التوافقيات الكروية

في الرياضيات والعلوم الفيزيائية ، التوافقيات الكروية هي دوال خاصة محددة على سطح الكرة . تُستخدم غالبًا في حل المعادلات التفاضلية الجزئية في العديد من المجالات العلمية. يحتوي جدول التوافقيات الكروية على قائمة بالتوافقيات الكروية الشائعة.

نظرًا لأن التوافقيات الكروية تشكل مجموعة كاملة من الدوال المتعامدة وبالتالي أساسًا متعامدًا ، يمكن كتابة كل دالة محددة على سطح الكرة كمجموع لهذه التوافقيات الكروية. وهذا مشابه للدوال الدورية المحددة على الدائرة والتي يمكن التعبير عنها كمجموع الدوال الدائرية (الجيب وجيب التمام) عبر سلسلة فورييه . ومثل الجيب وجيب التمام في سلسلة فورييه، يمكن تنظيم التوافقيات الكروية حسب التردد الزاوي (المكاني) ، كما هو موضح في صفوف الدوال في الرسم التوضيحي على اليمين. علاوة على ذلك، فإن التوافقيات الكروية هي دوال أساسية للتمثيلات غير القابلة للاختزال لـ SO(3) ، وهي مجموعة الدورات في ثلاثة أبعاد، وبالتالي تلعب دورًا مركزيًا في المناقشة النظرية للمجموعة لـ SO(3).

تنشأ التوافقيات الكروية من حل معادلة لابلاس في المجالات الكروية. تسمى الدوال التي تعد حلولاً لمعادلة لابلاس بالتوافقيات . وعلى الرغم من اسمها، فإن التوافقيات الكروية تأخذ أبسط أشكالها في الإحداثيات الديكارتية ، حيث يمكن تعريفها على أنها حدوديات متجانسة من الدرجة في التي تتبع معادلة لابلاس. ينشأ الارتباط بالإحداثيات الكروية على الفور إذا استخدم المرء التجانس لاستخراج عامل الاعتماد الشعاعي من الحدوديات المذكورة أعلاه من الدرجة ؛ يمكن اعتبار العامل المتبقي دالة للإحداثيات الزاوية الكروية وفقط ، أو ما يعادله، لمتجه الوحدة الاتجاهية المحدد بواسطة هذه الزوايا. في هذا الإطار، يمكن اعتبارها الجزء الزاوي من مجموعة من الحلول لمعادلة لابلاس في ثلاثة أبعاد، وغالبًا ما يتم اعتبار وجهة النظر هذه بمثابة تعريف بديل. لاحظ، مع ذلك، أن التوافقيات الكروية ليست دوال على الكرة تكون متناغمة فيما يتعلق بعامل لابلاس-بلترامي للمقياس الدائري القياسي على الكرة: الدوال التوافقية الوحيدة بهذا المعنى على الكرة هي الثوابت، لأن الدوال التوافقية تلبي مبدأ الحد الأقصى . التوافقيات الكروية، كدوال على الكرة، هي دوال ذاتية لعامل لابلاس-بلترامي (انظر الأبعاد الأعلى). ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle r^{\ell}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

مجموعة محددة من التوافقيات الكروية، والتي يشار إليها أو ، تُعرف باسم التوافقيات الكروية لابلاس، حيث قدمها لأول مرة بيير سيمون دي لابلاس في عام 1782. ^[1] تشكل هذه الوظائف نظامًا متعامدًا ، وبالتالي فهي أساسية لتوسيع دالة عامة على الكرة كما هو مذكور أعلاه. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })}$

التوافقيات الكروية مهمة في العديد من التطبيقات النظرية والعملية، بما في ذلك تمثيل المجالات الكهروستاتيكية والكهرومغناطيسية متعددة الأقطاب ، وتكوينات الإلكترونات ، والحقول الجاذبية ، والجيودات ، والحقول المغناطيسية للأجرام السماوية والنجوم، وإشعاع الخلفية الكونية الميكرويفي . في رسومات الكمبيوتر ثلاثية الأبعاد ، تلعب التوافقيات الكروية دورًا في مجموعة واسعة من الموضوعات بما في ذلك الإضاءة غير المباشرة ( الانسداد المحيط ، والإضاءة العالمية ، ونقل الإشعاع المحسوب مسبقًا ، وما إلى ذلك) ونمذجة الأشكال ثلاثية الأبعاد.

تم التحقيق في التوافقيات الكروية لأول مرة فيما يتعلق بالجهد الثقالي لقانون نيوتن للجاذبية الكونية في ثلاثة أبعاد. في عام 1782، حدد بيير سيمون دي لابلاس في كتابه ميكانيكا سماوية أن الجهد الثقالي عند نقطة x المرتبطة بمجموعة من الكتل النقطية m _i الموجودة عند النقاط x _i يعطى بواسطة ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.}$$

كل حد في المجموع أعلاه هو جهد نيوتني فردي لكتلة نقطية. قبل ذلك الوقت مباشرة، كان أدريان ماري ليجيندر قد بحث في توسع الجهد النيوتوني في قوى r = | x | و r ₁ = | x ₁ | . واكتشف أنه إذا كان r ≤ r ₁ فإن

$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots }$$

حيث γ هي الزاوية بين المتجهين x و x ₁ . الدوال هي متعددات حدود ليجيندر ، ويمكن اشتقاقها كحالة خاصة من التوافقيات الكروية. بعد ذلك، في مذكراته عام 1782، قام لابلاس بدراسة هذه المعاملات باستخدام إحداثيات كروية لتمثيل الزاوية γ بين x ₁ و x . (انظر متعددات حدود ليجيندر § التطبيقات لمزيد من التفاصيل.) ${\displaystyle P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R} }$

في عام 1867، قدم ويليام طومسون (اللورد كلفن) وبيتر جوثري تايت التوافقيات الكروية الصلبة في أطروحتهما في الفلسفة الطبيعية ، كما قدموا أيضًا اسم "التوافقيات الكروية" لأول مرة لهذه الوظائف. كانت التوافقيات الصلبة حلولًا متعددة الحدود متجانسة لمعادلة لابلاس . من خلال فحص معادلة لابلاس في الإحداثيات الكروية، استعاد تومسون وتايت التوافقيات الكروية لابلاس. (انظر التمثيل متعدد الحدود التوافقي.) استخدم ويليام ويويل مصطلح "معاملات لابلاس" لوصف النظام المعين للحلول المقدمة على هذا النحو، بينما احتفظ آخرون بهذا التعيين للتوافقيات الكروية الإقليمية التي قدمها لابلاس وليجندر بشكل صحيح. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.}$$

لقد أتاح تطور سلسلة فورييه في القرن التاسع عشر حل مجموعة واسعة من المشاكل الفيزيائية في المجالات المستطيلة، مثل حل معادلة الحرارة ومعادلة الموجة . ويمكن تحقيق ذلك من خلال توسيع الدوال في سلسلة من الدوال المثلثية . وفي حين تمثل الدوال المثلثية في سلسلة فورييه الأنماط الأساسية للاهتزاز في الوتر ، فإن التوافقيات الكروية تمثل الأنماط الأساسية للاهتزاز في الكرة بنفس الطريقة تقريبًا. ويمكن تعميم العديد من جوانب نظرية سلسلة فورييه من خلال أخذ التوسعات في التوافقيات الكروية بدلاً من الدوال المثلثية. وعلاوة على ذلك، وعلى غرار الطريقة التي يمكن بها كتابة الدوال المثلثية بشكل مكافئ على هيئة أسي معقدة ، فإن التوافقيات الكروية تمتلك أيضًا شكلًا مكافئًا كدوال ذات قيمة معقدة. وكان هذا بمثابة نعمة للمشكلات التي تمتلك تناسقًا كرويًا ، مثل تلك الخاصة بميكانيكا السماوات التي درسها في الأصل لابلاس وليجندر.

