مشغل سلم

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 100 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر الخطي (وتطبيقه في ميكانيكا الكم )، يُعرف عامل الرفع أو الخفض (ويُطلق عليهما مجتمعين عوامل السلم ) بأنه عامل يزيد أو يُنقص القيمة الذاتية لعامل آخر. في ميكانيكا الكم، يُعرف عامل الرفع وعامل الخفض عادةً بعاملي الإنشاء والإفناء ، على التوالي. من التطبيقات المعروفة لعوامل السلم في ميكانيكا الكم، استخدامها في صياغة المذبذب التوافقي الكمومي والزخم الزاوي .

مصطلحات

توجد علاقة بين مُعاملات رفع وخفض السلم ومُعاملات الإنشاء والإفناء الشائعة الاستخدام في نظرية الحقل الكمومي ، والتي تكمن في نظرية التمثيل . يزيد مُعامل الإنشاء aᵢ † عدد الجسيمات في الحالة i ، بينما يُنقص مُعامل الإفناء المُقابل aᵢ عدد الجسيمات في الحالة i . وهذا يُلبي بوضوح متطلبات التعريف المذكور أعلاه لمُعامل السلم: زيادة أو إنقاص القيمة الذاتية لمُعامل آخر (في هذه الحالة مُعامل عدد الجسيمات ).

ينشأ الالتباس لأن مصطلح "عامل السلم" يُستخدم عادةً لوصف عامل يعمل على زيادة أو إنقاص عدد كمي يصف حالة النظام. لتغيير حالة جسيم باستخدام عاملي الإنشاء/الإفناء في نظرية الحقول الكمومية، يلزم استخدام كلٍّ من عاملي الإفناء والإنشاء. يُستخدم عامل الإفناء لإزالة جسيم من الحالة الابتدائية ، بينما يُستخدم عامل الإنشاء لإضافة جسيم إلى الحالة النهائية.

يُستخدم مصطلح "عامل السلم" أو "عوامل الرفع والخفض" أحيانًا في الرياضيات، في سياق نظرية جبر لي، وخاصةً جبر لي الأفيني . على سبيل المثال، لوصف الجبر الجزئي su(2) ، يمكن بناء نظام الجذور ووحدات الوزن الأعلى باستخدام عوامل السلم. [ 1 ] على وجه الخصوص، يتم إفناء الوزن الأعلى بواسطة عوامل الرفع؛ ويتم الحصول على بقية فضاء الجذور الموجبة من خلال تطبيق عوامل الخفض بشكل متكرر (مجموعة واحدة من عوامل السلم لكل جبر جزئي).

الدافع من الرياضيات

من منظور نظرية التمثيل، يُنتج التمثيل الخطي لمجموعة لي شبه البسيطة في معاملات حقيقية متصلة مجموعة من المولدات لجبر لي. وتُعرف التركيبة الخطية المعقدة لهذه المولدات بمؤثرات السلم . لكل معامل، توجد مجموعة من مؤثرات السلم؛ وهي بالتالي طريقة معيارية للتنقل في بُعد واحد من نظام الجذر وشبكة الجذر . [ 2 ] تُعد مؤثرات السلم للمذبذب التوافقي الكمومي أو "التمثيل العددي" للتكميم الثاني حالات خاصة من هذه الحقيقة. ومن ثم، تصبح مؤثرات السلم شائعة في ميكانيكا الكم، بدءًا من مؤثر الزخم الزاوي ، مرورًا بالحالات المتماسكة ، وصولًا إلى مؤثرات الإزاحة المغناطيسية المنفصلة .

التركيبة العامة

لنفترض أن المؤثرين X و N لهما علاقة تبادلية[شمال،X]=جX{\displaystyle [N,X]=cX} لبعض القيم العددية c . إذا|ن⟩{\displaystyle {|n\rangle }}هي حالة ذاتية لـ N ذات معادلة قيمة ذاتية شمال|ن⟩=ن|ن⟩،{\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle ,}ثم يعمل المؤثر X على|ن⟩{\displaystyle |n\rangle }بطريقة تؤدي إلى تغيير القيمة الذاتية بمقدار c : شمالX|ن⟩=(Xشمال+[شمال،X])|ن⟩=Xشمال|ن⟩+[شمال،X]|ن⟩=Xن|ن⟩+جX|ن⟩=(ن+ج)X|ن⟩.{\displaystyle {\begin{align}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{محاذاة}}}

بمعنى آخر، إذا|ن⟩{\displaystyle |n\rangle }إذا كانت حالة ذاتية لـ N ذات قيمة ذاتية n ، فإنX|ن⟩{\displaystyle X|n\rangle }هي حالة ذاتية للمصفوفة N بقيمة ذاتية n + c أو تساوي صفرًا. المؤثر X هو مؤثر رفع للمصفوفة N إذا كان c حقيقيًا وموجبًا، ومؤثر خفض للمصفوفة N إذا كان c حقيقيًا وسالبًا.

