيدة بشكل خاص في دراسة حقول الإشعاع متعددة الأقطاب . على سبيل المثال، ينتج تعدد الأقطاب المغناطيسي عن تيار متذبذب بتردد زاوي${\displaystyle \omega }$والسعة المركبة

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}=J(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},}$$

ويمكن كتابة المجالات الكهربائية والمغناطيسية المقابلة لها على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {E} }}&=E(r)\mathbf {\Phi } _{\ell m},\\{\hat {\mathbf {B} }}&=B^{r}(r)\mathbf {Y} _{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{\ell m}.\end{aligned}}}$$

وبإدخال هذه القيم في معادلات ماكسويل، يتحقق قانون جاوس تلقائيًا.

$${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {E} }}=0,}$$

بينما ينفصل قانون فاراداي كما

$${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {E} }}=-i\omega {\hat {\mathbf {B} }}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}{\dfrac {\ell (\ell +1)}{r}}E=i\omega B^{r},\\{\dfrac {dE}{dr}}+{\dfrac {E}{r}}=i\omega B^{(1)}.\end{cases}}}$$

ينص قانون جاوس للمجال المغناطيسي على

$${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {B} }}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dB^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}B^{r}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r}}B^{(1)}=0,}$$

وتعطي معادلة أمبير-ماكسويل

$${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\hat {\mathbf {J} }}+i\mu _{0}\varepsilon _{0}\omega {\hat {\mathbf {E} }}\quad \Rightarrow \quad -{\frac {B^{r}}{r}}+{\frac {dB^{(1)}}{dr}}+{\frac {B^{(1)}}{r}}=\mu _{0}J+i\omega \mu _{0}\varepsilon _{0}E.}$$

وبهذه الطريقة، تم تحويل المعادلات التفاضلية الجزئية إلى مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية.

تعريف بديل

في العديد من التطبيقات، تُعرَّف التوافقيات الكروية المتجهة بأنها المجموعة الأساسية لحلول معادلة هيلمهولتز المتجهة في الإحداثيات الكروية. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

في هذه الحالة، يتم توليد التوافقيات الكروية المتجهة بواسطة دوال قياسية، وهي حلول لمعادلة هيلمهولتز القياسية ذات متجه الموجة${\displaystyle \mathbf {k} }$. $${\displaystyle {\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array}}}$$ هنا${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$هي كثيرات حدود ليجندر المرتبطة بها ، و${\displaystyle z_{n}({k}r)}$هي أي من دوال بيسل الكروية .

تُعرَّف التوافقيات الكروية المتجهة على النحو التالي:

التوافقيات الطولية

${\displaystyle \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn}}$

التوافقيات المغناطيسية

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}$

التوافقيات الكهربائية

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}}$

هنا نستخدم الجزء الزاوي ذو القيم الحقيقية للتوافقيات، حيث${\displaystyle m\geq 0}$لكن يمكن إدخال الدوال المعقدة بنفس الطريقة.

لنقدم الرموز${\displaystyle \rho =kr}$تُكتب التوافقيات الكروية المتجهة في شكلها المكون على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {-m}{\sin(\theta )}}\sin(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }}\\{{}-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {{\frac {m}{\sin(\theta )}}\cos(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }}\\{{}+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{{}-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}(k,\mathbf {r} )=\qquad {\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }\\{}+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }\\{}+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$ لا يوجد جزء شعاعي للتوافقيات المغناطيسية. أما بالنسبة للتوافقيات الكهربائية، فإن الجزء الشعاعي يتناقص أسرع من الجزء الزاوي، وبالنسبة للقيم الكبيرة${\displaystyle \rho }$يمكن إهمالها. كما نلاحظ أن الأجزاء الزاوية للتوافقيات الكهربائية والمغناطيسية متطابقة حتى تبديل متجهات الوحدة القطبية والسمتية، لذا بالنسبة للقيم الكبيرة ${\displaystyle \rho }$تكون متجهات التوافقيات الكهربائية والمغناطيسية متساوية في القيمة ومتعامدة مع بعضها البعض.

التوافقيات الطولية: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}(k,\mathbf {r} ){}=\qquad &{\frac {\partial }{\partial r}}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\\{}\mp {}&{\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$$

أثناء الدوران، تتحول التوافقيات الكروية المتجهة فيما بينها بنفس طريقة تحول الدوال الكروية العددية المناظرة لها ، والتي تُولّد نوعًا محددًا من التوافقيات المتجهة. على سبيل المثال، إذا كانت الدوال المولدة هي التوافقيات الكروية المعتادة ، فإن التوافقيات المتجهة ستتحول أيضًا عبر مصفوفات ويغنر D ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ].}$${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{M'=-J}^{J}[D_{MM'}^{(J)}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),}$$ يكون السلوك تحت الدوران هو نفسه بالنسبة للتوافقيات الكهربائية والمغناطيسية والطولية.

في حالة الانعكاس، تتصرف التوافقيات الكروية الكهربائية والطولية بنفس طريقة الدوال الكروية العددية، أي $${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$$ أما المغناطيسية فلها التكافؤ المعاكس: $${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$$

في حساب قانون ستوكس لقوة السحب التي يمارسها سائل لزج على جسيم كروي صغير، يخضع توزيع السرعة لمعادلات نافيير-ستوكس مع إهمال القصور الذاتي، أي

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\nabla \cdot \mathbf {v} ,\\\mathbf {0} &=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$$

مع الشروط الحدية

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{cases}\mathbf {0} &r=a,\\-\mathbf {U} _{0}&r\to \infty .\end{cases}}}$$

حيث U هي السرعة النسبية للجسيم بالنسبة للسائل بعيدًا عنه. في الإحداثيات الكروية، يمكن كتابة هذه السرعة عند اللانهاية على النحو التالي:

$${\displaystyle \mathbf {U} _{0}=U_{0}\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}\right)=U_{0}\left(\mathbf {Y} _{10}+\mathbf {\Psi } _{10}\right).}$$

يشير التعبير الأخير إلى توسع في التوافقيات الكروية لسرعة السائل والضغط

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p(r)Y_{10},\\\mathbf {v} &=v^{r}(r)\mathbf {Y} _{10}+v^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{10}.\end{aligned}}}$$

يؤدي التعويض في معادلات نافيير-ستوكس إلى إنتاج مجموعة من المعادلات التفاضلية العادية للمعاملات.