لقد مهد انتشار التوافقيات الكروية في الفيزياء الطريق لأهميتها اللاحقة في ولادة ميكانيكا الكم في القرن العشرين . التوافقيات الكروية (ذات القيمة المعقدة) هي دوال ذاتية لمربع عامل الزخم الزاوي المداري وبالتالي فهي تمثل التكوينات الكمومية المختلفة للمدارات الذرية . ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle -i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,}$$

تفترض معادلة لابلاس أن لابلاسيان الحقل القياسي f يساوي صفرًا. (هنا يُفهم الحقل القياسي على أنه معقد، أي أنه يتوافق مع دالة (سلسة) .) في الإحداثيات الكروية يكون هذا: ^[2]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

لنفترض أن مشكلة إيجاد حلول من النموذج f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) . من خلال فصل المتغيرات ، تنتج معادلتان تفاضليتان عن طريق فرض معادلة لابلاس: يمكن تبسيط المعادلة الثانية بافتراض أن Y لها النموذج Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . يؤدي تطبيق فصل المتغيرات مرة أخرى على المعادلة الثانية إلى زوج المعادلات التفاضلية $${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$$ $${\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}$$

لبعض الأرقام m . مسبقًا، m هو ثابت مركب، ولكن لأن Φ يجب أن تكون دالة دورية تقسم فترتها بالتساوي 2 π ، فإن m هو بالضرورة عدد صحيح و Φ هو تركيبة خطية من الأسس المركبة e ^{± imφ} . دالة الحل Y ( θ ، φ ) منتظمة عند أقطاب الكرة، حيث θ = 0، π . إن فرض هذا الانتظام في حل Θ للمعادلة الثانية عند نقاط حدود المجال هو مشكلة Sturm-Liouville التي تجبر المعامل λ على أن يكون من الشكل λ = ℓ ( ℓ + 1) لبعض الأعداد الصحيحة غير السلبية مع ℓ ≥ | m | ؛ يتم شرح هذا أيضًا أدناه من حيث الزخم الزاوي المداري . علاوة على ذلك، يؤدي تغيير المتغيرات t = cos θ إلى تحويل هذه المعادلة إلى معادلة ليجيندر ، التي يكون حلها مضاعفًا لمتعددة حدود ليجيندر المرتبطة P^م
_ℓ(cos θ ) . وأخيرًا، تحتوي معادلة R على حلول من النموذج R ( r ) = A r ^ℓ + B r ^{− ℓ − 1} ؛ مما يتطلب أن يكون الحل منتظمًا في جميع أنحاء R ³ قوى B = 0. [ ^3]

هنا افترضنا أن الحل له الشكل الخاص Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . بالنسبة لقيمة معينة من ℓ ، يوجد 2 ℓ + 1 حلول مستقلة من هذا الشكل ، واحد لكل عدد صحيح m مع − ℓ ≤ m ≤ ℓ . هذه الحلول الزاوية هي حاصل ضرب الدوال المثلثية ، الممثلة هنا كأسي مركب ، ومتعددات حدود ليجاندر المرتبطة بها: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$$

التي تفي $${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

هنا يسمى دالة توافقية كروية من الدرجة ℓ والرتبة m ، وهي متعددة حدود ليجيندر مرتبطة ، و N هو ثابت تطبيع، ^[4] و θ و φ يمثلان خط العرض والطول على التوالي. على وجه الخصوص، يتراوح خط العرض θ ، أو الزاوية القطبية، من 0 عند القطب الشمالي، إلى π /2 عند خط الاستواء، إلى π عند القطب الجنوبي، وقد يأخذ خط الطول φ ، أو السمت ، جميع القيم مع 0 ≤ φ < 2 π . بالنسبة لعدد صحيح ثابت ℓ ، فإن كل حل Y ( θ ، φ ) ، ، لمشكلة القيمة الذاتية هو تركيبة خطية من . في الواقع، بالنسبة لأي حل من هذا القبيل، فإن r ^ℓ Y ( θ , φ ) هو التعبير في الإحداثيات الكروية لكثيرة حدود متجانسة متناغمة (انظر أدناه)، وبالتالي فإن عد الأبعاد يظهر أن هناك 2 ℓ + 1 من مثل هذه كثيرات الحدود المستقلة خطيًا. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y:S^{2}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y}$$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

الحل العام لمعادلة لابلاس في كرة مركزها الأصل هو عبارة عن تركيبة خطية من الدوال التوافقية الكروية مضروبة في عامل المقياس المناسب r ^ℓ ، ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Delta f=0}$

$${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$

حيث أن هما ثابتان والعوامل r ^ℓ Y _ℓ ^m تُعرف باسم التوافقيات الصلبة ( المنتظمة ) . مثل هذا التوسع صالح في الكرة${\displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.}$$

بالنسبة لـ ، يتم اختيار التوافقيات الصلبة ذات القوى السالبة لـ ( التوافقيات الصلبة غير المنتظمة ) بدلاً من ذلك. في هذه الحالة، نحتاج إلى توسيع حل المناطق المعروفة في سلسلة لوران (حوالي )، بدلاً من سلسلة تايلور (حوالي )، المستخدمة أعلاه، لمطابقة المصطلحات وإيجاد معاملات توسيع السلسلة . ${\displaystyle r>R}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle r=\infty }$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C} }$

في ميكانيكا الكم، تُفهم التوافقيات الكروية لابلاس من حيث الزخم الزاوي المداري ^[5]، ħ تقليدي في ميكانيكا الكم؛ من الملائم العمل بوحدات حيث ħ = 1. التوافقيات الكروية هي دوال ذاتية لمربع الزخم الزاوي المداري، التوافقيات الكروية لابلاس هي دوال ذاتية مشتركة لمربع الزخم الزاوي المداري ومولد الدورات حول المحور السمتي: $${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } )=L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

تتنقل هذه المشغلات، وهي مشغلات مترافقة ذاتية محددة بكثافة على فضاء هيلبرت المرجح للوظائف f القابلة للتكامل التربيعي بالنسبة للتوزيع الطبيعي كدالة الوزن على R ³ : علاوة على ذلك، L ² هو مشغل موجب . $${\displaystyle {\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .}$$