إذا كان N مؤثرًا هيرميتيًا ، فإن c يجب أن يكون عددًا حقيقيًا، ويخضع المؤثر الهيرميتي المرافق لـ X لعلاقة التبادل. [شمال،X†]=-جX†.{\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.}

على وجه الخصوص، إذا كان X عامل خفض لـ N ، فإن X † عامل رفع لـ N والعكس صحيح.

الزخم الزاوي

يُستخدم مفهوم مُؤثر السلم بشكلٍ خاص في المعالجة الكمومية للزخم الزاوي . بالنسبة لمتجه الزخم الزاوي العام J ذي المركبات Jx و Jy و Jz ، يُعرَّف مُؤثرا السلم [ 3 ] .ج+=جx+أناجy،ج-=جx-أناجy،{\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&=J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&=J_{x}-iJ_{y},\end{aligned}}} حيث i هي الوحدة التخيلية .

تُعطى علاقة التبادل بين المركبات الديكارتية لأي مؤثر زخم زاوي بالصيغة التالية:[جأنا،جج]=أناℏϵأناجكجك،{\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k},} حيث ε ijk هو رمز ليفي-سيفيتا ، ويمكن لكل من i و j و k أن يأخذ أيًا من القيم x و y و z .

ومن هذا، يتم الحصول على علاقات التبادل بين عوامل السلم و J z :[جz،ج±]=±ℏج±،[ج+،ج-]=2ℏجz{\displaystyle {\begin{aligned}{}[J_{z},J_{\pm }]&=\pm \hbar J_{\pm },\\{}[J_{+},J_{-}]&=2\hbar J_{z}\end{aligned}}} (من الناحية الفنية، هذا هو جبر لي لـsل(2،R){\displaystyle {{\mathfrak {s}}l}(2,\mathbb {R} )}).

يمكن تحديد خصائص عوامل السلم من خلال ملاحظة كيفية تعديلها لتأثير عامل J z على حالة معينة: جzج±|جم⟩=(ج±جz+[جz،ج±])|جم⟩=(ج±جz±ℏج±)|جم⟩=ℏ(م±1)ج±|جم⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j\,m\rangle &={\big (}J_{\pm }J_{z}+[J_{z},J_{\pm }]{\big )}|j\,m\rangle \\&=(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm })|j\,m\rangle \\&=\hbar (m\pm 1)J_{\pm }|j\,m\rangle .\end{aligned}}}

قارن هذه النتيجة مع جz|ج(م±1)⟩=ℏ(م±1)|ج(م±1)⟩.{\displaystyle J_{z}|j\,(m\pm 1)\rangle =\hbar (m\pm 1)|j\,(m\pm 1)\rangle .}

وبالتالي، يستنتج المرء أنج±|جم⟩{\displaystyle {J_{\pm }|j\,m\rangle }}هو عدد قياسي مضروب في|ج(م±1)⟩{\displaystyle {|j\,(m\pm 1)\rangle }}: ج+|جم⟩=α|ج(م+1)⟩،ج-|جم⟩=β|ج(م-1)⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j\,m\rangle &=\alpha |j\,(m+1)\rangle ,\\J_{-}|j\,m\rangle &=\beta |j\,(m-1)\rangle .\end{aligned}}}

يوضح هذا السمة المميزة لمؤثرات السلم في ميكانيكا الكم: زيادة (أو إنقاص) عدد كمي، وبالتالي تحويل حالة كمية إلى أخرى. ولهذا السبب تُعرف غالبًا بمؤثرات الرفع والخفض.

