تحويل أبيل

في الرياضيات ، يُعرف تحويل أبيل ^{[ 1 ]} ، نسبةً إلى نيلز هنريك أبيل ، بأنه تحويل تكاملي يُستخدم غالبًا في تحليل الدوال المتناظرة كرويًا أو محوريًا. ويُعطى تحويل أبيل للدالة f ( r ) بالصيغة التالية:

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\,dr.}$

بافتراض أن f ( r ) تتناقص إلى الصفر بسرعة أكبر من 1 / r ، فإن تحويل أبيل العكسي يُعطى بواسطة

${\displaystyle f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

في تحليل الصور ، يتم استخدام تحويل أبيل الأمامي لإسقاط دالة انبعاث رقيقة بصريًا ومتناظرة محوريًا على مستوى، ويتم استخدام تحويل أبيل العكسي لحساب دالة الانبعاث بالنظر إلى إسقاط (أي مسح ضوئي أو صورة فوتوغرافية) لدالة الانبعاث تلك.

في مطيافية الامتصاص للهب أو أعمدة اللهب الأسطوانية، يُمثل تحويل أبيل الأمامي الامتصاص المتكامل على طول شعاع يبعد أقرب مسافة y عن مركز اللهب، بينما يُعطي تحويل أبيل العكسي معامل الامتصاص الموضعي على مسافة r من المركز. يقتصر استخدام تحويل أبيل على التطبيقات ذات الأشكال الهندسية المتناظرة محوريًا. أما في الحالات غير المتناظرة الأكثر عمومية، فينبغي استخدام خوارزميات إعادة بناء أكثر شمولية، مثل تقنية إعادة البناء الجبرية (ART)، وخوارزمية تعظيم التوقع لأقصى احتمال (MLEM)، وخوارزمية الإسقاط الخلفي المُصفّى (FBP).

في السنوات الأخيرة، أصبح تحويل أبيل العكسي (ومتغيراته) حجر الزاوية في تحليل البيانات في تصوير الأيونات المجزأة وتصوير الإلكترونات الضوئية . ومن أبرز التوسعات الحديثة لتحويل أبيل العكسي طريقتي "تقشير البصل" و"توسيع مجموعة الأساس" (BASEX) لتحليل صور الإلكترونات الضوئية والأيونات الضوئية.

في بُعدين، يمكن تفسير تحويل أبيل F ( y ) على أنه إسقاط دالة متناظرة دائريًا f ( r ) على طول مجموعة من خطوط الرؤية المتوازية على مسافة y من نقطة الأصل. بالرجوع إلى الشكل على اليمين، سيرى الراصد ( I )

${\displaystyle F(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,dx,}$

حيث f ( r ) هي الدالة المتناظرة دائريًا والممثلة باللون الرمادي في الشكل. يُفترض أن الراصد موجود فعليًا عند x = ∞ ، وبالتالي فإن حدود التكامل هي ±∞ ، وجميع خطوط الرؤية موازية للمحور x . وبإدراك أن نصف القطر r مرتبط بـ x و y بالعلاقة r² ⁼ x² + y² ^، فإنه يترتب على ذلك ^أن

${\displaystyle dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}}$

لـ x > 0. بما أن f ( r ) دالة زوجية في x ، يمكننا كتابة

${\displaystyle F(y)=2\int _{0}^{\infty }f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\,dx=2\int _{|y|}^{\infty }f(r)\,{\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}},}$

مما ينتج عنه تحويل أبيل لـ f ( r ) .

يمكن توسيع تحويل أبيل إلى أبعاد أعلى. ومن الأمور ذات الأهمية الخاصة التوسيع إلى ثلاثة أبعاد. إذا كان لدينا دالة متناظرة محوريًا ^{f (} ρ , z ) ، حيث ^ρ² = x² + y² هو نصف قطر الأسطوانة، فقد نرغب في معرفة إسقاط تلك الدالة على مستوى موازٍ للمحور z . وبدون فقدان للعمومية ، يمكننا اعتبار ذلك المستوى هو المستوى yz ، بحيث

${\displaystyle F(y,z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,z)\,dx=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(\rho ,z)\rho \,d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2}}}},}$

وهو مجرد تحويل أبيل لـ f ( ρ , z ) في ρ و y .