إذا كانت Y دالة ذاتية مشتركة لـ L ² و L _z ، فبالتعريف لبعض الأعداد الحقيقية m و λ . هنا يجب أن يكون m في الواقع عددًا صحيحًا، لأن Y يجب أن تكون دورية في الإحداثي φ مع فترة عدد يقسم 2 π بالتساوي . علاوة على ذلك، بما أن كل من L _x و L _y و L _z مترافق ذاتيًا، فمن الطبيعي أن λ ≥ m ² . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$$

قم بالإشارة إلى هذا الفضاء الذاتي المشترك بواسطة E _{λ ، m} ، وحدد مشغلي الرفع والخفض بواسطة ثم يتبادل L ₊ و L _{− مع} L ² ، ويكون جبر لاي الناتج عن L ₊ ، L ₋ ، L _z هو جبر لاي الخطي الخاص من الدرجة 2، مع علاقات التبديل وبالتالي L ₊  : E _{λ ، m} → E _{λ ، m +1} (إنه "عامل رفع") و L ₋  : E _{λ ، m} → E _{λ ، m −1} (إنه "عامل خفض"). على وجه الخصوص، L$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}$$${\displaystyle [L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.}$$^ك
₊ : يجب أن تكون E _{λ , m} → E _{λ , m + k} مساوية للصفر عندما تكون k كبيرة بدرجة كافية، لأن المتباينة λ ≥ m ² يجب أن تكون صحيحة في كل من فضاءات القيم الذاتية المشتركة غير التافهة. دع Y ∈ E _{λ , m} دالة ذاتية مشتركة غير صفرية، ودع k تكون أصغر عدد صحيح بحيث يكون : إذن، بما أنه يتبع ذلك فإن λ = ℓ ( ℓ + 1) للعدد الصحيح الموجب ℓ = m + k . $${\displaystyle L_{+}^{k}Y=0.}$$$${\displaystyle L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}}$$$${\displaystyle 0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.}$$

لقد تم حل كل ما سبق في تمثيل الإحداثيات الكروية، ولكن من الممكن التعبير عنه بشكل أكثر تجريدية في الأساس الكروي الكامل المتعامد العمودي . ${\displaystyle \langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$

يمكن التعبير عن التوافقيات الكروية باعتبارها تقييدًا للكرة الوحدوية لبعض الدوال الحدودية . على وجه التحديد، نقول إن دالة حدودية (ذات قيمة معقدة) متجانسة من الدرجة إذا كانت لجميع الأعداد الحقيقية وجميع . نقول إنها توافقية إذا كان حيث هو لابلاسيان . ثم لكل ، نحدد ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \ell }$$${\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} )}$$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \Delta p=0,}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \ell }$$${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }=\left\{{\text{harmonic polynomials }}\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} {\text{ that are homogeneous of degree }}\ell \right\}.}$$

على سبيل المثال، عندما يكون ، مجرد فضاء ثلاثي الأبعاد لجميع الدوال الخطية ، حيث أن أي دالة من هذا القبيل تكون متناغمة تلقائيًا. وفي الوقت نفسه، عندما يكون لدينا فضاء خماسي الأبعاد: ${\displaystyle \ell =1}$${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \ell =2}$$${\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\operatorname {span} _{\mathbb {C} }(x_{1}x_{2},\,x_{1}x_{3},\,x_{2}x_{3},\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\,x_{1}^{2}-x_{3}^{2}).}$$

بالنسبة لأي ، فإن مساحة التوافقيات الكروية من الدرجة هي مجرد مساحة القيود على مجال عناصر . ^[6] وكما اقترح في المقدمة، من المفترض أن هذا المنظور هو أصل مصطلح "التوافقية الكروية" (أي التقييد على مجال الدالة التوافقية ). ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }}$

على سبيل المثال، بالنسبة لأي، تحدد الصيغة متعددة حدود متجانسة من الدرجة ذات المجال والمجال المشترك ، والتي تكون مستقلة عن . يمكن بسهولة ملاحظة أن هذه المتعددة الحدود متناغمة. إذا كتبنا في إحداثيات كروية ثم قيدنا بـ ، نحصل على ما يمكن إعادة كتابته على النحو التالي بعد استخدام الصيغة المتعددة الحدود Legendre المرتبطة ، يمكننا التعرف على هذه على أنها صيغة متعددة الحدود الكروية المتناغمة ^[7] (انظر الحالات الخاصة). ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$$${\displaystyle p(x_{1},x_{2},x_{3})=c(x_{1}+ix_{2})^{\ell }}$$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle r=1}$$${\displaystyle p(\theta ,\varphi )=c\sin(\theta )^{\ell }(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{\ell },}$$$${\displaystyle p(\theta ,\varphi )=c\left({\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}\right)^{\ell }e^{i\ell \varphi }.}$$ ${\displaystyle P_{\ell }^{\ell }}$${\displaystyle Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).}$

This section's factual accuracy is disputed. Relevant discussion may be found on the talk page. Please help to ensure that disputed statements are reliably sourced. (December 2017) (Learn how and when to remove this message)

هناك عدة تطبيعات مختلفة شائعة الاستخدام لوظائف التوافقيات الكروية لابلاس . في جميع أنحاء القسم، نستخدم الاتفاقية القياسية التي تنص على أن (انظر متعددات حدود ليجيندر المرتبطة ) هي التطبيع الطبيعي المعطى بواسطة صيغة رودريجيز. ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle m>0}$$${\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}$$

في علم الصوتيات ، ^[8] يتم تعريف التوافقيات الكروية لابلاس بشكل عام على أنها (هذه هي الاتفاقية المستخدمة في هذه المقالة) بينما في ميكانيكا الكم : ^{[9] [10]}$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$ $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

حيث ترتبط كثيرات حدود ليجيندر بدون مرحلة كوندون-شورتلي (لتجنب حساب المرحلة مرتين). ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$

في كلا التعريفين، تكون التوافقيات الكروية متعامدة عمودية حيث δ _ij هي دلتا كرونيكر و d Ω = sin( θ ) dφ dθ . تُستخدم هذه التطبيعية في ميكانيكا الكم لأنها تضمن تطبيع الاحتمالية، أي، $${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},}$$ $${\displaystyle \int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.}$$

تستخدم تخصصات الجيوديسيا ^[11] والتحليل الطيفي

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

التي تمتلك قوة الوحدة

$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$$

في المقابل، يستخدم مجتمع المغناطيسية ^[11] التوافقيات شبه الطبيعية لشميدت

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$$

التي لديها التطبيع

$${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.}$$

في ميكانيكا الكم، يتم استخدام هذا التطبيع أحيانًا أيضًا، ويُسمى تطبيع راكا نسبةً إلى جوليو راكا .

يمكن إثبات أن جميع الدوال التوافقية الكروية الطبيعية المذكورة أعلاه تلبي

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{-m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),}$$

حيث يشير الرمز العلوي * إلى الاقتران المعقد. بدلاً من ذلك، تتبع هذه المعادلة علاقة الدوال التوافقية الكروية بمصفوفة Wigner D.