للحصول على قيمتي α و β ، خذ أولاً معيار كل مؤثر، مع العلم أن J + و J − زوج مترافق هيرميتي (ج±=ج∓†{\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }}): ⟨جم|ج+†ج+|جم⟩=⟨جم|ج-ج+|جم⟩=⟨ج(م+1)|α*α|ج(م+1)⟩=|α|2،⟨جم|ج-†ج-|جم⟩=⟨جم|ج+ج-|جم⟩=⟨ج(م-1)|β*β|ج(م-1)⟩=|β|2.{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{-}J_{+}|j\,m\rangle =\langle j\,(m+1)|\alpha ^{*}\alpha |j\,(m+1)\rangle =|\alpha |^{2},\\&\langle j\,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,m|J_{+}J_{-}|j\,m\rangle =\langle j\,(m-1)|\beta ^{*}\beta |j\,(m-1)\rangle =|\beta |^{2}.\end{aligned}}}

يمكن التعبير عن ناتج عوامل السلم بدلالة الزوج التبادلي J 2 و J z : ج-ج+=(جx-أناجy)(جx+أناجy)=جx2+جy2+أنا[جx،جy]=ج2-جz2-ℏجz،ج+ج-=(جx+أناجy)(جx-أناجy)=جx2+جy2-أنا[جx،جy]=ج2-جz2+ℏجz.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}}

وبالتالي ، يمكن التعبير عن قيم | α | ² و | β | ² بدلالة القيم الذاتية لـ J² و Jz :|α|2=ℏ2ج(ج+1)-ℏ2م2-ℏ2م=ℏ2(ج-م)(ج+م+1)،|β|2=ℏ2ج(ج+1)-ℏ2م2+ℏ2م=ℏ2(ج+م)(ج-م+1).{\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}}

لا تُعدّ أطوار α و β ذات دلالة فيزيائية، لذا يمكن اختيارها لتكون موجبة وحقيقية ( اتفاقية أطوار كوندون-شورتلي ). وبالتالي ، لدينا [ 4 ]ج+|ج،م⟩=ℏ(ج-م)(ج+م+1)|ج،م+1⟩=ℏج(ج+1)-م(م+1)|ج،م+1⟩،ج-|ج،م⟩=ℏ(ج+م)(ج-م+1)|ج،م-1⟩=ℏج(ج+1)-م(م-1)|ج،م-1⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}}

تأكيد أن قيمة m محدودة بقيمة j (-ج≤م≤ج{\displaystyle -j\leq m\leq j}، لدى المرء ج+|ج،+ج⟩=0،ج-|ج،-ج⟩=0.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,\,+j\rangle &=0,\\J_{-}|j,\,-j\rangle &=0.\end{aligned}}}

إن البرهان المذكور أعلاه هو في الواقع بناء معاملات كليبيش-غوردان .

تطبيقات في الفيزياء الذرية والجزيئية

تتضمن العديد من الحدود في هاميلتونيان الأنظمة الذرية أو الجزيئية الضرب القياسي لمؤثرات الزخم الزاوي. ومن الأمثلة على ذلك حد ثنائي القطب المغناطيسي في هاميلتونيان البنية الفائقة الدقة : [ 5 ]ح^د=أ^أنا⋅ج،{\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}={\hat {A}}\mathbf {I} \cdot \mathbf {J} ,} حيث يمثل I اللف المغزلي النووي.

يمكن تبسيط جبر الزخم الزاوي غالبًا بإعادة صياغته في الأساس الكروي . باستخدام ترميز مؤثرات الموتر الكروي ، تُعطى المكونات "−1" و"0" و"+1" لـ J (1) ≡ J بواسطة [ 6 ].ج-1(1)=12(جx-أناجy)=ج-2،ج0(1)=جz،ج+1(1)=-12(جx+أناجy)=-ج+2.{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-1}^{(1)}&={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}-iJ_{y})={\dfrac {J_{-}}{\sqrt {2}}},\\J_{0}^{(1)}&=J_{z},\\J_{+1}^{(1)}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(J_{x}+iJ_{y})=-{\frac {J_{+}}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}

انطلاقاً من هذه التعريفات، يمكن إثبات أن الضرب القياسي المذكور أعلاه يمكن توسيعه على النحو التالي: أنا(1)⋅ج(1)=∑ن=-1+1(-1)نأنان(1)ج-ن(1)=أنا0(1)ج0(1)-أنا-1(1)ج+1(1)-أنا+1(1)ج-1(1).{\displaystyle \mathbf {I} ^{(1)}\cdot \mathbf {J} ^{(1)}=\sum _{n=-1}^{+1}(-1)^{n}I_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)}=I_{0}^{(1)}J_{0}^{(1)}-I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)}-I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}.}

تكمن أهمية هذا التوسع في أنه يشير بوضوح إلى الحالات التي ترتبط بهذا الحد في الهاميلتوني، أي تلك التي تختلف أعدادها الكمية بمقدار m i = ±1 و m j = ∓1 فقط .

