الدوال المتعامدة

في الرياضيات ، تنتمي الدوال المتعامدة إلى فضاء دوالي هو فضاء متجهي مزود بصيغة ثنائية الخطية . عندما يكون مجال الفضاء الدوالي فترة ، فإن الصيغة الثنائية الخطية قد تكون تكامل حاصل ضرب الدوال على تلك الفترة.

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.}$

الوظائف${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$تكون متعامدة عندما يكون هذا التكامل صفرًا، أي${\displaystyle \langle f,\,g\rangle =0}$حينما${\displaystyle f\neq g}$كما هو الحال مع أساس المتجهات في فضاء محدود الأبعاد، يمكن للدوال المتعامدة أن تُشكّل أساسًا لانهائيًا لفضاء الدوال. من الناحية المفاهيمية، يُعادل التكامل أعلاه الضرب القياسي للمتجهات ؛ إذ يكون متجهان مستقلين (متعامدين) إذا كان حاصل ضربهما القياسي يساوي صفرًا.

يفترض${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$هي سلسلة من الدوال المتعامدة ذات معايير L2 غير ^{الصفرية}$\left\|f_{n}\right\|_{2}=\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$ويترتب على ذلك أن المتتالية${\displaystyle \left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}}$هي مجموعة من الدوال ذات ^معيار L2 يساوي واحدًا، وتشكل متتالية متعامدة . ولكي يكون لمعيار L2 ^قيمة محددة ، يجب أن يكون التكامل محدودًا، مما يقيد الدوال لتكون قابلة للتكامل التربيعي .

أصبحت العديد من مجموعات الدوال المتعامدة قواعد قياسية لتقريب الدوال. على سبيل المثال، دالتا الجيب sin nx و sin mx متعامدتان على الفترة${\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}$متى${\displaystyle m\neq n}$و n و m عددان صحيحان موجبان. لذلك،

${\displaystyle 2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(mn\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right),}$

ويتلاشى تكامل حاصل ضرب دالتي الجيب. ^{[ 1 ]} ويمكن تجميع هذه الدوال المتعامدة، إلى جانب دوال جيب التمام، في متعددة حدود مثلثية لتقريب دالة معينة على الفترة باستخدام متسلسلة فورييه الخاصة بها .

إذا بدأ المرء بالمتتالية أحادية الحد${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$في الفترة${\displaystyle [-1,1]}$وبتطبيق عملية غرام-شميدت ، نحصل على كثيرات حدود ليجندر . وهناك مجموعة أخرى من كثيرات الحدود المتعامدة وهي كثيرات حدود ليجندر المرتبطة بها .

تتضمن دراسة كثيرات الحدود المتعامدة دوال الوزن${\displaystyle w(x)}$التي يتم إدخالها في الشكل الثنائي الخطي:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.}$

بالنسبة لكثيرات حدود لاغير على${\displaystyle (0,\infty )}$دالة الوزن هي${\displaystyle w(x)=e^{-x}}$.

يستخدم كل من الفيزيائيين ونظريي الاحتمالات كثيرات حدود هيرميت في${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$، حيث تكون دالة الوزن${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}$أو${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}/2}}$.

تُعرَّف كثيرات حدود تشيبيشيف على${\displaystyle [-1,1]}$واستخدم الأوزان${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$أو${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

تُعرَّف كثيرات حدود زيرنيك على قرص الوحدة ولها تعامد في كل من الأجزاء الشعاعية والزاوية.

تُعد دوال والش وموجات هار أمثلة على الدوال المتعامدة ذات النطاقات المنفصلة.

تُوفّر كثيرات حدود ليجندر وتشيبشيف عائلات متعامدة للفترة [−1, 1]، بينما قد نحتاج أحيانًا إلى عائلات متعامدة على الفترة [0, ∞) . في هذه الحالة، يُفضّل تطبيق تحويل كايلي أولًا، لنقل الوسيط إلى الفترة [−1, 1] . ينتج عن هذه العملية عائلات من الدوال المتعامدة الكسرية تُسمى دوال ليجندر الكسرية ودوال تشيبيشيف الكسرية .

يمكن كتابة حلول المعادلات التفاضلية الخطية ذات الشروط الحدية في كثير من الأحيان كمجموع مرجح لدوال الحل المتعامدة (المعروفة أيضًا باسم الدوال الذاتية )، مما يؤدي إلى متسلسلة فورييه المعممة .

• القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
• مساحة هيلبرت
• نظرية كارونين-لوف
• نظرية لوريسيلا
• دالة وانير

• جورج ب. أرفكن وهانز ج. ويبر (2005) الأساليب الرياضية للفيزيائيين ، الطبعة السادسة، الفصل 10: نظرية ستورم-ليوفيل - الدوال المتعامدة، دار النشر الأكاديمية .
• برايس، جاستن ج. (1975). "مواضيع في الدوال المتعامدة" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 82 : 594-609 . doi : 10.2307/2319690 . مؤرشف من الأصل بتاريخ 15 يناير 2021. تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 فبراير 2019 .
• جيوفاني سانسون (ترجمة أينسلي إتش. دايموند) (1959) الدوال المتعامدة ، دار نشر إنترساينس .

• الدوال المتعامدة ، على موقع MathWorld.