كثيرات حدود جاكوبي

تُعرَّف كثيرات حدود جاكوبي عبر الدالة فوق الهندسية كما يلي: ^{[ 2 ] [ 1 ] : IV.1}

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),}$

أين${\displaystyle (\alpha +1)_{n}}$هو رمز بوخامر (للمضروب المتزايد). في هذه الحالة، تكون متسلسلة الدالة فوق الهندسية منتهية، وبالتالي نحصل على التعبير المكافئ التالي:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.}$

يُعطى تعريف مكافئ بواسطة صيغة رودريغز : ^{[ 1 ] : IV.3 [ 3 ]}

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.}$

لو${\displaystyle \alpha =\beta =0}$ثم يختزل إلى كثيرات حدود ليجندر :

${\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.}$

كثيرات حدود جاكوبي${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$هو، حتى مع مراعاة تغيير المقياس، الحل متعدد الحدود الوحيد لمسألة ستورم-ليوفيل ^{[ 1 ] : IV.2}

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'=\lambda y}$

أين${\displaystyle \lambda =-n(n+\alpha +\beta +1)}$أما الحل الآخر فيتضمن دالة اللوغاريتم. وتنص نظرية بوخنر على أن كثيرات حدود جاكوبي تتميز بشكل فريد بأنها حلول كثيرة الحدود لمسائل ستورم-ليوفيل ذات معاملات كثيرة الحدود.

لريال مدريد${\displaystyle x}$يمكن كتابة متعددة حدود جاكوبي على النحو التالي:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose n-s}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{n-s}}$

وبالنسبة للأعداد الصحيحة${\displaystyle n}$

${\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}}$

أين${\displaystyle \Gamma (z)}$هي دالة غاما .

في الحالة الخاصة التي تكون فيها الكميات الأربع${\displaystyle n}$،${\displaystyle n+\alpha }$،${\displaystyle n+\beta }$،${\displaystyle n+\alpha +\beta }$ إذا كانت أعدادًا صحيحة غير سالبة، فيمكن كتابة متعددة حدود جاكوبي على النحو التالي:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s=0}^{n}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}$

1

يمتد المجموع على جميع القيم الصحيحة لـ${\displaystyle s}$والتي تكون فيها وسائط المضروب غير سالبة.

${\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,}$

${\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2){\frac {z-1}{2}},}$

${\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}+(\alpha +2)(\alpha +\beta +3){\frac {z-1}{2}}+{\frac {(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)}{2}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{2}.}$

$${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (1+2n+\alpha +\beta )}{\Gamma (1+n)\Gamma (1+n+\alpha +\beta )}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}+{\text{ lower-degree terms }}}$$وبالتالي، فإن المعامل الرئيسي هو${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+2n+\alpha +\beta )}{2^{n}n!\Gamma (1+n+\alpha +\beta )}}}$.

تحقق كثيرات حدود جاكوبي شرط التعامد

${\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},\qquad \alpha ,\ \beta >-1.}$

بحسب التعريف، لا تمتلك هذه القيم معيارًا وحدويًا بالنسبة للوزن. ويمكن تصحيح ذلك بالقسمة على الجذر التربيعي للطرف الأيمن من المعادلة أعلاه، عندما${\displaystyle n=m}$.

على الرغم من أنها لا تُنتج أساسًا متعامدًا ، إلا أنه يُفضل أحيانًا استخدام تطبيع بديل نظرًا لبساطته:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}$

تتمتع كثيرات الحدود بعلاقة التناظر

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}$

وبالتالي فإن القيمة النهائية الأخرى هي

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}$

ال${\displaystyle k}$تؤدي المشتقة من الرتبة n للتعبير الصريح إلى

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}$

العلاقة التكرارية ذات الثلاثة حدود لكثيرات حدود جاكوبي ذات قيم ثابتة${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$هو: ^{[ 1 ] : IV.5}

${\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned}}}$

ل${\displaystyle n=2,3,\ldots }$الكتابة بإيجاز${\displaystyle a:=n+\alpha }$،${\displaystyle b:=n+\beta }$و ${\displaystyle c:=a+b=2n+\alpha +\beta }$، يصبح هذا من حيث${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle 2n(c-n)(c-2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b)(c-2n){\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(a-1)(b-1)c\;P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z).}$

بما أن كثيرات حدود جاكوبي يمكن وصفها بدلالة الدالة فوق الهندسية، فإن علاقات التكرار للدالة فوق الهندسية تعطي علاقات تكرار مكافئة لكثيرات حدود جاكوبي. وعلى وجه الخصوص، تتوافق علاقات غاوس المتجاورة مع المتطابقات ^{[ 4 ] : ​​الملحق ب}