المذبذب التوافقي

يُستخدم مفهوم مُؤثر السلم أيضًا في المعالجة الميكانيكية الكمومية للمذبذب التوافقي. ويمكننا تعريف مُؤثري الخفض والرفع على النحو التالي: أ^=مω2ℏ(x^+أنامωص^)،أ^†=مω2ℏ(x^-أنامωص^).{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right),\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right).\end{aligned}}}

إنها توفر وسيلة ملائمة لاستخراج القيم الذاتية للطاقة دون حل المعادلة التفاضلية للنظام بشكل مباشر .

عامل السلم المطبق على مستويات طاقة المذبذب التوافقي: أ^†|ن⟩=ن+1|ن+1⟩،أ^|ن⟩=ن|ن-1⟩.{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle ,\\{\hat {a}}|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}

ذرة شبيهة بالهيدروجين

هناك نهجان رئيسيان مذكوران في الأدبيات باستخدام عوامل السلم، أحدهما يستخدم متجه لابلاس-رونج-لينز، والآخر يستخدم تحليل الهاميلتوني.

متجه لابلاس-رونج-لينز

يُستخدم مفهوم مُؤثر السلم أيضًا في المعالجة الميكانيكية الكمومية للطاقة الإلكترونية للذرات والأيونات الشبيهة بالهيدروجين. يتبادل متجه لابلاس-رونج-لينز مع الهاميلتوني في حالة جهد كروي متناظر عكسيًا تربيعيًا، ويمكن استخدامه لتحديد مُؤثرات السلم لهذا الجهد. [ 7 ] [ 8 ] ويمكننا تعريف مُؤثري الخفض والرفع (استنادًا إلى متجه لابلاس-رونج-لينز الكلاسيكي ). أ→=(1Zهـ2μ){ل→×ص→-أناℏص→}+ر→ر،{\displaystyle {\vec {A}}=\left({\frac {1}{Ze^{2}\mu }}\right)\left\{{\vec {L}}\times {\vec {p}}-{\boldsymbol {i}}\hbar {\vec {p}}\right\}+{\frac {\vec {r}}{r}},} أينل→{\displaystyle {\vec {L}}}هو الزخم الزاوي،ص→{\displaystyle {\vec {p}}}هو الزخم الخطي،μ{\displaystyle \mu }هي الكتلة المختزلة للنظام،هـ{\displaystyle e}هي الشحنة الإلكترونية، وZ{\displaystyle Z}هو العدد الذري للنواة. وبالمثل لمؤثرات سلم الزخم الزاوي، يكون لديناأ+=أx+أناأy{\displaystyle A_{+}=A_{x}+iA_{y}}وأ-=أx-أناأy{\displaystyle A_{-}=A_{x}-iA_{y}}.

المبدلات اللازمة للمضي قدماً هي [أ±،لz]=∓أناℏأ∓{\displaystyle [A_{\pm },L_{z}]=\mp {\boldsymbol {i}}\hbar A_{\mp }} و [أ±،ل2]=∓2ℏ2أ±-2ℏأ±لz±2ℏأzل±.{\displaystyle [A_{\pm },L^{2}]=\mp 2\hbar ^{2}A_{\pm }-2\hbar A_{\pm }L_{z}\pm 2\hbar A_{z}L_{\pm }.} لذلك، أ+|؟،ℓ،مℓ⟩→|؟،ℓ،مℓ+1⟩{\displaystyle A_{+}|?,\ell ,m_{\ell }\rangle \rightarrow |?,\ell ,m_{\ell }+1\rangle } و -ل2(أ+|؟،ℓ،ℓ⟩)=-ℏ2(ℓ+1)((ℓ+1)+1)(أ+|؟،ℓ،ℓ⟩)،{\displaystyle -L^{2}\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right)=-\hbar ^{2}(\ell +1)((\ell +1)+1)\left(A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \right),} لذا أ+|؟،ℓ،ℓ⟩→|؟،ℓ+1،ℓ+1⟩،{\displaystyle A_{+}|?,\ell ,\ell \rangle \rightarrow |?,\ell +1,\ell +1\rangle ,} حيث تشير علامة الاستفهام "؟" إلى عدد كمي ناشئ يظهر من المناقشة.

