الإحداثيات المتعامدة

في الرياضيات ، تُعرَّف الإحداثيات المتعامدة بأنها مجموعة من الإحداثيات $d.$ $\mathbf {q} =(q^{1},q^{2},\dots ,q^{d})$ حيث تلتقي جميع الأسطح الإحداثية بزوايا قائمة (لاحظ أن الأرقام العلوية هي مؤشرات وليست أسسًا ). السطح الإحداثي لإحداثي معين $q k$ هو المنحنى أو السطح أو السطح الفائق الذي يكون فيه $q k$ ثابتًا. على سبيل المثال، تُعد الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد $(x, y, z)$ نظام إحداثيات متعامد، لأن أسطحه الإحداثية $x =$ ثابت، $y =$ ثابت، و $z =$ ثابت هي مستويات تلتقي بزوايا قائمة، أي أنها متعامدة. تُعد الإحداثيات المتعامدة حالة خاصة ولكنها شائعة جدًا من الإحداثيات المنحنية .

تحفيز

في حين أن عمليات المتجهات والقوانين الفيزيائية عادة ما تكون أسهل في الاشتقاق في الإحداثيات الديكارتية (مع محاور متعامدة ومستقيمة)، فإن الإحداثيات المتعامدة المنحنية تستخدم في كثير من الأحيان لحل المشكلات المختلفة، وخاصة مشكلات القيم الحدية ، مثل تلك التي تنشأ في نظريات المجال لميكانيكا الكم ، وتدفق السوائل ، والديناميكا الكهربائية ، وفيزياء البلازما ، وانتشار الأنواع الكيميائية أو الحرارة .

تتمثل الميزة الرئيسية للإحداثيات غير الديكارتية في إمكانية اختيارها بما يتناسب مع تناظر المسألة. فعلى سبيل المثال، تعتمد موجة الضغط الناتجة عن انفجار بعيد عن الأرض (أو العوائق الأخرى) على الفضاء ثلاثي الأبعاد في الإحداثيات الديكارتية، إلا أن الضغط يتحرك في الغالب بعيدًا عن المركز، بحيث تصبح المسألة في الإحداثيات الكروية أحادية البعد تقريبًا (لأن موجة الضغط تعتمد بشكل أساسي على الزمن والمسافة من المركز فقط). مثال آخر هو سائل (بطيء) في أنبوب دائري مستقيم: في الإحداثيات الديكارتية، يجب حل مسألة قيمة حدية ثنائية الأبعاد (صعبة) تتضمن معادلة تفاضلية جزئية، بينما في الإحداثيات الأسطوانية تصبح المسألة أحادية البعد بمعادلة تفاضلية عادية بدلًا من معادلة تفاضلية جزئية .

يكمن سبب تفضيل الإحداثيات المتعامدة على الإحداثيات المنحنية العامة في بساطتها، إذ تنشأ العديد من التعقيدات عندما لا تكون الإحداثيات متعامدة. على سبيل المثال، في الإحداثيات المتعامدة، يمكن حل العديد من المسائل بفصل المتغيرات . فصل المتغيرات هو أسلوب رياضي يحول مسألة معقدة ذات بُعد d إلى d مسائل أحادية البُعد يمكن حلها بدلالة دوال معلومة. يمكن اختزال العديد من المعادلات إلى معادلة لابلاس أو معادلة هيلمهولتز . معادلة لابلاس قابلة للفصل في 13 نظام إحداثيات متعامدة (من بين الـ 14 نظامًا المذكورة في الجدول أدناه باستثناء النظام الحلقي )، ومعادلة هيلمهولتز قابلة للفصل في 11 نظام إحداثيات متعامدة. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

^{لا تحتوي الإحداثيات المتعامدة أبدًا على} عناصر غير قطرية في موترها المتري . بعبارة أخرى، يمكن دائمًا كتابة المسافة التربيعية المتناهية الصغر ds² كمجموع مُقاس لمربعات إزاحات الإحداثيات المتناهية الصغر:

ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k}\right)^{2}

حيث يمثل d البعد ودوال القياس (أو عوامل القياس):

h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|

تساوي الجذور التربيعية للمكونات القطرية لموتر القياس، أو أطوال متجهات الأساس المحلية. $\mathbf {e} _{k}$ كما هو موضح أدناه. تُستخدم دوال القياس هذه h _i لحساب المؤثرات التفاضلية في الإحداثيات الجديدة، على سبيل المثال ، التدرج ، لابلاس ، التباعد والالتفاف .