${\displaystyle {\begin{aligned}(z-1){\frac {d}{dz}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\beta +n)P_{n-1}^{(\alpha +1,\beta +1)}\\&=nP_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\alpha +n)P_{n-1}^{(\alpha ,\beta +1)}\\&=(1+\alpha +\beta +n)\left(P_{n}^{(\alpha ,\beta +1)}-P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)\\&=(\alpha +n)P_{n}^{(\alpha -1,\beta +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\\&={\frac {2(n+1)P_{n+1}^{(\alpha ,\beta -1)}-\left(z(1+\alpha +\beta +n)+\alpha +1+n-\beta \right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{1+z}}\\&={\frac {(2\beta +n+nz)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-2(\beta +n)P_{n}^{(\alpha ,\beta -1)}}{1+z}}\\&={\frac {1-z}{1+z}}\left(\beta P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\beta +n)P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)}\right)\,.\end{aligned}}}$

الدالة المولدة لكثيرات حدود جاكوبي معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },}$

أين

${\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~,}$

ويتم اختيار فرع الجذر التربيعي بحيث${\displaystyle R(z,0)=1}$[ ^{1 ] : IV.4​}

تختزل كثيرات حدود جاكوبي إلى كثيرات حدود كلاسيكية أخرى. ^{[ 5 ]}

كروي فائق :$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{n}^{(\lambda )}(x)&={\frac {(2\lambda )_{n}}{\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)_{n}}}P_{n}^{\left(\lambda -{\frac {1}{2}},\lambda -{\frac {1}{2}}\right)}(x),\\P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}(x)&={\frac {(\alpha +1)_{n}}{(2\alpha +1)_{n}}}C_{n}^{\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}(x).\end{aligned}}}$$ليجيندر :$${\displaystyle P_{n}(x)=C_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x)=P_{n}^{(0,0)}(x)}$$تشيبيشيف :$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&=P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(1),\\U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)=(n+1)P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(1),\\V_{n}(x)&=P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(1),\\W_{n}(x)&=(2n+1)P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(1).\\T_{n}^{*}(x)&=T_{n}(2x-1),\\U_{n}^{*}(x)&=U_{n}(2x-1).\end{aligned}}}$$لاغير :$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \rightarrow \infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-(2x/\beta ))&=L_{n}^{(\alpha )}(x).\\\lim _{\alpha \rightarrow \infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}((2x/\alpha )-1)&=(-1)^{n}L_{n}^{(\beta )}(x).\end{aligned}}}$$الناسك:$${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }\alpha ^{-{\frac {1}{2}}n}P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}\left(\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}x\right)={\frac {H_{n}(x)}{2^{n}n!}}}$$

تظهر كثيرات حدود جاكوبي كدوال ذاتية لعملية ماركوف على${\displaystyle [-1,+1]}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left(1-x^{2}\right){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+(px+q){\frac {\partial }{\partial x}}}$$محدد حتى لحظة وصوله إلى الحد. لـ${\displaystyle p=-(\beta +\alpha +2),q=\beta -\alpha }$لدينا$${\displaystyle {\mathcal {L}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=-n(n+\alpha +\beta +1)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$$ولذلك تُسمى هذه العملية بعملية جاكوبي . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

يترك

• ${\displaystyle J^{(\alpha ,\beta )}:=-\left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-[\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x]{\frac {d}{dx}}}$
• ${\displaystyle T_{t}^{(\alpha ,\beta )}:=e^{-tJ^{(\alpha ,\beta )}}}$
• ${\displaystyle h_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\int _{-1}^{1}\left[P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\right]^{2}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{(2n+\alpha +\beta +1)\Gamma (n+\alpha +\beta +1)\Gamma (n+1)}}}$
• ${\displaystyle G_{t}^{(\alpha ,\beta )}(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }\exp(-tn(n+\alpha +\beta +1)){\frac {P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(y)}{h_{n}^{(\alpha ,\beta )}}},\quad x,y\in [-1,1],\quad t>0,}$
• ${\displaystyle d\rho _{(\alpha ,\beta )}(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }dx}$

ثم، لأي${\displaystyle f\in L^{1}\left(d\rho _{(\alpha ,\beta )}\right)}$, ^{[ 8 ]}$${\displaystyle T_{t}^{(\alpha ,\beta )}f(x)=\int _{-1}^{1}G_{t}^{(\alpha ,\beta )}(x,y)f(y)d\varrho _{(\alpha ,\beta )}(y)}$$هكذا،${\displaystyle G_{t}^{(\alpha ,\beta )}}$يُطلق عليه اسم نواة جاكوبي الحرارية .