بالنظر إلى معادلات باولي [ 9 ] [ 10 ] IV: 1-أ⋅أ=-(2هـμZ2هـ4)(ل2+ℏ2){\displaystyle 1-A\cdot A=-\left({\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)(L^{2}+\hbar ^{2})} وثالثاً: (أ×أ)ج=-(2أناℏهـμZ2هـ4)لج،{\displaystyle \left(A\times A\right)_{j}=-\left({\frac {2{\boldsymbol {i}}\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}\right)L_{j},} وابدأ بالمعادلة أ-أ+|ℓ*،ℓ*⟩=0{\displaystyle A_{-}A_{+}|\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0} وبالتوسع، نحصل على (بافتراضℓ*{\displaystyle \ell ^{*}}(القيمة القصوى للعدد الكمي للزخم الزاوي المتوافق مع جميع الشروط الأخرى) (1+2هـμZ2هـ4(ل2+ℏ2)-أنا2أناℏهـμZ2هـ4لz)|؟،ℓ*،ℓ*⟩=0،{\displaystyle \left(1+{\frac {2E}{\mu Z^{2}e^{4}}}(L^{2}+\hbar ^{2})-i{\frac {2i\hbar E}{\mu Z^{2}e^{4}}}L_{z}\right)|?,\ell ^{*},\ell ^{*}\rangle =0,} مما يؤدي إلى صيغة ريدبيرجهـن=-μZ2هـ42ℏ2(ℓ*+1)2،{\displaystyle E_{n}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(\ell ^{*}+1)^{2}}},} مما يعني أنℓ*+1=ن=؟{\displaystyle \ell ^{*}+1=n=?}، أينن{\displaystyle n}هو العدد الكمي التقليدي.

تحليل الهاميلتوني إلى عوامل

يمكن كتابة الهاميلتوني لجهد يشبه جهد الهيدروجين في الإحداثيات الكروية على النحو التالي: ح=12μ[صر2+1ر2ل2]+V(ر)،{\displaystyle H={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}L^{2}\right]+V(r),} أينV(ر)=-Zهـ2/ر{\displaystyle V(r)=-Ze^{2}/r}، والزخم القطري صر=xرصx+yرصy+zرصz،{\displaystyle p_{r}={\frac {x}{r}}p_{x}+{\frac {y}{r}}p_{y}+{\frac {z}{r}}p_{z},} وهو حقيقي ومترافق مع نفسه.

يفترض|نل⟩{\displaystyle |nl\rangle }هو متجه ذاتي للهاميلتوني، حيثل{\displaystyle l}هو الزخم الزاوي، ون{\displaystyle n}يمثل الطاقة، لذلكل2|نل⟩=ل(ل+1)ℏ2|نل⟩{\displaystyle L^{2}|nl\rangle =l(l+1)\hbar ^{2}|nl\rangle }ويمكننا تسمية الهاميلتوني بـحل{\displaystyle H_{l}}: حل=12μ[صر2+1ر2ل(ل+1)ℏ2]+V(ر).{\displaystyle H_{l}={\frac {1}{2\mu }}\left[p_{r}^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}l(l+1)\hbar ^{2}\right]+V(r).}

طُوِّرت طريقة التحليل إلى عوامل بواسطة إنفيلد وهول [ 11 ] للمعادلات التفاضلية. وطبقها نيومارش وغولدينغ [ 12 ] على الكمونات المتناظرة كرويًا باستخدام ترميز المؤثرات.

