نواة بواسون

في المستوى المركب ، تُعطى نواة بواسون للقرص الواحدي ^{[ 1 ] بالصيغة التالية:}$${\displaystyle P_{r}(\theta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }r^{|n|}e^{in\theta }={\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}=\operatorname {Re} \left({\frac {1+re^{i\theta }}{1-re^{i\theta }}}\right),\ \ \ 0\leq r<1.}$$

يمكن التفكير في هذا بطريقتين: إما كدالة لـ r و θ ، أو كعائلة من الدوال لـ θ المفهرسة بواسطة r .

لو${\displaystyle D=\{z:|z|<1\}}$^{إذا كانت Ω} هي القرص المفتوح ذو الوحدة في C ، وT هي حدود القرص، و f دالة على T تقع في L1 ( T )، فإن الدالة u المعطاة بـ $${\displaystyle u(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }P_{r}(\theta -t)f(e^{it})\,\mathrm {d} t,\quad 0\leq r<1}$$ هي توافقية في D ولها حد شعاعي يتفق مع f في كل مكان تقريبًا على حدود T للقرص.

يمكن إثبات أن القيمة الحدية لـ u هي f بالاستناد إلى حقيقة أنه عندما r → 1 ، تُشكّل الدوال P( _r ( θ )) وحدة تقريبية في جبر الالتفاف L₁ ( T ). وباعتبارها مؤثرات خطية، فإنها تؤول إلى دالة ديراك دلتا نقطيًا على Lₚ ⁽ T ). وبحسب مبدأ القيمة القصوى ، ^فإن u هي الدالة التوافقية الوحيدة من هذا النوع على D.

^{تُعطي عمليات الالتفاف مع} هذه الوحدة التقريبية مثالاً على نواة الجمع لمتسلسلة فورييه لدالة في L₁ ( T ) ( كاتزنيلسون 1976 ) . لنفترض أن ^f ∈ L₁ ( T ) لها متسلسلة فورييه { fₖ _} . بعد تحويل فورييه ، يصبح الالتفاف مع Pᵣ ₍ θ ) ضربًا بالمتتالية { r ^|k| } ∈ ℓ₁ ( ^Z ) . بأخذ تحويل فورييه العكسي للناتج { r ^|k| fₖ } ، نحصل على _متوسط ​​أبيل Aᵣf _للدالة f .$${\displaystyle A_{r}f(e^{2\pi ix})=\sum _{k\in \mathbb {Z} }f_{k}r^{|k|}e^{2\pi ikx}.}$$

إعادة ترتيب هذه السلسلة المتقاربة تمامًا يوضح أن f هي القيمة الحدية لـ g + h ، حيث g (على التوالي h ) هي دالة هولومورفية (على التوالي دالة مضادة للهولومورفية ) على D.

عندما يُطلب أيضًا أن يكون الامتداد التوافقي تام الشكل، فإن الحلول تكون عناصر في فضاء هاردي . ويتحقق ذلك عندما تتلاشى جميع معاملات فورييه السالبة للدالة f . وعلى وجه الخصوص، تُستخدم نواة بواسون عادةً لإثبات تكافؤ فضاءات هاردي على القرص الواحدي ودائرة الوحدة.

يمكن تسمية فضاء الدوال التي تمثل نهايات الدوال في Hp ( z ) على T بـ Hp ⁽ T ) . وهو فضاء جزئي مغلق من ^Lp ( T ) (على الأقل عندما p ≥ 1). وبما أن Lp ⁽ T ) فضاء باناخ (عندما 1 ≤ p ≤ ∞ ) ، ^فإن Hp ( ^T ) كذلك .      

يمكن تحويل القرص الواحدي تحويلاً توافقياً إلى النصف العلوي من المستوى باستخدام تحويلات موبيوس معينة . وبما أن التحويل التوافقي لدالة توافقية هو أيضاً دالة توافقية، فإن نواة بواسون تنتقل إلى النصف العلوي من المستوى. في هذه الحالة، تأخذ معادلة بواسون التكاملية الشكل التالي: $${\displaystyle u(x+iy)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(xt)f(t)\,dt,\qquad y>0.}$$

النواة نفسها معطاة بواسطة $${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}.}$$

بالنظر إلى دالة${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$في فضاء L ^p للدوال القابلة للتكامل على خط الأعداد الحقيقية، يمكن فهم u على أنه امتداد توافقي للدالة f إلى النصف العلوي من المستوى المركب. قياسًا على حالة القرص، عندما تكون u دالة تحليلية في النصف العلوي من المستوى المركب، فإن u تكون عنصرًا من فضاء هاردي.${\displaystyle H^{p},}$وعلى وجه الخصوص، $${\displaystyle \|u\|_{H^{p}}=\|f\|_{L^{p}}}$$

وبالتالي، مرة أخرى، فإن فضاء هاردي H ^p على النصف العلوي من المستوى هو فضاء باناخ ، وعلى وجه الخصوص، فإن تقييده على المحور الحقيقي هو فضاء جزئي مغلق من${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ).}$إن الوضع مماثل فقط لحالة القرص الواحد؛ فمقياس ليبيغ لدائرة الوحدة محدود، بينما مقياس الخط الحقيقي ليس كذلك.