المميز هو ^{[ 9 ]}​$${\displaystyle \operatorname {Disc} \left(P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)=2^{-n(n-1)}\prod _{j=1}^{n}j^{j-2n+2}(j+\alpha )^{j-1}(j+\beta )^{j-1}(n+j+\alpha +\beta )^{n-j}}$$صيغة بيلي : ^{[ 8 ] [ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \varphi )}{h_{n}^{(\alpha ,\beta )}}}r^{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +2)}{2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta +1)}}{\frac {1-r}{(1+r)^{\alpha +\beta +2}}}\\&\quad \times F_{4}\left({\frac {\alpha +\beta +2}{2}},{\frac {\alpha +\beta +3}{2}};\alpha +1,\beta +1;\left({\frac {2\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\varphi }{2}}}{r^{1/2}+r^{-1/2}}}\right)^{2},\left({\frac {2\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}}{r^{1/2}+r^{-1/2}}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}$$أين${\displaystyle |r|<1,\alpha ,\beta >-1}$، و${\displaystyle F_{4}}$هي دالة أبيل فوق الهندسية لمتغيرين . وهي نظير لنواة ميهلر لكثيرات حدود هيرميت ، وصيغة هاردي-هيل لكثيرات حدود لاغير.

التمثيل التكاملي من نوع لابلاس : ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(1-2t^{2}\right)=&{\frac {(-1)^{n}2^{2n}}{\pi (2n)!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(\beta +{\frac {1}{2}}\right)}}.\\&\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\left(tu\pm i{\sqrt {1-t^{2}}}v\right)^{2n}\left(1-u^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\left(1-v^{2}\right)^{\beta -{\frac {1}{2}}}dudv.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \theta _{n,m}}$تتزايد بشكل رتيب تمامًا مع${\displaystyle \alpha }$ويتناقص بشكل رتيب تمامًا مع${\displaystyle \beta }$[ ^{12 ]​}

لو${\displaystyle \alpha =\beta }$، و${\displaystyle m<n/2}$، ثم${\displaystyle \theta _{n,m}}$تتزايد بشكل رتيب تمامًا مع${\displaystyle \alpha }$[ ^{12 ]​}

متى${\displaystyle \alpha ,\beta \in [-1/2,+1/2]}$, ^{[ 12 ]}

• ${\displaystyle \theta _{n,m}^{(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}={\frac {(m-{\tfrac {1}{2}})\pi }{n+{\tfrac {1}{2}}}}\leq \theta _{n,m}^{(\alpha ,\beta )}\leq {\frac {m\pi }{n+{\tfrac {1}{2}}}}=\theta _{n,m}^{({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}})}}$
• ${\displaystyle \theta _{n,m}^{(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}})}={\frac {(m-{\tfrac {1}{2}})\pi }{n}}\leq \theta _{n,m}^{(\alpha ,\alpha )}\leq {\frac {m\pi }{n+1}}=\theta _{n,m}^{({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}}$ل${\displaystyle m\leq n/2}$
• ${\displaystyle {{\frac {\left(m+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta -1)\right)\pi }{\rho }}<\theta _{n,m}<{\frac {m\pi }{\rho }}}}$إلا عندما${\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}={\tfrac {1}{4}}}$
• ${\displaystyle \theta _{n,m}^{(\alpha ,\alpha )}>{\frac {\left(m+{\tfrac {1}{2}}\alpha -{\tfrac {1}{4}}\right){\pi }}{n+\alpha +{\tfrac {1}{2}}}}}$ل${\displaystyle m\leq n/2}$إلا عندما${\displaystyle \alpha ^{2}={\tfrac {1}{4}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle \theta _{n,m}\displaystyle \leq {\frac {j_{\alpha ,m}}{\left(\rho ^{2}+{\tfrac {1}{12}}\left(1-\alpha ^{2}-3\beta ^{2}\right)\right)^{\frac {1}{2}}}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle \theta _{n,m}\displaystyle \geq {\frac {j_{\alpha ,m}}{\left(\rho ^{2}+{\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2})-{\pi }^{-2}(1-4\alpha ^{2})\right)^{\frac {1}{2}}}}}$ل${\displaystyle m\leq n/2}$

يصلح${\displaystyle \alpha >-1/2,\beta \geq -1-\alpha }$. يصلح${\displaystyle c\in (0,1)}$.

$${\displaystyle \theta _{n,m}=\phi _{m}+\left(\left(\alpha ^{2}-{\tfrac {1}{4}}\right){\frac {1-\phi _{m}\cot \phi _{m}}{2\phi _{m}}}-{\tfrac {1}{4}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2})\tan \left({\tfrac {1}{2}}\phi _{m}\right)\right){\frac {1}{\rho ^{2}}}+\phi _{m}^{2}O\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)}$$

بشكل موحد لـ${\displaystyle m=1,2,\dots ,\left\lfloor cn\right\rfloor }$.