إحدى الطرق البسيطة لإنشاء أنظمة إحداثيات متعامدة في بعدين هي التحويل المطابق لشبكة إحداثيات ديكارتية ثنائية الأبعاد قياسية ( x , y ) . يمكن تكوين عدد مركب z = x + iy من الإحداثيات الحقيقية x و y ، حيث يمثل i الوحدة التخيلية . أي دالة تحليلية w = f ( z ) ذات مشتقة مركبة غير صفرية ستنتج تحويلاً مطابقاً ؛ إذا كُتب العدد المركب الناتج w = u + iv ، فإن منحنيات u و v الثابتة تتقاطع بزوايا قائمة، تمامًا كما كانت الخطوط الأصلية x و y الثابتة .

يمكن توليد الإحداثيات المتعامدة في ثلاثة أبعاد أو أكثر من نظام إحداثيات متعامد ثنائي الأبعاد، إما بإسقاطه في بُعد جديد ( الإحداثيات الأسطوانية ) أو بتدوير النظام ثنائي الأبعاد حول أحد محاور تناظره. مع ذلك، توجد أنظمة إحداثيات متعامدة أخرى في ثلاثة أبعاد لا يمكن الحصول عليها بإسقاط أو تدوير نظام ثنائي الأبعاد، مثل الإحداثيات الإهليلجية . ويمكن الحصول على إحداثيات متعامدة أكثر عمومية بالبدء ببعض أسطح الإحداثيات الضرورية ودراسة مساراتها المتعامدة .

متجهات الأساس

الأساس المتغير

في الإحداثيات الديكارتية ، تكون متجهات الأساس ثابتة. أما في الإحداثيات المنحنية ، وهي الحالة الأكثر عمومية، فتُحدد نقطة في الفضاء بإحداثياتها، ولكل نقطة من هذه النقاط مجموعة من متجهات الأساس، والتي عادةً ما تكون غير ثابتة: هذا هو جوهر الإحداثيات المنحنية بشكل عام، وهو مفهوم بالغ الأهمية. ما يُميز الإحداثيات المتعامدة هو أنه على الرغم من تغير متجهات الأساس، إلا أنها تظل متعامدة مع بعضها البعض. بعبارة أخرى،

\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad {\text{if}}\quad i\neq j

تُعتبر متجهات الأساس هذه، بحكم تعريفها، متجهات المماس للمنحنيات التي تم الحصول عليها عن طريق تغيير إحداثية واحدة مع تثبيت الإحداثيات الأخرى:

تمثيل مرئي للإحداثيات المتعامدة ثنائية الأبعاد. تظهر المنحنيات الناتجة عن تثبيت جميع الإحداثيات باستثناء إحداثية واحدة، بالإضافة إلى متجهات الأساس. لاحظ أن متجهات الأساس ليست متساوية الطول: ليس بالضرورة أن تكون كذلك، يكفي أن تكون متعامدة.

\mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}

حيث r نقطة ما، و ^qᵢ الإحداثي الذي يُستخرج منه متجه الأساس. بعبارة أخرى، يُحصل على منحنى بتثبيت جميع الإحداثيات باستثناء واحد؛ يُغيّر الإحداثي غير المُثبّت كما في المنحنى البارامتري ، ومشتق المنحنى بالنسبة للبارامتر (الإحداثي المتغير) هو متجه الأساس لذلك الإحداثي.

لاحظ أن المتجهات ليست بالضرورة متساوية الطول. الدوال المفيدة المعروفة باسم عوامل قياس الإحداثيات هي ببساطة أطوالها. $h_{i}$ من متجهات الأساس ${\mathbf {e} }_{i}$ (انظر الجدول أدناه). تُسمى عوامل القياس أحيانًا بمعاملات لاميه ، ويجب عدم الخلط بينها وبين معلمات لاميه (ميكانيكا المواد الصلبة) .