أحد مصادر الارتباك في تعريف الدوال التوافقية الكروية يتعلق بعامل طور ، والذي يشار إليه عادةً باسم طور كوندون -شورتلي في الأدبيات الميكانيكية الكمومية. في مجتمع ميكانيكا الكم، من الشائع تضمين عامل الطور هذا في تعريف متعددات حدود ليجاندر المرتبطة ، أو إضافته إلى تعريف الدوال التوافقية الكروية. لا يوجد شرط لاستخدام طور كوندون-شورتلي في تعريف الدوال التوافقية الكروية، ولكن تضمينه يمكن أن يبسط بعض العمليات الميكانيكية الكمومية، وخاصة تطبيق مشغلات الرفع والخفض . لا تتضمن مجتمعات الجيوديسيا ^[12] والمغناطيسية أبدًا عامل طور كوندون-شورتلي في تعريفاتها للدوال التوافقية الكروية ولا في تعريفات متعددات حدود ليجاندر المرتبطة. ^[13]${\displaystyle (-1)^{m}}$

يمكن تعريف أساس حقيقي للتوافقيات الكروية من حيث نظائرها المعقدة من خلال ضبطها . يتم استخدام اتفاقية طور كوندون-شورتلي هنا لتحقيق الاتساق. المعادلات العكسية المقابلة التي تحدد التوافقيات الكروية المعقدة من حيث التوافقيات الكروية الحقيقية هي ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}}$$

تُعرف التوافقيات الكروية الحقيقية أحيانًا باسم التوافقيات الكروية التسيرالية . ^[14] تتمتع هذه الدوال بنفس خصائص التقويم العمودي مثل الدوال المركبة أعلاه. يُقال إن التوافقيات الكروية الحقيقية ذات m > 0 من نوع جيب التمام، وتلك التي تكون m < 0 من نوع جيب التمام. يمكن رؤية سبب ذلك من خلال كتابة الدوال من حيث متعددات حدود ليجيندر على النحو التالي ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle Y_{\ell m}}$$${\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}}$$

يمكن أيضًا رؤية نفس عوامل الجيب وجيب التمام في القسم الفرعي التالي الذي يتعامل مع التمثيل الديكارتي.

انظر هنا للحصول على قائمة بالتوافقيات الكروية الحقيقية حتى ، بما في ذلك، والتي يمكن اعتبارها متسقة مع مخرجات المعادلات أعلاه. ${\displaystyle \ell =4}$

وكما هو معروف من الحلول التحليلية لذرة الهيدروجين، فإن الدوال الذاتية للجزء الزاوي من الدالة الموجية هي توافقيات كروية. ومع ذلك، يمكن جعل حلول معادلة شرودنجر غير النسبية بدون مصطلحات مغناطيسية حقيقية. وهذا هو السبب في استخدام الأشكال الحقيقية على نطاق واسع في الدوال الأساسية للكيمياء الكمومية، حيث لا تحتاج البرامج بعد ذلك إلى استخدام الجبر المعقد. هنا، تمتد الدوال الحقيقية على نفس المساحة التي تمتد عليها الدوال المعقدة.

على سبيل المثال، وكما يمكن رؤيته من جدول التوافقيات الكروية ، فإن وظائف p المعتادة ( ) معقدة وتمزج بين اتجاهات المحاور، ولكن الإصدارات الحقيقية هي في الأساس مجرد x و y و z . ${\displaystyle \ell =1}$

تنتج التوافقيات الكروية المعقدة التوافقيات الصلبة من خلال الامتداد من إلى جميع كدالة متجانسة من الدرجة ، أي الإعداد اتضح أن هو أساس فضاء التوافقيات والمتعددات الحدودية المتجانسة من الدرجة . وبشكل أكثر تحديدًا، إنه أساس Gelfand-Tsetlin (الفريد حتى التطبيع) لهذا التمثيل للمجموعة الدورانية ويمكن استنباط صيغة صريحة لـ في الإحداثيات الديكارتية من هذه الحقيقة. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \ell }$$${\displaystyle R_{\ell }^{m}(v):=\|v\|^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)}$$${\displaystyle R_{\ell }^{m}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle SO(3)}$${\displaystyle R_{\ell }^{m}}$

إذا تم اعتماد اتفاقية ميكانيكا الكم لـ ، فإليك، المتجه ذو المكونات ، ، وهو متجه ذو إحداثيات معقدة: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).}$$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle r=|\mathbf {r} |}$$${\displaystyle {\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i{\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat {y}} }\right).}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({\frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].}$

الخاصية الأساسية لـ هي أنها فارغة: ${\displaystyle \mathbf {a} }$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.}$$

يكفي أن نأخذ و كمعلمات حقيقية. في تسمية هذه الدالة المولدة باسم هيرجلوتز ، فإننا نتبع كورانت وهيلبرت 1962، §VII.7، اللذين يعزو اكتشافها إلى ملاحظات غير منشورة له. ${\displaystyle v}$${\displaystyle \lambda }$

يمكن استخلاص جميع خصائص التوافقيات الكروية بشكل أساسي من هذه الدالة المولدة. ^[15] إحدى الفوائد المباشرة لهذا التعريف هي أنه إذا تم استبدال المتجه بمشغل متجه الدوران الميكانيكي الكمومي ، بحيث يكون المشغل نظيرًا للتوافقيات الصلبة ، ^[16] نحصل على دالة مولدة لمجموعة موحدة من مشغلي الموتر الكروي ، : ${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })}$ ${\displaystyle r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)}$${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })}$

$${\displaystyle e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).}$$

يضمن التوازي بين التعريفين أن يتحول 's تحت الدورانات (انظر أدناه) بنفس الطريقة مثل 's، مما يضمن بدوره أنهما مشغلان موتر كرويان، ، مع و ، يخضعان لجميع خصائص مثل هذه المشغلات، مثل نظرية تكوين كلبش-جوردان ، ونظرية ويجنر-إيكارت . علاوة على ذلك، فهي مجموعة موحدة بمقياس ثابت أو تطبيع. ${\displaystyle {\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}}$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$${\displaystyle k={\ell }}$${\displaystyle q=m}$

تعريف هيرجلوتز يعطي حدوديات يمكن، إذا رغب المرء، تحليلها إلى حدوديات أخرى من و ، على النحو التالي (مرحلة كوندون-شورتلي): و بالنسبة لـ m = 0 : هنا و بالنسبة لهذا، يتم اختزاله إلى ${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\left(-1\right)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$$${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$$$${\displaystyle A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),}$$ $${\displaystyle B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),}$$$${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$$${\displaystyle m=0}$$${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}.}$$

العامل هو في الأساس متعدد الحدود ليجيندر المرتبط ، والعوامل هي في الأساس . ${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)}$${\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle (A_{m}\pm iB_{m})}$${\displaystyle e^{\pm im\varphi }}$

باستخدام التعبيرات الخاصة بـ ، ، والمذكورة صراحةً أعلاه نحصل على: ${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)}$${\displaystyle A_{m}(x,y)}$${\displaystyle B_{m}(x,y)}$$${\displaystyle Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \theta e^{i\varphi }\right)}$$

$${\displaystyle Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)}$$ يمكن التحقق من أن هذا يتفق مع الوظيفة المذكورة هنا وهنا .