تحقق الأصفار علاقات ستيلتجس : ^{[ 14 ] [ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{i}-x_{j}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\alpha +1}{1-x_{i}}}-{\frac {\beta +1}{1+x_{i}}}\right)\\\sum _{1\leq j\leq n}{\frac {1}{1-x_{j}}}&={\frac {n(n+\alpha +\beta +1)}{2(\alpha +1)}}\\\sum _{1\leq j\leq n}{\frac {1}{1+x_{j}}}&={\frac {n(n+\alpha +\beta +1)}{2(\beta +1)}}\\\sum _{1\leq j\leq n}x_{j}&={\frac {n(\beta -\alpha )}{2n+\alpha +\beta }}\end{aligned}}}$$يمكن تفسير العلاقة الأولى تفسيراً فيزيائياً. لنفترض أن لدينا جسيماً كهربائياً يحمل شحنة +1.${\displaystyle {\frac {1+\alpha }{2}}}$وجسيم آخر عند -1 بشحنة${\displaystyle {\frac {1+\beta }{2}}}$ثم ضع${\displaystyle n}$جسيمات كهربائية مشحونة${\displaystyle +1}$تنص العلاقة الأولى على أن أصفار${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$تمثل هذه المواضع التوازنية للجسيمات. هذا التوازن مستقر وفريد. ^{[ 15 ]}

علاقات أخرى، مثل${\displaystyle \sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{i}-x_{j})^{2}}},\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{i}-x_{j})^{3}}}}$^{[ 14 ]}​

بما أن الأصفار تحدد متعددة الحدود حتى القياس، فإن هذا يوفر طريقة بديلة لتوصيف متعددات حدود جاكوبي بشكل فريد.

يُتيح التفسير الكهروستاتيكي رؤية العديد من العلاقات بشكلٍ بديهي. على سبيل المثال:

• علاقة التناظر بين${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$و${\displaystyle P_{n}^{(\beta ,\alpha )}}$؛
• تتناقص الجذور بشكل رتيب عندما${\displaystyle \alpha }$يزداد؛

بما أن علاقة ستيلتجس موجودة أيضًا لكثيرات حدود هيرميت وكثيرات حدود لاغير، وذلك بأخذ نهاية مناسبة لـ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ثم تُشتق علاقات النهايات. على سبيل المثال، بالنسبة لكثيرات حدود هيرميت، فإن الأصفار تحقق$${\displaystyle -x_{i}+\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{i}-x_{j}}}=0}$$وهكذا، من خلال أخذ${\displaystyle \alpha =\beta \to \infty }$في النهاية، تُجبر جميع الجسيمات الكهربائية على التواجد في جوار متناهي الصغر حول نقطة الأصل، حيث تكون شدة المجال خطية. بعد ذلك، وبعد تكبير الخط، نحصل على نفس التكوين الكهروستاتيكي لأصفار كثيرات حدود هيرميت.

ل${\displaystyle x}$في داخل${\displaystyle [-1,1]}$، السلوك التقاربي لـ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$للكبير${\displaystyle n}$يُعطى بواسطة صيغة داربو ^{[ 1 ] : VIII.2}

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k(\theta )\cos(N\theta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}}\right),}$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}},\\N&=n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{\tfrac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\tfrac {1}{2}}\right),\\0<\theta &<\pi \end{aligned}}}$

و"${\displaystyle O}$"المصطلح منتظم على الفترة${\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]}$لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$.

بالنسبة للرتب الأعلى، حدد: ^{[ 12 ]}

• ${\displaystyle \mathrm {B} }$دالة بيتا لأويلر
• ${\displaystyle (\cdot )_{m}}$هو العامل التنازلي .
• ${\displaystyle f_{m}(\theta )=\sum _{\ell =0}^{m}{\frac {C_{m,\ell }(\alpha ,\beta )}{\ell$ !(m-\ell )!}}{\frac {\cos \theta _{n,m,\ell }}{\left(\sin {\frac {1}{2}}\theta \right)^{\ell }\left(\cos {\frac {1}{2}}\theta \right)^{m-\ell }}}}
• ${\displaystyle C_{m,\ell }(\alpha ,\beta )={\left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)_{\ell }}{\left({\tfrac {1}{2}}-\alpha \right)_{\ell }}{\left({\tfrac {1}{2}}+\beta \right)_{m-\ell }}{\left({\tfrac {1}{2}}-\beta \right)_{m-\ell }}}$
• ${\displaystyle \theta _{n,m,\ell }={\tfrac {1}{2}}(2n+\alpha +\beta +m+1)\theta -{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\ell +{\tfrac {1}{2}})\pi }$

