تحويل هانكل

في الرياضيات ، يُعبّر تحويل هانكل عن أي دالة معطاة f ( r ) كمجموع مرجّح لعدد لا نهائي من دوال بيسل من النوع الأول Jν ( kr ) . جميع دوال بيسل في المجموع من نفس الرتبة ν، لكنها تختلف في عامل قياس _k على طول المحور r . _يُشكّل المعامل Fν اللازم لكل دالة بيسل في المجموع، كدالة لعامل القياس k، الدالة المُحوّلة. تحويل هانكل هو تحويل تكاملي ، وقد طوّره لأول مرة عالم الرياضيات هيرمان هانكل . يُعرف أيضًا باسم تحويل فورييه-بيسل . وكما يرتبط تحويل فورييه لفترة لانهائية بمتسلسلة فورييه على فترة محدودة، فإن تحويل هانكل على فترة لانهائية يرتبط بمتسلسلة فورييه-بيسل على فترة محدودة.

تحويل هانكل من الرتبة ${\displaystyle \nu }$دالة f ( r ) معطاة بالصيغة التالية

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,}$

أين${\displaystyle J_{\nu }}$هي دالة بيسل من النوع الأول من الرتبة${\displaystyle \nu }$مع${\displaystyle \nu \geq -1/2}$يُعرَّف تحويل هانكل العكسي لـ _Fν ( k ) على النحو التالي:

${\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty}F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,}$

والتي يمكن التحقق منها بسهولة باستخدام علاقة التعامد الموضحة أدناه.

يمكن استخدام تحويل هانكل لتحويل وحل معادلة لابلاس المعبر عنها بالإحداثيات الأسطوانية . في ظل تحويل هانكل، يصبح مؤثر بيسل عبارة عن عملية ضرب في${\displaystyle -k^{2}}$[ ^{2 ]} في حالة التناظر المحوري، تتحول المعادلة التفاضلية الجزئية إلى ^:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}\left\{{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right\}=-k^{2}U+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}U,}$

أين${\displaystyle U={\mathcal {H}}_{0}u}$وبالتالي، يصبح لابلاس في الإحداثيات الأسطوانية معادلة تفاضلية عادية في الدالة المحولة${\displaystyle U}$.

تشكل دوال بيسل أساسًا متعامدًا بالنسبة لعامل الترجيح r : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (kk')}{k}},\quad k,k'>0.}$

إذا كانت الدالتان f ( r ) و g ( r ) بحيث تكون تحويلات هانكل الخاصة بهما Fν ₍ k ) و Gν ₍ k ) معرفة جيدًا، فإن نظرية بلانشيريل تنص على

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.}$

تنص نظرية بارسيفال على

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,}$

تُعدّ هذه حالة خاصة من نظرية بلانشيريل. ويمكن إثبات هذه النظريات باستخدام خاصية التعامد.

يظهر تحويل هانكل عندما يكتب المرء تحويل فورييه متعدد الأبعاد في إحداثيات فائقة الكروية ، وهذا هو السبب في أن تحويل هانكل يظهر غالبًا في المسائل الفيزيائية ذات التناظر الأسطواني أو الكروي.