^يُعد التناظر الكروي نوعًا خاصًا من التناظر المحوري. في هذه الحالة، لدينا دالة f ( r ) ، حيث r² = ^{x² +} y² + z² ^. ويكون الإسقاط على المستوى yz ^، على سبيل ^المثال ، متناظرًا دائريًا ويمكن التعبير عنه بالصيغة F ( s ) ، حيث s² = y² + z² ^. وبإجراء التكامل، نحصل على

${\displaystyle F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }f(r)\,dx=2\int _{s}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{2}}}},}$

وهو مرة أخرى، تحويل أبيل لـ f ( r ) في r و s .

بافتراض أن الدالة f قابلة للتفاضل باستمرار، وأن f و f′ تتناقصان إلى الصفر أسرع من 1 / r ، يمكننا إجراء التكامل بالتجزئة عن طريق وضع

${\displaystyle u=f(r),\quad v'={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}},}$

للعثور

${\displaystyle F(y)=-2\int _{y}^{\infty }f'(r){\sqrt {r^{2}-y^{2}}}\,dr.}$

التمايز الرسمي ،

${\displaystyle F'(y)=2y\int _{y}^{\infty }{\frac {f'(r)}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\,dr.}$

والآن، استبدل هذا في صيغة تحويل أبيل العكسي:

${\displaystyle -{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {F'(y)}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}\,dy=\int _{r}^{\infty }\int _{y}^{\infty }{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {\left(y^{2}-r^{2}\right)\left(s^{2}-y^{2}\right)}}}}f'(s)\,dsdy.}$

بحسب نظرية فوبيني ، فإن التكامل الأخير يساوي

${\displaystyle \int _{r}^{\infty }\int _{r}^{s}{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {\left(y^{2}-r^{2}\right)\left(s^{2}-y^{2}\right)}}}}\,dyf'(s)\,ds=\int _{r}^{\infty }(-1)f'(s)\,ds=f(r).}$

_لنفترض الحالة التي تكون فيها _الدالة F ( y ) غير متصلة عند y = yΔ ، حيث تتغير قيمتها فجأة بمقدار محدود ΔF . أي أن yΔ و ΔF معرفتان بـ

${\displaystyle \Delta F\equiv \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\bigl (}F(y_{\Delta }-\varepsilon )-F(y_{\Delta }+\varepsilon ){\bigr )}.}$

تُصادف مثل هذه الحالة في البوليمرات المرتبطة ( فرشاة البوليمر ) التي تُظهر فصلًا طوريًا رأسيًا ، حيث يمثل F ( y ) ملف تعريف كثافة البوليمر و${\displaystyle f(r)}$يرتبط ذلك بالتوزيع المكاني للوحدات الأحادية الطرفية غير المرتبطة بالبوليمرات.

يُعطى تحويل أبيل للدالة f ( r ) في ظل هذه الظروف مرة أخرى على النحو التالي:

${\displaystyle F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.}$

بافتراض أن f ( r ) تتناقص إلى الصفر بسرعة أكبر من 1 / r ، فإن تحويل أبيل العكسي يُعطى بالصيغة التالية :

${\displaystyle f(r)=\left({\frac {1}{2}}\delta \left(r-y_{\Delta }\right){\sqrt {1-\left({\frac {y_{\Delta }}{r}}\right)^{2}}}-{\frac {1}{\pi }}{\frac {H\left(y_{\Delta }-r\right)}{\sqrt {y_{\Delta }^{2}-r^{2}}}}\right)\Delta F-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.}$

حيث δ دالة ديراك دلتا و H ( x ) دالة هيفسايد المتدرجة . يُبرهن على الصيغة الموسعة لتحويل أبيل للدالة F غير المتصلة بتطبيق تحويل أبيل على الدالة F ( y ) المتصلة والمزاحة ، ويختزل إلى تحويل أبيل الكلاسيكي عندما ΔF = 0. إذا احتوت F ( y ) على أكثر من انقطاع واحد، فيجب إدخال إزاحات لأي منها للوصول إلى صيغة معممة لتحويل أبيل العكسي تحتوي على n حدًا إضافيًا، كل منها يُقابل أحد الانقطاعات n .

• التغطية الراديوية لنظام تحديد المواقع العالمي (GPS)

• براسويل، ر. (1965). تحويل فورييه وتطبيقاته . نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 0-07-007016-4.