باستخدام المعادلات أعلاه لتشكيل التوافقيات الكروية الحقيقية، نرى أنه بالنسبة للحدود (جيب التمام) فقط هي المضمنة، وبالنسبة للحدود (الجيب) فقط هي المضمنة: ${\displaystyle m>0}$${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle m<0}$${\displaystyle B_{m}}$

$${\displaystyle r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$ و لـ م = 0: $${\displaystyle r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.}$$

1. عندما يتم إرجاع التوافقيات الكروية إلى حدود ليجاندر العادية :${\displaystyle m=0}$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle Y_{\ell }^{0}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$$
2. عندما ، أو ببساطة أكثر في الإحداثيات الديكارتية،${\displaystyle m=\pm \ell }$$${\displaystyle Y_{\ell }^{\pm \ell }(\theta ,\varphi )={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}\sin ^{\ell }\theta \,e^{\pm i\ell \varphi },}$$$${\displaystyle r^{\ell }Y_{\ell }^{\pm \ell }({\mathbf {r} })={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}(x\pm iy)^{\ell }.}$$
3. عند القطب الشمالي، حيث ، و غير محدد، تختفي جميع التوافقيات الكروية باستثناء تلك التي تحتوي على:${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle m=0}$$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}\delta _{m0}.}$$

تتمتع التوافقيات الكروية بخصائص عميقة وتبعية تحت عمليات الانعكاس المكاني (التكافؤ) والدوران.

التوافقيات الكروية لها تكافؤ محدد. أي أنها إما زوجية أو فردية فيما يتعلق بالانعكاس حول الأصل. يتم تمثيل الانعكاس بواسطة العامل . إذن، كما يمكن رؤيته بعدة طرق (ربما ببساطة من دالة توليد هيرجلوتز)، مع كونها متجه وحدة، ${\displaystyle P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).}$$

من حيث الزوايا الكروية، يحول التكافؤ نقطة ذات إحداثيات إلى . وبالتالي فإن بيان تكافؤ التوافقيات الكروية هو (يمكن رؤية ذلك على النحو التالي: تعطي متعددات حدود ليجيندر المرتبطة (−1) ^{ℓ + m} ومن الدالة الأسية لدينا (−1) ^m ، مما يعطي معًا للتوافقيات الكروية تكافؤًا (−1) ^ℓ .) ${\displaystyle \{\theta ,\varphi \}}$${\displaystyle \{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}}$$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$

تظل التكافؤات قائمة بالنسبة للتوافقيات الكروية الحقيقية، وبالنسبة للتوافقيات الكروية في الأبعاد الأعلى: حيث يؤدي تطبيق انعكاس النقطة على التوافقية الكروية من الدرجة ℓ إلى تغيير الإشارة بعامل (−1) ^ℓ .

لنفترض أن هناك دورانًا حول الأصل يرسل متجه الوحدة إلى . وبموجب هذه العملية، يتحول التوافق الكروي من الدرجة والترتيب إلى تركيبة خطية من التوافقيات الكروية من نفس الدرجة. أي أن حيث هي مصفوفة من الترتيب تعتمد على الدوران . ومع ذلك، فهذه ليست الطريقة القياسية للتعبير عن هذه الخاصية. بالطريقة القياسية نكتب، ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m}$$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),}$$${\displaystyle A_{mm'}}$${\displaystyle (2\ell +1)}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),}$$ حيث هو المركب المركب لعنصر من مصفوفة Wigner D. وبشكل خاص عندما يكون دوران السمت نحصل على المتطابقة، ${\displaystyle D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}}$${\displaystyle \mathbf {r} '}$${\displaystyle \phi _{0}}$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0}}.}$$

ربما يكون السلوك الدوراني للتوافقيات الكروية هو السمة الأساسية لها من وجهة نظر نظرية المجموعة. توفر 's من الدرجة مجموعة أساسية من الدوال للتمثيل غير القابل للاختزال للمجموعة SO(3) ذات البعد . العديد من الحقائق حول التوافقيات الكروية (مثل نظرية الجمع) التي تم إثباتها بشق الأنفس باستخدام طرق التحليل تكتسب أدلة أبسط وأهمية أعمق باستخدام طرق التناظر. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle (2\ell +1)}$

تشكل التوافقيات الكروية لابلاس مجموعة كاملة من الدوال المتعامدة العمودية وبالتالي تشكل أساسًا متعامدًا عموديًا لمساحة هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي . على الكرة الوحدوية ، يمكن توسيع أي دالة قابلة للتكامل التربيعي كتركيبة خطية مما يلي: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

ينطبق هذا التوسع بمعنى تقارب متوسط ​​المربعات - التقارب في L ² للكرة - وهذا يعني أن

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.}$$

معاملات التوسع هي نظائر لمعاملات فورييه ، ويمكن الحصول عليها عن طريق ضرب المعادلة أعلاه بالمترافق المركب للتوافقية الكروية، والتكامل على الزاوية الصلبة Ω، والاستفادة من علاقات التعامد أعلاه. وهذا مبرر بدقة من خلال نظرية فضاء هيلبرت الأساسية. في حالة التوافقيات المتعامدة، يعطي هذا:

$${\displaystyle f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).}$$

إذا كانت المعاملات تتحلل في ℓ بسرعة كافية - على سبيل المثال، بشكل أسي - فإن السلسلة تتقارب أيضًا بشكل موحد إلى f .

يمكن أيضًا توسيع الدالة القابلة للتكامل التربيعي من حيث التوافقيات الحقيقية أعلاه كمجموع ${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ).}$$

ينطبق تقارب السلسلة مرة أخرى بنفس المعنى، أي أن التوافقيات الكروية الحقيقية تشكل مجموعة كاملة من الدوال المتعامدة العمودية وبالتالي تشكل أساسًا متعامدًا عموديًا لمساحة هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي . تكمن فائدة التوسع من حيث الدوال التوافقية الحقيقية في أنه بالنسبة للدوال الحقيقية، من المضمون أن تكون معاملات التوسع حقيقية، في حين أن معاملاتها في توسعها من حيث (باعتبارها دوال ) لا تمتلك هذه الخاصية. ${\displaystyle Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})}$${\displaystyle Y_{\ell m}}$${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{\ell m}}$${\displaystyle f_{\ell }^{m}}$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$${\displaystyle f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R} }$

This section needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources in this section. Unsourced material may be challenged and removed. (July 2020) (Learn how and when to remove this message)