إصلاح حقيقي${\displaystyle \alpha ,\beta }$، يصلح${\displaystyle M=1,2,\dots }$، يصلح${\displaystyle \delta \in (0,\pi /2)}$. مثل${\displaystyle n\to \infty }$،$${\displaystyle \left(\sin {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{\alpha +{\frac {1}{2}}}\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{\beta +{\frac {1}{2}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \theta \right)={\pi }^{-1}2^{2n+\alpha +\beta +1}\mathrm {B} \left(n+\alpha +1,n+\beta +1\right)\left(\sum _{m=0}^{M-1}{\frac {f_{m}(\theta )}{2^{m}{\left(2n+\alpha +\beta +2\right)_{m}}}}+O\left(n^{-M}\right)\right)}$$بشكل موحد للجميع${\displaystyle \theta \in [\delta ,\pi -\delta ]}$.

ال${\displaystyle M=1}$الحالة هي صيغة داربو المذكورة أعلاه.

التعريف: ^{[ 12 ]}

• ${\displaystyle J_{\nu }}$دالة بيسل
• ${\displaystyle \rho =n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1)}$
• ${\displaystyle g(\theta )=\left({\tfrac {1}{4}}-\alpha ^{2}\right)\left(\cot \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)-\left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{-1}\right)-\left({\tfrac {1}{4}}-\beta ^{2}\right)\tan \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)}$

إصلاح حقيقي${\displaystyle \alpha ,\beta }$، يصلح${\displaystyle M=0,1,2,\dots }$. مثل${\displaystyle n\to \infty }$لدينا صيغة من نوع هيلب : ^{[ 16 ]}$${\displaystyle (\sin {\tfrac {1}{2}}\theta )^{\alpha +{\frac {1}{2}}}(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta )^{\beta +{\frac {1}{2}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \theta \right)={\frac {\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}{2^{\frac {1}{2}}\rho ^{\alpha }n!}}\left(\theta ^{\frac {1}{2}}J_{\alpha }\left(\rho \theta \right)\sum _{m=0}^{M}{\dfrac {A_{m}(\theta )}{\rho ^{2m}}}+\theta ^{\frac {3}{2}}J_{\alpha +1}\left(\rho \theta \right)\sum _{m=0}^{M-1}{\dfrac {B_{m}(\theta )}{\rho ^{2m+1}}}+\varepsilon _{M}(\rho ,\theta )\right)}$$أين${\displaystyle A_{m},B_{m}}$هي وظائف${\displaystyle \theta }$أولى الإدخالات هي:$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}(\theta )&=1\\\theta B_{0}(\theta )&={\frac {1}{4}}g(\theta )\\A_{1}(\theta )&={\frac {1}{8}}g^{\prime }(\theta )-{\frac {1+2\alpha }{8}}{\frac {g(\theta )}{\theta }}-{\frac {1}{32}}(g(\theta ))^{2}\end{aligned}}}$$

لأي ثابت اختياري ثابت${\displaystyle c>0}$، يحقق حد الخطأ$${\displaystyle \varepsilon _{M}(\rho ,\theta )={\begin{cases}\theta O\left(\rho ^{-2M-(3/2)}\right),&c\rho ^{-1}\leq \theta \leq \pi -\delta ,\\\theta ^{\alpha +(5/2)}O\left(\rho ^{-2M+\alpha }\right),&0\leq \theta \leq c\rho ^{-1},\end{cases}}}$$

السلوك التقاربي لكثيرات حدود جاكوبي بالقرب من النقاط${\displaystyle \pm 1}$يتم تحديدها بواسطة صيغة ميهلر-هاين

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned}}}$

حيث تكون الحدود موحدة لـ${\displaystyle z}$في نطاق محدود .

السلوك التقاربي خارج${\displaystyle [-1,1]}$أقل وضوحاً.

يسمح التعبير ( 1 ) بالتعبير عن مصفوفة ويغنر d${\displaystyle d_{m',m}^{j}(\phi )}$(ل${\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }$) بدلالة كثيرات حدود جاكوبي: ^{[ 17 ]}

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m-m'|}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{j-M}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),}$

أين${\displaystyle M=\max(|m|,|m'|),N=\min(|m|,|m'|)}$.