يتم ترميز متجهات الأساس المعيارية بعلامة القبعة ويتم الحصول عليها عن طريق القسمة على الطول:

$

يمكن تحديد حقل متجهي بمكوناته بالنسبة لمتجهات الأساس أو متجهات الأساس المعيارية، ويجب التأكد من الحالة المقصودة. تُعد المكونات في الأساس المعياري الأكثر شيوعًا في التطبيقات لتوضيح الكميات (على سبيل المثال، قد يرغب المرء في التعامل مع السرعة المماسية بدلًا من السرعة المماسية مضروبة في عامل قياس)؛ أما في الاشتقاقات، فيُعد الأساس المعياري أقل شيوعًا نظرًا لتعقيده.

أساس متغاير

المتجهات الأساسية الموضحة أعلاه هي متجهات أساسية متغايرة (لأنها تتغير مع المتجهات). في حالة الإحداثيات المتعامدة، يسهل إيجاد المتجهات الأساسية المتغايرة عكسيًا لأنها ستكون في نفس اتجاه المتجهات المتغايرة ولكن بطول معكوس (لهذا السبب، يُقال إن مجموعتي المتجهات الأساسية متبادلتان بالنسبة لبعضهما البعض).

\mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}

وينتج هذا عن حقيقة أنه، بحكم التعريف، $\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}$ باستخدام دالة كرونكر دلتا . لاحظ ما يلي:

{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}\equiv {\hat {\mathbf {e} }}^{i}

نواجه الآن ثلاث مجموعات أساسية مختلفة شائعة الاستخدام لوصف المتجهات في الإحداثيات المتعامدة: الأساس المتغير e _i ، والأساس المتغير عكسيًا e ⁱ ، والأساس المعياري ê ⁱ . في حين أن المتجه كمية موضوعية ، أي أن هويته مستقلة عن أي نظام إحداثيات، فإن مكونات المتجه تعتمد على الأساس الذي يُمثَّل به.

لتجنب الالتباس، يتم تمثيل مكونات المتجه x بالنسبة إلى أساس e _i على النحو التالي: x ⁱ ، بينما يتم تمثيل المكونات بالنسبة إلى أساس e ⁱ على النحو التالي: x _i :

\mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}

يمثل موضع المؤشرات كيفية حساب المكونات (يجب عدم الخلط بين المؤشرات العلوية والأسس ). لاحظ أنه غالبًا ما يتم حذف رمز الجمع Σ ( سيجما الكبيرة ) ونطاق الجمع، الذي يشير إلى الجمع على جميع متجهات الأساس ( i = 1، 2، ...، d ) . ترتبط المكونات ببساطة بما يلي:

h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}

لا يوجد تدوين واسع الانتشار يميز مكونات المتجهات فيما يتعلق بالأساس المعياري؛ في هذه المقالة سنستخدم الرموز السفلية لمكونات المتجهات ونشير إلى أن المكونات يتم حسابها في الأساس المعياري.

الجبر المتجهي

يتم جمع المتجهات وإعرابها عنصرًا عنصرًا، تمامًا كما هو الحال في الإحداثيات الديكارتية، دون أي تعقيدات. قد تكون هناك حاجة إلى اعتبارات إضافية لعمليات المتجهات الأخرى.

مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن جميع هذه العمليات تفترض أن متجهين في حقل متجهي مرتبطان بنفس النقطة (أي أن ذيول المتجهات متطابقة). وبما أن متجهات الأساس تتغير عمومًا في الإحداثيات المتعامدة، فإذا جُمع متجهان حُسبت مركباتهما عند نقاط مختلفة في الفضاء، فإن اختلاف متجهات الأساس يستلزم مراعاة ذلك.

منتج نقطي

الضرب القياسي في الإحداثيات الديكارتية ( الفضاء الإقليدي مع مجموعة أساس متعامدة ) هو ببساطة مجموع حاصل ضرب مركبات المتجهات. في الإحداثيات المتعامدة، يأخذ الضرب القياسي لمتجهين x و y هذا الشكل المألوف عند حساب مركبات المتجهات في الأساس المعياري:

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}

هذا نتيجة مباشرة لحقيقة أن الأساس المعياري في مرحلة ما يمكن أن يشكل نظام إحداثيات ديكارتية: مجموعة الأساس متعامدة .