يتم تعريف القدرة الكلية للدالة f في أدبيات معالجة الإشارات على أنها تكامل الدالة التربيعية، مقسومًا على مساحة مجالها. باستخدام خصائص التعامد العمودي للدوال التوافقية الكروية ذات القدرة الوحدوية الحقيقية، من السهل التحقق من أن القدرة الكلية للدالة المحددة على الكرة الوحدوية مرتبطة بمعاملاتها الطيفية من خلال تعميم نظرية بارسيفال (هنا، يتم ذكر النظرية للتوافقيات شبه المعيارية لشميدت، والعلاقة مختلفة قليلاً للتوافقيات المتعامدة العمودية):

$${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),}$$ أين $${\displaystyle S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m}|^{2}}$$

يتم تعريفه على أنه طيف القدرة الزاوية (للتوافقيات شبه الطبيعية لشميدت). وبطريقة مماثلة، يمكن تعريف القدرة المتقاطعة لدالتين على النحو التالي : $${\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),}$$$${\displaystyle S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ell m}^{\ast }}$$

يُعرَّف بأنه طيف القوى المتقاطعة. إذا كان للدالتين f و g متوسط ​​صفري (أي أن معاملات الطيف f ₀₀ و g ₀₀ تساوي صفرًا)، فإن S _ff ( ℓ ) و S _fg ( ℓ ) يمثلان المساهمات في تباين الدالة وتباينها للدرجة ℓ ، على التوالي. من الشائع أن يتم تقريب طيف القوى المتقاطعة جيدًا بواسطة قانون قوة من الشكل

$${\displaystyle S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.}$$

عندما يكون β = 0 ، يكون الطيف "أبيض" حيث تمتلك كل درجة قوة متساوية. عندما يكون β < 0 ، يُطلق على الطيف اسم "أحمر" حيث توجد قوة أكبر عند الدرجات المنخفضة ذات الأطوال الموجية الطويلة مقارنة بالدرجات الأعلى. أخيرًا، عندما يكون β > 0 ، يُطلق على الطيف اسم "أزرق". ترتبط الحالة في ترتيب نمو S _ff ( ℓ ) بترتيب قابلية التفاضل لـ f في القسم التالي.

يمكننا أيضًا فهم خصائص قابلية التفاضل للدالة الأصلية f من حيث مقاربات S _ff ( ℓ ) . على وجه الخصوص، إذا كانت S _ff ( ℓ ) تتحلل بشكل أسرع من أي دالة نسبية لـ ℓ مثل ℓ → ∞ ، فإن f قابلة للتفاضل بلا حدود . علاوة على ذلك، إذا كانت S _ff ( ℓ ) تتحلل بشكل أسي، فإن f تكون في الواقع تحليلية حقيقية على الكرة.

التقنية العامة هي استخدام نظرية فضاءات سوبوليف . تكون العبارات التي تربط نمو S _ff ( ℓ ) بالقابلية للتفاضل مماثلة للنتائج المماثلة لنمو معاملات متسلسلة فورييه . على وجه التحديد، إذا كانت f في فضاء سوبوليف H ^s ( S ² ) . على وجه الخصوص، تعني نظرية تضمين سوبوليف أن f قابلة للتفاضل بلا حدود بشرط أن يكون لجميع s . $${\displaystyle \sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,}$$$${\displaystyle S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}}$$

تُسمى النتيجة الرياضية ذات الأهمية والاستخدام الكبيرين بنظرية الجمع للتوافقيات الكروية. إذا كان هناك متجهان r و r′ ، بإحداثيات كروية و ، على التوالي، فإن الزاوية بينهما تُعطى بالعلاقة التي تلعب فيها التوافقيات الكروية دور الدوال المثلثية التي تظهر على الجانب الأيمن، بينما تلعب حدود ليجاندر دور الجانب الأيسر . ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle (r',\theta ',\varphi ')}$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')}$$

تنص نظرية الجمع على ^[17]

$${\displaystyle P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\mathbf {y} )\,Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\quad \forall \,\ell \in \mathbb {N} _{0}\;\forall \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}\colon \;\|\mathbf {x} \|_{2}=\|\mathbf {y} \|_{2}=1\,,}$$

( 1 )

حيث P _ℓ هي متعددة حدود ليجيندر من الدرجة ℓ . هذا التعبير صالح لكل من التوافقيات الحقيقية والمعقدة. ^[18] يمكن إثبات النتيجة تحليليًا، باستخدام خصائص نواة بواسون في الكرة الوحدوية، أو هندسيًا عن طريق تطبيق دوران على المتجه y بحيث يشير على طول المحور z ، ثم حساب الجانب الأيمن مباشرة. ^[19]

على وجه الخصوص، عندما x = y ، فإن هذا يعطي نظرية أونسولد ^[20] التي تعمم المتطابقة cos ² θ + sin ² θ = 1 إلى بعدين. $${\displaystyle \sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell m}(\mathbf {x} )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}}$$

في التوسع ( 1 )، يكون الجانب الأيسر مضاعفًا ثابتًا للتوافقية الكروية النطاقية من الدرجة ℓ . ومن هذا المنظور، لدينا التعميم التالي للأبعاد الأعلى. دع Y _j يكون أساسًا متعامدًا اعتباطيًا للفضاء H _ℓ للتوافقيات الكروية من الدرجة ℓ على الكرة n . ثم ، تتحلل التوافقية النطاقية من الدرجة ℓ المقابلة لمتجه الوحدة x ، على النحو التالي ^[21]${\displaystyle P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$ ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}$

$${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}{\overline {Y_{j}({\mathbf {x} })}}\,Y_{j}({\mathbf {y} })}$$

( 2 )

علاوة على ذلك، يتم إعطاء التوافقي الإقليمي كمضاعف ثابت لمتعددة حدود Gegenbauer المناسبة : ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })}$

$${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=C_{\ell }^{((n-2)/2)}({\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {y} })}$$

( 3 )

يؤدي الجمع بين ( 2 ) و( 3 ) إلى ( 1 ) في البعد n = 2 عندما يتم تمثيل x و y في إحداثيات كروية. وأخيرًا، يؤدي التقييم عند x = y إلى الحصول على الهوية الوظيفية حيث ω _{n −1} هو حجم الكرة ( n −1). $${\displaystyle {\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}}$$

تعبر هوية مفيدة أخرى عن حاصل ضرب توافقيتين كرويتين كمجموع على التوافقيات الكروية ^[22] العديد من الحدود في هذا المجموع تساوي صفرًا بشكل تافه. يتم تحديد قيم و التي تؤدي إلى حدود غير صفرية في هذا المجموع من خلال قواعد الاختيار للرموز 3j . $${\displaystyle Y_{a,\alpha }\left(\theta ,\varphi \right)Y_{b,\beta }\left(\theta ,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c}\left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c,\gamma }\left(\theta ,\varphi \right).}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle \gamma }$

معاملات كلبش-جوردان هي المعاملات التي تظهر في توسع حاصل ضرب التوافقيتين الكرويتين من حيث التوافقيتين الكرويتين أنفسهما. تتوفر مجموعة متنوعة من التقنيات لإجراء نفس الحساب بشكل أساسي، بما في ذلك رمز Wigner 3-jm ومعاملات Racah وتكاملات Slater . بشكل تجريدي، تعبر معاملات كلبش-جوردان عن حاصل ضرب الموتر لتمثيلين غير قابلين للاختزال لمجموعة الدوران كمجموع تمثيلات غير قابلة للاختزال: بعد تطبيعها بشكل مناسب، تصبح المعاملات هي المضاعفات.

