كثير الحدود المثلثي

في فرعي التحليل العددي والتحليل الرياضي ، تُعرَّف متعددة الحدود المثلثية بأنها توليفة خطية منتهية من الدالتين sin( nx ) و cos( nx )، حيث تأخذ n قيمة عدد طبيعي واحد أو أكثر . ويمكن أن تكون المعاملات أعدادًا حقيقية، بالنسبة للدوال ذات القيم الحقيقية. أما بالنسبة للمعاملات المركبة ، فلا فرق بين هذه الدالة ومتسلسلة فورييه منتهية .

تُستخدم كثيرات الحدود المثلثية على نطاق واسع، على سبيل المثال في الاستيفاء المثلثي المطبق على استيفاء الدوال الدورية . كما تُستخدم أيضًا في تحويل فورييه المنفصل .

يمكن اعتبار مصطلح كثير الحدود المثلثي في ​​حالة الأعداد الحقيقية بمثابة استخدام للتشبيه التالي : فالدالتان sin( nx ) و cos( nx ) تشبهان أساس أحادي الحد لكثيرات الحدود . أما في حالة الأعداد المركبة، فتُولد كثيرات الحدود المثلثية بواسطة القوى الموجبة والسالبة لـ${\displaystyle e^{ix}}$أي، كثيرات حدود لوران في${\displaystyle z}$في ظل تغيير المتغيرات${\displaystyle x\mapsto z:=e^{ix}}$.

أي دالة T على الشكل

$${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos nx+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin nx\qquad (x\in \mathbb {R} )}$$

بمعاملات ذات قيم مركبة${\displaystyle a_{n}}$و${\displaystyle b_{n}}$ومعامل واحد على الأقل من أعلى درجة${\displaystyle a_{N}}$و${\displaystyle b_{N}}$غير الصفرية ، تسمى متعددة حدود مثلثية مركبة من الدرجة N. ^{[ 1 ]} جيب ​​التمام وجيب الزاوية هما الجزء الزوجي والفردي من الأس لمتغير تخيلي ، $${\displaystyle \cos nx={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}e^{inx}+e^{-inx}{\bigr )},\quad \sin nx=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}e^{inx}-e^{-inx}{\bigr )},}$$ لذا يمكن كتابة متعددة الحدود المثلثية بشكل بديل على النحو التالي $${\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ),}$$ بمعاملات مركبة${\displaystyle c_{0}=a_{0}}$و​ $${\displaystyle \quad c_{k}={\tfrac {1}{2}}(a_{k}-b_{k}i),\quad c_{-k}={\tfrac {1}{2}}(a_{k}+b_{k}i),}$$ للجميع​${\displaystyle k}$من 1 إلى${\displaystyle N}$⁠ .

إذا كانت المعاملات${\displaystyle a_{n}}$و${\displaystyle b_{n}}$هي حقيقية للجميع${\displaystyle n}$ثم​​${\displaystyle T}$يُطلق عليه اسم متعددة حدود مثلثية حقيقية . ^{[ 2 ]} عند استخدام الصيغة الأسية، فإن المعاملات المركبة تحقق${\displaystyle c_{-n}={\overline {c}}_{n}}$للجميع${\displaystyle n\in [-N,N]}$[ ^{3 ]​}

يمكن اعتبار كثير الحدود المثلثي دالة دورية على خط الأعداد الحقيقية ، ودورتها تساوي أحد قواسم العدد ⁠${\displaystyle 2\pi }$أو كدالة على دائرة الوحدة .

تكون كثيرات الحدود المثلثية كثيفة في فضاء الدوال المتصلة على دائرة الوحدة، بمعيار منتظم ؛ ^{[ 4 ]} وهذه حالة خاصة من نظرية ستون-ويرستراس . وبشكل أكثر تحديدًا، لكل دالة متصلة${\displaystyle f}$وكل​​${\displaystyle \epsilon >0}$توجد متعددة حدود مثلثية${\displaystyle T}$بحيث​${\displaystyle |f(z)-T(z)|<\epsilon }$للجميع​${\displaystyle z}$تنص نظرية فيجير على أن المتوسطات الحسابية للمجاميع الجزئية لمتسلسلة فورييه لـ${\displaystyle f}$تتقارب بشكل منتظم إلى${\displaystyle f}$مقدم​​${\displaystyle f}$الدالة متصلة على الدائرة؛ ويمكن استخدام هذه المجاميع الجزئية لتقريب قيمة${\displaystyle f}$⁠ .

