نظام الإحداثيات الأسطوانية

نظام الإحداثيات الأسطوانية هو نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد يحدد مواضع النقاط من خلال المسافة من محور مرجعي مختار (المحور L في الصورة المقابلة) ، والاتجاه من المحور بالنسبة لاتجاه مرجعي مختار (المحور A) ، والمسافة من المستوى المرجعي المختار العمودي على المحور (المستوى الذي يحتوي على القسم الأرجواني) . تُعطى المسافة الأخيرة كرقم موجب أو سالب اعتمادًا على أي جانب من المستوى المرجعي يواجه النقطة.

أصل النظام هو النقطة التي يمكن عندها إعطاء جميع الإحداثيات الثلاثة على أنها صفر. هذا هو التقاطع بين المستوى المرجعي والمحور. يُطلق على المحور بشكل مختلف المحور الأسطواني أو المحور الطولي ، لتمييزه عن المحور القطبي ، وهو الشعاع الذي يقع في المستوى المرجعي، ويبدأ من الأصل ويشير إلى اتجاه المرجع. تُسمى الاتجاهات الأخرى العمودية على المحور الطولي بالخطوط الشعاعية .

يمكن تسمية المسافة من المحور بالمسافة الشعاعية أو نصف القطر ، بينما يُشار إلى الإحداثيات الزاوية أحيانًا باسم الموضع الزاوي أو السمت . يُطلق على نصف القطر والسمت معًا اسم الإحداثيات القطبية ، حيث يتوافقان مع نظام إحداثيات قطبية ثنائي الأبعاد في المستوى الذي يمر عبر النقطة، بالتوازي مع المستوى المرجعي. يمكن تسمية الإحداثي الثالث بالارتفاع أو الارتفاع ( إذا تم اعتبار المستوى المرجعي أفقيًا)، أو الموضع الطولي ، ^[1] أو الموضع المحوري . ^[2]

تكون الإحداثيات الأسطوانية مفيدة فيما يتعلق بالأشياء والظواهر التي لها بعض التناظر الدوراني حول المحور الطولي، مثل تدفق المياه في أنبوب مستقيم ذو مقطع عرضي دائري، وتوزيع الحرارة في أسطوانة معدنية ، والحقول الكهرومغناطيسية التي ينتجها تيار كهربائي في سلك طويل مستقيم، وأقراص التراكم في علم الفلك، وما إلى ذلك.

يُطلق عليها أحيانًا اسم "الإحداثيات القطبية الأسطوانية" ^[3] و"الإحداثيات الأسطوانية القطبية"، ^[4] وتُستخدم أحيانًا لتحديد موضع النجوم في مجرة ​​("الإحداثيات القطبية الأسطوانية المركزية للمجرة"). ^[5]

يتم تعريف الإحداثيات الثلاثة ( ρ ، φ ، z ) للنقطة P على النحو التالي:

• المسافة الشعاعية ρ هي المسافة الإقليدية من المحور z إلى النقطة P.
• السمت φ هو الزاوية بين اتجاه المرجع على المستوى المختار والخط من الأصل إلى إسقاط P على المستوى.
• الإحداثيات المحورية أو الارتفاع z هي المسافة الموقعة من المستوى المختار إلى النقطة P.

كما هو الحال في الإحداثيات القطبية، فإن نفس النقطة ذات الإحداثيات الأسطوانية ( ρ ، φ ، z ) لها عدد لا نهائي من الإحداثيات المكافئة، وهي ( ρ ، φ ± n ×360°، z ) و (− ρ ، φ ± (2 n + 1)×180°، z )، حيث n هو أي عدد صحيح. علاوة على ذلك، إذا كان نصف القطر ρ يساوي صفرًا، فإن السمت يكون تعسفيًا.

في المواقف التي يريد فيها شخص ما مجموعة فريدة من الإحداثيات لكل نقطة، يمكن للمرء تقييد نصف القطر ليكون غير سلبي ( ρ ≥ 0 ) والسمت φ ليكون في فاصل زمني محدد يمتد 360 درجة، مثل [−180 درجة، +180 درجة] أو [0,360 درجة] .

إن ترميز الإحداثيات الأسطوانية ليس موحدًا. توصي معايير ISO 31-11 بـ ( ρ , φ , z ) ، حيث ρ هو الإحداثي الشعاعي، وφ هو السمت، و z هو الارتفاع. ومع ذلك، غالبًا ما يُشار إلى نصف القطر أيضًا بـ r أو s ، والسمت بـ θ أو t ، والإحداثي الثالث بـ h أو (إذا تم اعتبار المحور الأسطواني أفقيًا) x ، أو أي حرف خاص بالسياق.

في المواقف الملموسة، وفي العديد من الرسوم التوضيحية الرياضية، يتم قياس الإحداثيات الزاوية الإيجابية عكس اتجاه عقارب الساعة كما يُرى من أي نقطة ذات ارتفاع إيجابي.

نظام الإحداثيات الأسطوانية هو أحد أنظمة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد. يمكن استخدام الصيغ التالية للتحويل بينها.