يمكن تصور التوافقيات الكروية لابلاس من خلال النظر في " خطوطها العقدية "، أي مجموعة النقاط على الكرة حيث ، أو بدلاً من ذلك حيث . تتكون الخطوط العقدية لـ من دوائر ℓ : يوجد دوائر | م | على طول خطوط الطول ودوائر ℓ −| م | على طول خطوط العرض. يمكن للمرء تحديد عدد الخطوط العقدية لكل نوع من خلال حساب عدد أصفار في اتجاهي و على التوالي. بالنظر إلى أن المكونات الحقيقية والتخيلية لمتعددات حدود ليجاندر المرتبطة بها تمتلك كل منها ℓ −| م | أصفار، كل منها يؤدي إلى نشوء "خط عرض" عقدي. من ناحية أخرى، بالنظر إلى أن دالة لـ ، تمتلك الدوال المثلثية جيب وجيب التمام 2| م | أصفار، كل منها يؤدي إلى نشوء "خط طول" عقدي. ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$${\displaystyle \Re [Y_{\ell }^{m}]=0}$${\displaystyle \Im [Y_{\ell }^{m}]=0}$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$${\displaystyle \varphi }$

عندما يكون ترتيب التوافقيات الكروية m يساوي صفرًا (أعلى اليسار في الشكل)، فإن الدوال التوافقية الكروية لا تعتمد على خط الطول، ويشار إليها باسم النطاقي . هذه التوافقيات الكروية هي حالة خاصة من الدوال الكروية النطاقية . عندما ℓ = | m | (أسفل اليمين في الشكل)، لا توجد تقاطعات صفرية في خط العرض، ويشار إلى الدوال باسم القطاعي . في الحالات الأخرى، تتحقق الدوال من الكرة، ويشار إليها باسم رباعية الأبعاد .

التوافقيات الكروية الأكثر عمومية من الدرجة ℓ ليست بالضرورة تلك الخاصة بأساس لابلاس ، ويمكن أن تكون مجموعاتها العقدية من نوع عام إلى حد ما. ^[23]${\displaystyle Y_{\ell }^{m}}$

التعبيرات التحليلية للعدد القليل الأول من التوافقيات الكروية اللابلاسية المتعامدة التي تستخدم اتفاقية طور كوندون-شورتلي: ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{aligned}}}$$

تُعرَّف التوافقيات الكروية الكلاسيكية على أنها دوال ذات قيمة معقدة على الكرة الوحدوية داخل الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . يمكن تعميم التوافقيات الكروية على الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد الأعلى على النحو التالي، مما يؤدي إلى الدوال . ^[24] دع P _ℓ تشير إلى فضاء الحدود المتجانسة ذات القيمة المعقدة من الدرجة ℓ في n متغير حقيقي، والتي تعتبر هنا دوال . أي أن الحدود p موجودة في P _ℓ بشرط أن يكون لأي عدد حقيقي ، ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} ).}$$

ليكن A _ℓ هو الفضاء الجزئي لـ P _ℓ الذي يتكون من جميع الحدود التوافقية : هذه هي التوافقيات الكروية الصلبة (العادية) . ليكن H _ℓ هو فضاء الدوال على الكرة الوحدوية التي تم الحصول عليها عن طريق التقييد من A _ℓ$${\displaystyle \mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.}$$$${\displaystyle S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}}$$ $${\displaystyle \mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ for some }}p\in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in S^{n-1}\right\}.}$$

تتمتع بالخصائص التالية:

• مجموع المساحات H _ℓ كثيف في مجموعة الدوال المستمرة على بالنسبة إلى الطوبولوجيا المنتظمة ، وفقًا لنظرية ستون-فايرشتراس . ونتيجة لذلك، فإن مجموع هذه المساحات كثيف أيضًا في الفضاء L ² ( S ^{n −1} ) للدوال القابلة للتكامل التربيعي على الكرة. وبالتالي فإن كل دالة قابلة للتكامل التربيعي على الكرة تتحلل بشكل فريد إلى سلسلة من التوافقيات الكروية، حيث تتقارب السلسلة بمعنى L ² .${\displaystyle C(S^{n-1})}$${\displaystyle S^{n-1}}$
• بالنسبة لجميع f ∈ H _ℓ ، يكون لدينا حيث Δ _{S ^{n −1}} هو عامل لابلاس-بلترامي على S ^{n −1} . هذا العامل هو نظير الجزء الزاوي من لابلاس في ثلاثة أبعاد؛ بمعنى آخر، يتحلل لابلاس في n بُعد على النحو التالي$${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.}$$$${\displaystyle \nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}}$$
• يتبع من نظرية ستوكس والخاصية السابقة أن الفراغات H _ℓ متعامدة بالنسبة للحاصل الداخلي من L ² ( S ^{n −1} ) . وهذا يعني، بالنسبة لـ f ∈ H _ℓ و g ∈ H _k بالنسبة لـ k ≠ ℓ .$${\displaystyle \int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \Omega =0}$$
• وعلى العكس من ذلك، فإن المساحات H _ℓ هي على وجه التحديد المساحات الذاتية لـ Δ _{S ^{n −1}} . وعلى وجه الخصوص، فإن تطبيق النظرية الطيفية على جهد ريز يعطي دليلاً آخر على أن المساحات H _ℓ متعامدة في أزواج ومكتملة في L ² ( S ^{n −1} ) .${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}^{-1}}$
• يمكن كتابة كل متعددة حدود متجانسة p ∈ P _ℓ بشكل فريد في الشكل ^[25] حيث p _j ∈ A _j . على وجه الخصوص،$${\displaystyle p(x)=p_{\ell }(x)+|x|^{2}p_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }p_{0}&\ell {\rm {\ even}}\\|x|^{\ell -1}p_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}}$$$${\displaystyle \dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}={\binom {n+\ell -2}{n-2}}+{\binom {n+\ell -3}{n-2}}.}$$

يمكن إنشاء أساس متعامد للتوافقيات الكروية في أبعاد أعلى استقرائيًا بطريقة فصل المتغيرات ، وذلك بحل مشكلة ستورم-ليوفيل للابلاسي الكروي حيث φ هو الإحداثي المحوري في نظام إحداثيات كروية على S ^{n −1} . والنتيجة النهائية لمثل هذا الإجراء هي ^[26] حيث تلبي المؤشرات | ℓ ₁ | ≤ ℓ ₂ ≤ ⋯ ≤ ℓ _{n −1} والقيمة الذاتية هي − ℓ _{n −1} ( ℓ _{n −1} + n −2) . يتم تعريف الدوال في الحاصل من حيث دالة ليجيندر$${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}}$$ $${\displaystyle Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})}$$ $${\displaystyle {}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.}$$