بالنسبة للمكونات في القواعد المتغيرة أو المتغايرة،

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}

يمكن اشتقاق ذلك بسهولة عن طريق كتابة المتجهات في شكل مركباتها، وتطبيع متجهات الأساس، ثم حساب حاصل الضرب النقطي. على سبيل المثال، في بُعدين:

{\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}\right)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2}\right)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}\right)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}}\right)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}

حيث تم استخدام حقيقة أن الأساسات المتغيرة والمتغايرة المعيارية متساوية.

الضرب الاتجاهي

حاصل الضرب الاتجاهي في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد هو:

\mathbf {x} \times \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}

تظل الصيغة المذكورة أعلاه صالحة في الإحداثيات المتعامدة إذا تم حساب المكونات في الأساس المعياري.

لإنشاء الضرب الاتجاهي في الإحداثيات المتعامدة مع قواعد متغايرة أو متغايرة عكسية، يجب علينا مرة أخرى ببساطة تطبيع متجهات الأساس، على سبيل المثال:

\mathbf {x} \times \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}\times \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\times \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}

والتي، عند كتابتها بشكل موسع،

\mathbf {x} \times \mathbf {y} =\left(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2}\right){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\left(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3}\right){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+\left(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1}\right){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}

يمكن استخدام الترميز المختصر للضرب الاتجاهي، الذي يبسط التعميم إلى الإحداثيات غير المتعامدة والأبعاد الأعلى، مع موتر ليفي-سيفيتا ، والذي سيكون له مكونات أخرى غير الأصفار والآحاد إذا لم تكن عوامل المقياس كلها تساوي واحدًا.

حساب المتجهات

التمايز

عند النظر إلى إزاحة متناهية الصغر من نقطة ما، يتضح أن

d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}

بحسب التعريف ، يجب أن يحقق تدرج الدالة الشرط التالي (يظل هذا التعريف صحيحًا إذا كان ƒ أي موتر ).

df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df=\nabla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}

وبناءً على ذلك ، يجب أن يكون عامل الحذف كالتالي :

\nabla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}

ويظل هذا صحيحًا بشكل عام في الإحداثيات المنحنية. وتنتج كميات مثل التدرج واللابلاس من خلال التطبيق الصحيح لهذا المؤثر.

صيغ المتجهات الأساسية

يمكن بناء ما يلي من خلال d r ومتجهات الأساس المعيارية ê _{i .}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

العنصر التفاضلي	المتجهات	الكميات القياسية
عنصر الخط	متجه المماس لمنحنى الإحداثيات q ⁱ : $d{\boldsymbol {\ell }}=h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}dq^{i}$	طول متناهي الصغر $d\ell ={\sqrt {d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} }}={\sqrt {(h_{1}\,dq^{1})^{2}+(h_{2}\,dq^{2})^{2}+(h_{3}\,dq^{3})^{2}}}$
عنصر سطحي	العمودي على سطح الإحداثيات q ^k = ثابت: ${\begin{aligned}d\mathbf {S} &=(h_{i}dq^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\times (h_{j}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\\&=dq^{i}dq^{j}\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)\\&=h_{i}h_{j}dq^{i}dq^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\end{aligned}}$	سطح متناهي الصغر $dS_{k}=h_{i}h_{j}\,dq^{i}\,dq^{j}$
عنصر الحجم	غير متوفر	حجم متناهي الصغر ${\begin{aligned}dV&=\|(h_{1}\,dq^{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1})\cdot (h_{2}\,dq^{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2})\times (h_{3}\,dq^{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3})\|\\&=\|{\hat {\mathbf {e} }}_{1}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\|h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=h_{1}h_{2}h_{3}\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\\&=J\,dq^{1}\,dq^{2}\,dq^{3}\end{aligned}}$

أين

J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}\right)\right|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}}\right|=h_{1}h_{2}h_{3}

هو المحدد اليعقوبي ، والذي له التفسير الهندسي للتشوه في الحجم من المكعب المتناهي الصغر d x dy d z إلى الحجم المنحني المتناهي الصغر في الإحداثيات المتعامدة.