بالنسبة للتحويل بين الإحداثيات الأسطوانية والديكارتية، من المناسب افتراض أن المستوى المرجعي للأول هو المستوى الديكارتي xy (مع المعادلة z = 0 )، والمحور الأسطواني هو المحور الديكارتي z . عندئذٍ يكون إحداثي z هو نفسه في كلا النظامين، والمراسلات بين الإحداثيات الأسطوانية ( ρ ، φ ، z ) والديكارتية ( x ، y ، z ) هي نفسها بالنسبة للإحداثيات القطبية، أي في اتجاه واحد، وفي الاتجاه الآخر. دالة قوس الجيب هي معكوس دالة الجيب ، ويفترض أنها تعيد زاوية في النطاق [− ⁠$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{محاذاة}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\varphi &={\begin{cases}{\text{غير محدد}}&{\text{إذا كان }}x=0{\text{و }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\text{إذا كان }}x\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{إذا كان }}x<0{\text{و }}y\geq 0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{إذا كان }}x<0{\text{و }}y<0\end{cases}}\end{محاذاة}}}$$π/2⁠ , + ⁠π/2⁠ ] = [−90°, +90°] . هذه الصيغ تعطي سمت φ في النطاق [−90°, +270°] .

من خلال استخدام دالة الظل العكسي التي ترجع أيضًا زاوية في النطاق [ −π/2⁠ , + ⁠π/2] = [−90°, +90°] ، يمكن أيضًا الحساب دون إجراء الحسابأولاً. للحصول على صيغ أخرى، راجع المقال نظام الإحداثيات القطبية . ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\begin{cases}{\text{indeterminate}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\\{\frac {\pi }{2}}{\frac {y}{|y|}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y\neq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\text{ and }}y<0\end{cases}}\end{محاذاة}}}$$

توفر العديد من لغات البرمجة الحديثة دالة تحسب السمت الصحيح φ ، في النطاق (−π, π) ، مع الأخذ في الاعتبار x و y ، دون الحاجة إلى إجراء تحليل الحالة كما هو مذكور أعلاه. على سبيل المثال، يتم استدعاء هذه الدالة بواسطة atan2 ( y , x ) في لغة البرمجة C ، و (atan y x ) في Common Lisp .

يمكن تحويل الإحداثيات الكروية (نصف القطر r ، الارتفاع أو الميل θ ، السمت φ )، إلى أو من إحداثيات أسطوانية، اعتمادًا على ما إذا كان θ يمثل الارتفاع أو الميل، من خلال ما يلي:

التحويل بين الإحداثيات الكروية والإسطوانية

التحويل إلى:	تنسيق	θ هو الارتفاع	θ هو الميل
أسطواني	ρ =	r cos θ	ر سين θ
	φ =	φ
	ز =	ر سين θ	r cos θ
كروي	ر =	${\textstyle {\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$
	θ =	${\textstyle \arctan \left({\frac {z}{\rho }}\right)}$	${\textstyle \arctan \left({\frac {\rho }{z}}\right)}$
	φ =	φ

في العديد من المسائل التي تتضمن إحداثيات قطبية أسطوانية، من المفيد معرفة عناصر الخط والحجم؛ حيث تُستخدم هذه العناصر في التكامل لحل المسائل التي تتضمن المسارات والأحجام.

عنصر الخط هو $${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \ ، {\boldsymbol {\hat {\varphi}}}+\mathrm {d} z\،{\boldsymbol {\hat {z}}}.}$$

عنصر الحجم هو $${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}$$

العنصر السطحي في سطح بنصف قطر ثابت ρ (أسطوانة رأسية) هو $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}$$

العنصر السطحي في سطح ذو سمت ثابت φ (نصف مستوى رأسي) هو $${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi}=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.}$$

العنصر السطحي في سطح ذو ارتفاع ثابت z (مستوى أفقي) هو $${\displaystyle \mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .}$$

يؤدي عامل del في هذا النظام إلى التعبيرات التالية لـ gradient و divergence و curl و Laplacian : $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right){\boldsymbol {\hat {z}}}\\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}$$

تسمى حلول معادلة لابلاس في نظام ذي تماثل أسطواني بالتوافقيات الأسطوانية .

في نظام إحداثيات أسطواني، يمكن كتابة موضع الجسيم على النحو التالي ^[6] سرعة الجسيم هي المشتق الزمني لموضعه، حيث يأتي المصطلح من صيغة بواسون . تسارعه هو ^[6]$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}.}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}},}$$${\displaystyle \rho {\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\rho }}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\varphi }}{\hat {z}}\times {\hat {\rho }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}}$$

• قائمة تحويلات الإحداثيات القياسية
• حقول المتجهات في الإحداثيات الأسطوانية والكروية
• دل في الإحداثيات الأسطوانية والكروية

• مورس، فيليب م .؛ فيشباتش، هيرمان (1953). طرق الفيزياء النظرية، الجزء الأول . مدينة نيويورك : ماكجرو هيل . ص 656-657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• مارجيناو، هنري ؛ مورفي، جورج م. (1956). رياضيات الفيزياء والكيمياء . مدينة نيويورك: د. فان نوستراند. ص. 178. ISBN 9780882754239. LCCN  55010911. OCLC  3017486.
• كورن، جرانينو أ.؛ كورن، تيريزا م. (1961). دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين . مدينة نيويورك: ماكجرو هيل. ص 174-175. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• سوير، روبرت. زابو، استفان (1967). الرياضيات Hilfsmittel des Ingenieurs . مدينة نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ص. 95. إل سي إن  67025285.
• زويلينجر، دانييل (1992). دليل التكامل . بوسطن : دار نشر جونز وبارتليت . ص 113. رقم ISBN 0-86720-293-9. OCLC  25710023.
• Moon, P.; Spencer, DE (1988). "Circular-Cylinder Coordinates (r, ψ, z)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed.). New York City: Springer-Verlag. pp. 12–17, Table 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

• "إحداثيات الأسطوانة"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وصف الإحداثيات الأسطوانية في MathWorld
• إحداثيات أسطوانية رسوم متحركة توضح الإحداثيات الأسطوانية بواسطة فرانك واتنبرج