الفضاء H _ℓ للتوافقيات الكروية من الدرجة ℓ هو تمثيل لمجموعة التناظر للدورانات حول نقطة ( SO(3) ) وغطائها المزدوج SU(2) . في الواقع، تعمل الدورات على الكرة ثنائية الأبعاد ، وبالتالي أيضًا على H _ℓ من خلال تكوين الدالة لـ ψ التوافقية الكروية والدوران ρ . التمثيل H _ℓ هو تمثيل غير قابل للاختزال لـ SO(3). ^[27]$${\displaystyle \psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}}$$

تنشأ عناصر H _ℓ كقيود على مجال عناصر A _ℓ : حدود متجانسة متناغمة من الدرجة ℓ على فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد R ^3. من خلال استقطاب ψ ∈ A _ℓ ، توجد معاملات متماثلة على المؤشرات، يتم تحديدها بشكل فريد من خلال المتطلب. الشرط الذي ينص على أن ψ متناغم يعادل التأكيد على أن الموتر يجب أن يكون خاليًا من التتبع على كل زوج من المؤشرات. وبالتالي، كتمثيل غير قابل للاختزال لـ SO(3) ، فإن H _ℓ متماثل مع فضاء الموتر المتماثل الخالي من التتبع من الدرجة ℓ . ${\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}}$$${\displaystyle \psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.}$$ ${\displaystyle \psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}}$

وبشكل عام، تنطبق العبارات المماثلة في الأبعاد الأعلى: فالمساحة H _ℓ للتوافقيات الكروية على الكرة n هي التمثيل غير القابل للاختزال لـ SO( n +1) المقابل لموترات ℓ المتماثلة التي لا تتبع أي أثر . ومع ذلك، في حين أن كل تمثيل موتر غير قابل للاختزال لـ SO(2) و SO(3) هو من هذا النوع، فإن المجموعات المتعامدة الخاصة في الأبعاد الأعلى لها تمثيلات غير قابلة للاختزال إضافية لا تنشأ بهذه الطريقة.

تحتوي المجموعات المتعامدة الخاصة على تمثيلات دوران إضافية ليست تمثيلات موتر، وعادةً ما لا تكون توافقيات كروية. الاستثناء هو تمثيل الدوران لـ SO(3): بالمعنى الدقيق للكلمة، هذه تمثيلات للغطاء المزدوج SU(2) لـ SO(3). في المقابل، يتم تحديد SU(2) بمجموعة رباعيات الوحدة ، وبالتالي تتزامن مع الكرة 3. مساحات التوافقيات الكروية على الكرة 3 هي تمثيلات دوران معينة لـ SO(3)، فيما يتعلق بالفعل عن طريق الضرب الرباعي.

يمكن تقسيم التوافقيات الكروية إلى مجموعتين من الوظائف. ^[28] إحداهما هي الوظائف نصف الكروية (HSH)، المتعامدة والكاملة على نصف الكرة. والأخرى هي التوافقيات نصف الكروية التكميلية (CHSH).

يتم وصف التناظرات المحافظة على الزاوية للكرة ذات الكرتين بواسطة مجموعة تحويلات موبيوس PSL(2, C ). وفيما يتعلق بهذه المجموعة، تكون الكرة مكافئة لكرة ريمان المعتادة . المجموعة PSL(2, C ) متماثلة مع مجموعة لورنتز (الحقيقية) ، وتأثيرها على الكرة ذات الكرتين يتفق مع تأثير مجموعة لورنتز على الكرة السماوية في فضاء مينكوفسكي . يتم إعطاء نظير التوافقيات الكروية لمجموعة لورنتز بواسطة السلسلة فوق الهندسية ؛ وعلاوة على ذلك، يمكن إعادة التعبير عن التوافقيات الكروية من حيث السلسلة فوق الهندسية، حيث أن SO(3) = PSU(2) هي مجموعة فرعية من PSL(2, C ) .

بشكل عام، يمكن تعميم سلسلة هندسية فائقة لوصف تماثلات أي فضاء متماثل ؛ وعلى وجه الخصوص، يمكن تطوير سلسلة هندسية فائقة لأي مجموعة لي . ^{[29] [30] [31] [32]}

• كورانت، ريتشارد ؛ هيلبرت، ديفيد (1962)، طرق الفيزياء الرياضية، المجلد الأول ، وايلي-إنترسايس.
• إدموندز، أر (1957)، الزخم الزاوي في ميكانيكا الكم ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 0-691-07912-9
• Eremenko, Alexandre; Jakobson, Dmitry; Nadirashvili, Nikolai (2007), "On nodal sets and nodal domains on S² and R²", Annales de l'Institut Fourier , 57 (7): 2345–2360, doi : 10.5802/aif.2335 , ISSN  0373-0956, MR  2394544
• هال، بريان سي. (2013)، نظرية الكم للرياضيين ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 267، سبرينغر، رقم ISBN 978-1461471158
• ماكروبرت، تي إم (1967)، التوافقيات الكروية: أطروحة أولية عن الوظائف التوافقية، مع التطبيقات ، مطبعة بيرغامون.
• ماير، بول هيرمان إرنست؛ باور، إدموند (2004)، نظرية المجموعة: التطبيق على ميكانيكا الكم ، دوفر، ISBN 978-0-486-43798-9.
• Solomentsev, ED (2001) [1994]، "التوافقيات الكروية"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press.
• شتاين، إلياس ؛ وايس، جيدو (1971)، مقدمة إلى تحليل فورييه في الفضاءات الإقليدية ، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 978-0-691-08078-9.
• Unsöld، Albrecht (1927)، “Beiträge zur Quantenmechanik der Atome”، Annalen der Physik ، 387 (3): 355–393، بيب كود :1927AnP...387..355U، دوى :10.1002/andp.19273870304.
• ويتاكر، إي تي ؛ واتسون، جي إن (1927)، دورة في التحليل الحديث ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ص 392.

• إي دبليو هوبسون، نظرية التوافقيات الكروية والإهليلجية ، (1955) دار تشيلسي للنشر، رقم ISBN 978-0-8284-0104-3 . 
• C. Müller، التوافقيات الكروية ، (1966) Springer، ملاحظات المحاضرة في الرياضيات، المجلد 17، ISBN 978-3-540-03600-5 . 
• EU Condon وGH Shortley، نظرية الأطياف الذرية ، (1970) مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-09209-4 ، انظر الفصل 3 . 
• JD Jackson، الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ، ISBN 0-471-30932-X 
• ألبرت ميسيا، ميكانيكا الكم ، المجلد الثاني. (2000) دوفر. ISBN 0-486-40924-4 . 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 6.7. Spherical Harmonics", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• DA Varshalovich، AN Moskalev، VK Khersonskii نظرية الكم للزخم الزاوي ، (1988) شركة النشر العلمي العالمية، سنغافورة، ISBN 9971-5-0107-4 
• وايسشتاين، إريك دبليو. "التوافقيات الكروية". MathWorld .
• مادوك، جون، التوافقيات الكروية في Boost.Math

• التوافقيات الكروية في MathWorld
• تمثيل ثلاثي الأبعاد للتوافقيات الكروية