لنفترض أننا نستطيع إيجاد تحليل للهاميلتوني بواسطة المؤثرات.جل{\displaystyle C_{l}}مثل

و جلجل*=2μحل+1+جيل{\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}=2\mu H_{l+1}+G_{l}} بالنسبة للكميات القياسيةFل{\displaystyle F_{l}}وجيل{\displaystyle G_{l}}المتجهجلجل*جل|نل⟩{\displaystyle C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle }يمكن تقييمها بطريقتين مختلفتين كما يلي: جلجل*جل|نل⟩=(2μهـلن+Fل)جل|نل⟩=(2μحل+1+جيل)جل|نل⟩،{\displaystyle {\begin{aligned}C_{l}C_{l}^{*}C_{l}|nl\rangle &=(2\mu E_{l}^{n}+F_{l})C_{l}|nl\rangle \\&=(2\mu H_{l+1}+G_{l})C_{l}|nl\rangle ,\end{aligned}}} والتي يمكن إعادة ترتيبها على النحو التالي حل+1(جل|نل⟩)=[هـلن+(Fل-جيل)/(2μ)](جل|نل⟩)،{\displaystyle H_{l+1}(C_{l}|nl\rangle )=[E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu )](C_{l}|nl\rangle ),} مما يدل على أنجل|نل⟩{\displaystyle C_{l}|nl\rangle }هي حالة ذاتية لـحل+1{\displaystyle H_{l+1}}مع القيمة الذاتية هـل+1ن′=هـلن+(Fل-جيل)/(2μ).{\displaystyle E_{l+1}^{n'}=E_{l}^{n}+(F_{l}-G_{l})/(2\mu ).} لوFل=جيل{\displaystyle F_{l}=G_{l}}، ثمن′=ن{\displaystyle n'=n}والولايات|نل⟩{\displaystyle |nl\rangle }وجل|نل⟩{\displaystyle C_{l}|nl\rangle } لها نفس الطاقة.

بالنسبة لذرة الهيدروجين، ضبط V(ر)=-بℏμر{\displaystyle V(r)=-{\frac {B\hbar }{\mu r}}} مع ب=Zμهـ2ℏ،{\displaystyle B={\frac {Z\mu e^{2}}{\hbar }},} معادلة مناسبة لـجل{\displaystyle C_{l}}يكون جل=صر+أناℏ(ل+1)ر-أنابل+1{\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-{\frac {iB}{l+1}}} مع Fل=جيل=ب2(ل+1)2.{\displaystyle F_{l}=G_{l}={\frac {B^{2}}{(l+1)^{2}}}.} يوجد حد أعلى لمؤثر السلم إذا كانت الطاقة سالبة (لذاجل|نلالأعلى⟩=0{\displaystyle C_{l}|nl_{\text{max}}\rangle =0} بالنسبة للبعضلالأعلى{\displaystyle l_{\text{max}}}ثم إذا كان ذلك يتبع من المعادلة ( 1 ) أن هـلن=-Fل/2μ=-ب22μ(لالأعلى+1)2=-μZ2هـ42ℏ2(لالأعلى+1)2،{\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}/{2\mu }=-{\frac {B^{2}}{2\mu (l_{\text{max}}+1)^{2}}}=-{\frac {\mu Z^{2}e^{4}}{2\hbar ^{2}(l_{\text{max}}+1)^{2}}},} ون{\displaystyle n}يمكن التعرف عليها من خلاللالأعلى+1.{\displaystyle l_{\text{max}}+1.}

العلاقة بنظرية الجماعات

عندما يوجد انحلال في نظام ما، فإنه عادةً ما يرتبط بخاصية تناظر ومجموعة. انحلال مستويات الطاقة لنفس قيمةن{\displaystyle n}لكن تم تحديد الزخم الزاوي المختلف على أنه تناظر SO(4) لجهد كولوم المتناظر كرويًا. [ 13 ] [ 14 ]

مذبذب توافقي متناحٍ ثلاثي الأبعاد

يمتلك المذبذب التوافقي المتناحي ثلاثي الأبعاد جهدًا معطى بالعلاقة التالية V(ر)=12μω2ر2.{\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}.}

ويمكن إدارتها بالمثل باستخدام طريقة التحليل إلى عوامل.