لنفترض دالة${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$من${\textstyle d}$المتجه r ذو الأبعاد n.${\textstyle d}$يُعرَّف تحويل فورييه ذو الأبعاد n على النحو التالي:$${\displaystyle F(\mathbf {k} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .}$$لإعادة كتابتها في إحداثيات فائقة الكروية، يمكننا استخدام تحليل الموجة المستوية إلى${\textstyle d}$التوافقيات الكروية الفائقة ذات الأبعاد${\displaystyle Y_{l,m}}$[ ^{4 ]​}$${\displaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=(2\pi )^{d/2}(kr)^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}J_{d/2-1+l}(kr)\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} }),}$$أين${\textstyle \Omega _{\mathbf {r} }}$و${\textstyle \Omega _{\mathbf {k} }}$هي مجموعات جميع الزوايا الكروية الفائقة في${\displaystyle \mathbf {r} }$-الفضاء و${\displaystyle \mathbf {k} }$-مسافة. وهذا يعطي التعبير التالي لـ${\textstyle d}$تحويل فورييه ذو الأبعاد n في الإحداثيات الكروية الفائقة:$${\displaystyle F(\mathbf {k} )=(2\pi )^{d/2}k^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })\int _{0}^{+\infty }J_{d/2-1+l}(kr)r^{d/2}\mathrm {d} r\int f(\mathbf {r} )Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} })\mathrm {d} \Omega _{\mathbf {r} }.}$$إذا قمنا بالتوسع${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$و${\displaystyle F(\mathbf {k} )}$في التوافقيات الكروية الفائقة:$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {r} }),\quad F(\mathbf {k} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} }),}$$يتبسط تحويل فورييه في الإحداثيات الكروية الفائقة إلى$${\displaystyle k^{d/2-1}F_{l,m}(k)=(2\pi )^{d/2}(-i)^{l}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm {d} r.}$$هذا يعني أن الدوال ذات الاعتماد الزاوي في شكل توافقية كروية فائقة تحتفظ به عند تحويل فورييه متعدد الأبعاد، بينما يخضع الجزء القطري لتحويل هانكل (حتى بعض العوامل الإضافية مثل${\textstyle r^{d/2-1}}$).

يُعد تحويل هانكل أحد عناصر دورة FHA للمؤثرات التكاملية. في بُعدين، إذا عرّفنا A على أنه مؤثر تحويل أبيل ، و F على أنه مؤثر تحويل فورييه ، و H على أنه مؤثر تحويل هانكل من الرتبة الصفرية، فإن الحالة الخاصة لنظرية شريحة الإسقاط للدوال المتناظرة دائريًا تنص على ما يلي:

${\displaystyle FA=H.}$

بمعنى آخر، تطبيق تحويل أبيل على دالة أحادية البعد، ثم تطبيق تحويل فورييه على النتيجة، يُعادل تطبيق تحويل هانكل على تلك الدالة. ويمكن تعميم هذا المفهوم على أبعاد أعلى.

يعتمد النهج البسيط والفعال للتقييم العددي لتحويل هانكل على الملاحظة التي يمكن صياغتها في شكل التفاف عن طريق تغيير لوغاريتمي للمتغيرات ^{[ 8 ].}$${\displaystyle r=r_{0}e^{-\rho },\quad k=k_{0}\,e^{\kappa }.}$$ في هذه المتغيرات الجديدة، يصبح تحويل هانكل كما يلي: $${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\rho ){\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )\,\mathrm {d} \rho ,}$$ أين $${\displaystyle {\tilde {f}}(\rho )=\left(r_{0}\,e^{-\rho }\right)^{1-n}\,f(r_{0}e^{-\rho }),}$$$${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\left(k_{0}\,e^{\kappa }\right)^{1+n}\,F_{\nu }(k_{0}e^{\kappa }),}$$$${\displaystyle {\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )=\left(k_{0}\,r_{0}\,e^{\kappa -\rho }\right)^{1+n}\,J_{\nu }(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho }).}$$

يمكن الآن حساب التكامل عدديًا باستخدام${\textstyle O(N\log N)}$يمكن تبسيط الخوارزمية بشكل أكبر باستخدام تحويل فورييه السريع . ويمكن تبسيطها أكثر باستخدام تعبير تحليلي معروف لتحويل فورييه لـ${\displaystyle {\tilde {J}}_{\nu }}$[ ^{9 ]​}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\tilde {J}}_{\nu }(x)e^{-iqx}\,\mathrm {d} x={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1+n-iq}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1-n+iq}{2}}\right)}}\,2^{n-iq}e^{iq\ln(k_{0}r_{0})}.}$$ الاختيار الأمثل للمعلمات${\displaystyle r_{0},k_{0},n}$يعتمد ذلك على خصائص${\displaystyle f(r),}$وعلى وجه الخصوص سلوكه التقاربي عند${\displaystyle r\to 0}$و${\displaystyle r\to \infty .}$

تُعرف هذه الخوارزمية باسم "تحويل هانكل شبه السريع"، أو ببساطة "تحويل هانكل السريع".