متعددة حدود مثلثية من الدرجة ⁠${\displaystyle N}$يبلغ الحد الأقصى لـ${\displaystyle 2N}$الجذور في فترة حقيقية${\displaystyle [a,a+2\pi )}$إلا إذا كانت دالة الصفر. ^{[ 5 ]}

تنص نظرية فيجير-ريز على أن كل متعددة حدود مثلثية حقيقية موجبة$${\displaystyle t(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx},}$$ مُرضٍ${\displaystyle t(x)>0}$للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$يمكن تمثيلها كمربع معامل متعدد حدود مثلثي آخر (عادةً ما يكون معقدًا ).${\displaystyle q(x)}$بحيث: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle t(x)=|q(x)|^{2}=q(x){\overline {q(x)}}.}$$ أو، بصورة مكافئة، كل متعددة حدود لوران$${\displaystyle w(z)=\sum _{n=-N}^{N}w_{n}z^{n},}$$ مع${\displaystyle w_{n}\in \mathbb {C} }$ذلك يرضي${\displaystyle w(\zeta )\geq 0}$للجميع${\displaystyle \zeta \in \mathbb {T} }$يمكن كتابتها على النحو التالي: $${\displaystyle w(\zeta )=|p(\zeta )|^{2}=p(\zeta ){\overline {p(\zeta )}},}$$ لبعض كثيرات الحدود $${\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+\cdots +p_{N}z^{N},}$$ و${\displaystyle p(z)}$يمكن اختيارها بحيث لا تحتوي على أصفار في قرص الوحدة المفتوح${\displaystyle \mathbb {D} }$[ ^{7 ] [ 8 ]} تنشأ نظرية فيجير-ريز بشكل طبيعي في ^نظرية الأطياف وتحليل كثيرات الحدود${\displaystyle w(\zeta )=p(\zeta ){\overline {p(\zeta )}}}$ويُطلق عليه أيضًا اسم التحليل الطيفي (أو تحليل وينر-هوف ) لـ${\displaystyle w(\zeta )}$[ ^{9 ]​}

• بوتشر، ألبريشت؛ هالواس، مارتن (2013). "تحليل فينر-هوف والتحليل الطيفي لكثيرات الحدود الحقيقية باستخدام طريقة نيوتن" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 438 (12): 4760-4805 . doi : 10.1016/j.laa.2013.02.020 .
• دريتشل، مايكل أ؛ روفنياك، جيمس (2010). “نظرية المشغل فيجير-ريسز”. لمحة عن مشغلي الفضاء في هيلبرت . بازل: سبرينغر بازل. دوى : 10.1007/978-3-0346-0347-8_14 . رقم ISBN 978-3-0346-0346-1.
• نيكولسكي، إس إم (1975). "كثيرات الحدود المثلثية". تقريب الدوال ذات المتغيرات المتعددة ونظريات التضمين . برلين: سبرينغر. الفصل 2، الصفحات  81-97. doi : 10.1007/978-3-642-65711-5_3 . ISBN 978-3-642-65713-9.
• باول، مايكل جيه دي (1981)، نظرية التقريب وأساليبها ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-29514-7
• ريسز، فريجيس. سزوكيفالفي ناجي، بيلا (1990). التحليل الوظيفي . نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-66289-3.
• رودين، والتر (1987)، التحليل الحقيقي والمركب (  الطبعة الثالثة)، نيويورك: ماكجرو هيل ، ISBN 978-0-07-054234-1، MR 0924157 
• سايمون، باري (2005)، كثيرات الحدود المتعامدة على دائرة الوحدة. الجزء 1. النظرية الكلاسيكية ، منشورات ندوة الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد  54، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-3446-6MR 2105088​ 

• المتسلسلات المثلثية
• متعدد الحدود شبه
• كثير الحدود الأسي