طريقة التحليل إلى عوامل

يتم تقديم تحليل مناسب بواسطة [ 12 ]جل=صر+أناℏ(ل+1)ر-أناμωر{\displaystyle C_{l}=p_{r}+{\frac {i\hbar (l+1)}{r}}-i\mu \omega r} مع Fل=-(2ل+3)μωℏ{\displaystyle F_{l}=-(2l+3)\mu \omega \hbar } و جيل=-(2ل+1)μωℏ.{\displaystyle G_{l}=-(2l+1)\mu \omega \hbar .} ثم هـل+1ن′=هـلن+Fل-جيل2μ=هـلن-ωℏ،{\displaystyle E_{l+1}^{n^{'}}=E_{l}^{n}+{\frac {F_{l}-G_{l}}{2\mu }}=E_{l}^{n}-\omega \hbar ,} واستمراراً لهذا، هـل+2ن′=هـلن-2ωℏهـل+3ن′=هـلن-3ωℏ⋮{\displaystyle {\begin{aligned}E_{l+2}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n^{'}}&=E_{l}^{n}-3\omega \hbar \\&\;\;\vdots \end{aligned}}} الآن، لا يمتلك الهاميلتوني إلا مستويات طاقة موجبة، كما يتضح من ⟨ψ|2μحل|ψ⟩=⟨ψ|جل*جل|ψ⟩+⟨ψ|(2ل+3)μωℏ|ψ⟩=⟨جلψ|جلψ⟩+(2ل+3)μωℏ⟨ψ|ψ⟩≥0.{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |2\mu H_{l}|\psi \rangle &=\langle \psi |C_{l}^{*}C_{l}|\psi \rangle +\langle \psi |(2l+3)\mu \omega \hbar |\psi \rangle \\&=\langle C_{l}\psi |C_{l}\psi \rangle +(2l+3)\mu \omega \hbar \langle \psi |\psi \rangle \\&\geq 0.\end{aligned}}} هذا يعني أنه بالنسبة لقيمة معينة لـل{\displaystyle l}يجب أن تنتهي السلسلة بـجلالأعلى|نلالأعلى⟩=0،{\displaystyle C_{l_{\text{max}}}|nl_{\text{max}}\rangle =0,} وثم هـلالأعلىن=-Fلالأعلى2μ=(لالأعلى+32)ωℏ.{\displaystyle E_{l_{\text{max}}}^{n}=-{\frac {F_{l_{\text{max}}}}{2\mu }}=\left(l_{\text{max}}+{\frac {3}{2}}\right)\omega \hbar .} هذا يتناقص في الطاقة بواسطةωℏ{\displaystyle \omega \hbar }إلا إذاجل|ن،ل⟩=0{\displaystyle C_{l}|n,l\rangle =0}لبعض قيمةل{\displaystyle l}تحديد هذه القيمة على أنهان{\displaystyle n}أعطِ هـلن=-Fل=(ن+32)ωℏ.{\displaystyle E_{l}^{n}=-F_{l}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\omega \hbar .}

ثم يتبع ذلكن′=ن-1{\displaystyle n'=n-1}لهذا السبب. جل|نل⟩=λلن|ن-1،ل+1⟩،{\displaystyle C_{l}|nl\rangle =\lambda _{l}^{n}|n-1,\,l+1\rangle ,} إعطاء علاقة تكرارية علىλ{\displaystyle \lambda }مع الحل λلن=-μωℏ2(ن-ل).{\displaystyle \lambda _{l}^{n}=-\mu \omega \hbar {\sqrt {2(n-l)}}.}

يوجد انحلال ناتج عن الزخم الزاوي؛ وهناك انحلال إضافي ناتج عن جهد المذبذب. لننظر في الحالات|ن،ن⟩،|ن-1،ن-1⟩،|ن-2،ن-2⟩،...{\displaystyle |n,\,n\rangle ,|n-1,\,n-1\rangle ,|n-2,\,n-2\rangle ,\dots } وتطبيق عوامل التخفيضج*{\displaystyle C^{*}}: جن-2*|ن-1،ن-1⟩،جن-4*جن-3*|ن-2،ن-2⟩،...{\displaystyle C_{n-2}^{*}|n-1,\,n-1\rangle ,C_{n-4}^{*}C_{n-3}^{*}|n-2,\,n-2\rangle ,\dots }أعط التسلسل|ن،ن⟩،|ن،ن-2⟩،|ن،ن-4⟩،...{\displaystyle |n,n\rangle ,|n,\,n-2\rangle ,|n,\,n-4\rangle ,\dots } بنفس الطاقة ولكن معل{\displaystyle l}يتناقص بمقدار 2. بالإضافة إلى انحلال الزخم الزاوي، ينتج عن ذلك انحلال كلي قدره(ن+1)(ن+2)/2{\displaystyle (n+1)(n+2)/2}[ 15 ]

العلاقة بنظرية الجماعات

ترتبط حالات الانحلال للمذبذب التوافقي المتناحي ثلاثي الأبعاد بالمجموعة الوحدوية الخاصة SU(3) [ 15 ] [ 16 ]