بما أنه يعتمد على تحويل فورييه السريع في المتغيرات اللوغاريتمية،${\displaystyle f(r)}$يجب تعريفها على شبكة لوغاريتمية. أما بالنسبة للدوال المعرفة على شبكة منتظمة، فهناك عدد من الخوارزميات الأخرى، بما في ذلك التكامل العددي المباشر ، والطرق القائمة على نظرية الإسقاط والتقسيم ، والطرق التي تستخدم التوسع التقاربي لدوال بيسل. ^{[ 10 ]}

^{[ 11 ]}

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{0}(k)}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\delta (k)}{k}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$
${\displaystyle r}$	${\displaystyle -{\frac {1}{k^{3}}}}$
${\displaystyle r^{3}}$	${\displaystyle {\frac {9}{k^{5}}}}$
${\displaystyle r^{m}}$	${\displaystyle {\frac {\,2^{m+1}\,\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)\,}{k^{m+2}\,\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<{\mathcal {R_{e}}}\{m\}<-{\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}\,}}}}$	${\displaystyle {\frac {\,e^{-k|z|}\,}{k}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{\,z^{2}+r^{2}\,}}}$	${\displaystyle K_{0}(kz),\quad z\in \mathbb {C} }$
${\displaystyle {\frac {e^{iar}}{r}}}$	${\displaystyle {\frac {i}{\,{\sqrt {a^{2}-k^{2}\,}}\,}},\quad a>0,\;k<a}$
	${\displaystyle {\frac {1}{\,{\sqrt {k^{2}-a^{2}\,}}\,}},\quad a>0,\;k>a}$
${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\,a^{2}\,}}\,e^{-{\tfrac {k^{2}}{2\,a^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{r}}J_{0}(lr)\,e^{-sr}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\,\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}\,}}\,}}K\left({\sqrt {{\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}\,}}\right)}$
${\displaystyle -r^{2}f(r)}$	${\displaystyle {\frac {\,\mathrm {d} ^{2}F_{0}\,}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}}$

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{\nu }(k)}$
${\displaystyle r^{s}}$	${\displaystyle {\frac {2^{s+1}}{\,k^{s+2}\,}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}}$
${\displaystyle r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)}$
${\displaystyle e^{-r^{2}}r^{\nu }\,U(a,b,r^{2})}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{\,2\,\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }\,e^{-{\frac {k^{2}}{4}}\,}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)}$
${\displaystyle r^{n}J_{\mu }(lr)\,e^{-sr}}$	يمكن التعبير عنها بدلالة التكاملات الإهليلجية . [ 12 ]
${\displaystyle -r^{2}f(r)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{\nu }\,}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}\,F_{\nu }}$

K _n ( z ) هي دالة بيسل معدلة من النوع الثاني . K ( z ) هي التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول .

التعبير

${\displaystyle {\frac {\,\mathrm {d} ^{2}F_{0}\,}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\,\mathrm {d} F_{0}\,}{\mathrm {d} k}}}$

يتطابق مع التعبير الخاص بمؤثر لابلاس في الإحداثيات القطبية ( k ، θ ) المطبق على دالة متناظرة كرويًا F0 ( _k ) .

تحويل هانكل لكثيرات حدود زيرنيكه هي في الأساس دوال بيسل (نول 1976):

${\displaystyle R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k}$

بالنسبة للأعداد الزوجية n − m ≥ 0 .

• تحويل فورييه
• التحويل التكاملي
• تحويل أبيل
• متسلسلة فورييه-بيسل
• متعددة حدود نيومان
• تحويلات Y و H