تاريخ

تُنسب العديد من المصادر اختراع مُؤثرات السلم إلى بول ديراك . [ 17 ] يُظهر استخدام ديراك لمُؤثرات السلم أن العدد الكمي للزخم الزاوي الكليج{\displaystyle j}يجب أن يكون مضاعفًا نصف صحيح غير سالب لـ ħ .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فوكس، يورغن (1992)، جبر لي الأفيني والمجموعات الكمومية ، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-48412-X
  2. ↑ هاريس، فولتون، نظرية التمثيلص 164
  3. ↑ دي لانج، أو إل؛ آر إي راب (1986). "مؤثرات السلم للزخم الزاوي المداري". المجلة الأمريكية للفيزياء . 54 (4): 372-375 . Bibcode : 1986AmJPh..54..372D . doi : 10.1119/1.14625 .
  4. ↑ ساكوراي، جون ج. (1994). ميكانيكا الكم الحديثة . دلهي، الهند: بيرسون إديوكيشن، ص 192. ISBN  81-7808-006-0.
  5. ↑ وودجيت، جوردون ك. (6 أكتوبر 1983). التركيب الذري الأساسي . مطبعة جامعة أكسفورد، الولايات المتحدة الأمريكية. ISBN 978-0-19-851156-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 2009-03-03 .
  6. ↑ "مؤثرات الزخم الزاوي" . ملاحظات ميكانيكا الكم للدراسات العليا . جامعة فرجينيا . تم الاسترجاع في 2009-04-06 .
  7. ↑ ديفيد، سي دبليو (1966). "حل مُعامل السلم لمستويات الطاقة الإلكترونية لذرة الهيدروجين". المجلة الأمريكية للفيزياء . 34 (10): 984-985 . Bibcode : 1966AmJPh..34..984D . doi : 10.1119/1.1972354 .
  8. ↑ بوركهارت، سي إي؛ ليفانثال، ج. (2004). "عمليات متجه لينز على الدوال الذاتية لذرة الهيدروجين الكروية" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 72 (8): 1013-1016 . Bibcode : 2004AmJPh..72.1013B . doi : 10.1119/1.1758225 .
  9. ^ باولي ، وولفجانج (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Z. فيز . 36 (5): 336– 363. بيب كود : 1926ZPhy...36..336P . دوى : 10.1007/BF01450175 . S2CID 128132824 . 
  10. ^ بل فان دير وايردن، مصادر ميكانيكا الكم، دوفر، نيويورك، 1968.
  11. ↑ ل.، إنفيلد؛ هول، ت. إي. (1951). "طريقة التحليل إلى عوامل". مجلة الفيزياء الحديثة . 23 (1): 21-68 . رمز Bibcode : 1951RvMP...23...21I . doi : 10.1103/RevModPhys.23.21 .
  12. 1 2 نيومارش، جيه دي؛ غولدينغ، آر إم (1978). "مؤثرات السلم لبعض الكمونات المتناظرة كرويًا في الكم" . المجلة الأمريكية للفيزياء 46 : 658-660 . doi : 10.1119 /1.11225 .
  13. ↑ واينبرغ، إس جيه (2011). "تناظر SO(4) لذرة الهيدروجين" (PDF) .
  14. ↑ لاهيري، أ.؛ روي، ب.ك.؛ باغشي، ب. (1989). "التناظر الفائق وتقنية عامل السلم في ميكانيكا الكم: معادلة شرودنغر الشعاعية". المجلة الدولية للفيزياء النظرية . 28 (2): 183-189 . Bibcode : 1989IJTP...28..183L . doi : 10.1007/BF00669809 . S2CID 123255435 . 
  15. 1 2 كيرسون، إم دبليو (2013). "مقدمة في الجبر للفيزيائيين: المذبذب التوافقي المتناحي" (ملف PDF) . معهد وايزمان للعلوم . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 يوليو 2021 .
  16. ↑ فرادكين، د.م. (1965). "المذبذب التوافقي المتناحي ثلاثي الأبعاد وSU3". المجلة الأمريكية للفيزياء 33 ( 3): 207-211 . Bibcode : 1965AmJPh..33..207F . doi : 10.1119/1.1971373 .
  17. ↑ ويب، ستيفن. "المذبذب التوافقي الكمي" (ملف PDF) . www.fisica.net . تاريخ الاطلاع: 5 نوفمبر 2023 .