اندماج

باستخدام عنصر الخط الموضح أعلاه، التكامل الخطي على طول مسار $\scriptstyle {\mathcal {P}}$ مشتقة المتجه F هي:

\int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}

عنصر مساحة متناهي الصغر لسطح موصوف بتثبيت أحد الإحداثيات q _k هو:

dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}

وبالمثل، فإن عنصر الحجم هو:

dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}

حيث يشير الرمز الكبير Π (باي الكبير ) إلى عملية الضرب، تمامًا كما يشير الرمز الكبير Σ إلى عملية الجمع. لاحظ أن حاصل ضرب جميع عوامل القياس هو محدد جاكوبي .

على سبيل المثال، التكامل السطحي لدالة متجهة F على سطح ثابت q ¹ = $\scriptstyle {\mathcal {S}}$ في تقنية الأبعاد الثلاثية:

\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}

لاحظ أن F ¹ / h ₁ هو مركبة F العمودية على السطح.

المؤثرات التفاضلية في ثلاثة أبعاد

بما أن هذه العمليات شائعة في التطبيق، فإن جميع مكونات المتجهات في هذا القسم يتم عرضها بالنسبة إلى الأساس المعياري: ${\hat {F}}_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}$ .

المشغل	تعبير
تدرج حقل قياسي	$\nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}$
تباعد حقل متجه	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\hat {F}}_{1}h_{2}h_{3}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\hat {F}}_{2}h_{3}h_{1}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\hat {F}}_{3}h_{1}h_{2}\right)\right]$
التفاف حقل متجه	${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{3}{\hat {F}}_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{2}{\hat {F}}_{2}\right)\right]+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left(h_{1}{\hat {F}}_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{3}{\hat {F}}_{3}\right)\right]\\[10pt]&+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left(h_{2}{\hat {F}}_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left(h_{1}{\hat {F}}_{1}\right)\right]={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}&h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}&h_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}\\{\dfrac {\partial }{\partial q^{1}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{2}}}&{\dfrac {\partial }{\partial q^{3}}}\\h_{1}{\hat {F}}_{1}&h_{2}{\hat {F}}_{2}&h_{3}{\hat {F}}_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}$
لابلاس حقل قياسي	$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q^{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q^{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right)\right]$

يمكن كتابة التعبيرات المذكورة أعلاه بصيغة أكثر اختصارًا باستخدام رمز ليفي-تشيفيتا $\epsilon _{ijk}$ والمحدد اليعقوبي $J=h_{1}h_{2}h_{3}$ ، بافتراض الجمع على المؤشرات المتكررة:

المشغل	تعبير
تدرج حقل قياسي	$\nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}$
تباعد حقل متجه	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{J}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {J}{h_{k}}}{\hat {F}}_{k}\right)$
التفاف حقل متجه (ثلاثي الأبعاد فقط)	$\nabla \times \mathbf {F} ={\frac {h_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{J}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h_{j}{\hat {F}}_{j}\right)$
لابلاس حقل قياسي	$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{J}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {J}{h_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)$

لاحظ أيضًا أن تدرج الحقل القياسي يمكن التعبير عنه بدلالة مصفوفة جاكوبي J التي تحتوي على المشتقات الجزئية المتعارف عليها:

\mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}}\right]

عند تغيير الأساس :

\nabla \phi =\mathbf {S} \mathbf {R} \mathbf {J} ^{T}

حيث تكون مصفوفات الدوران والتحجيم كالتالي:

\mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]

\mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]).

جدول الإحداثيات المتعامدة ثنائية الأبعاد


نظام	التحويل المعقد $x+iy=f(u+iv)$	شكل $u$ و $v$ خطوط التساوي	تعليق
ديكارتي	$u+iv$	خط، خط
القطب اللوغاريتمي	$\exp(u+iv)$	دائرة، خط	ل $u=\ln r$ يصبح قطبيًا
القطع المكافئ	${\frac {1}{2}}(u+iv)^{2}$	قطع مكافئ، قطع مكافئ
ثنائي القطب النقطي	$(u+iv)^{-1}$	دائرة، دائرة
بيضاوي الشكل	$\cosh(u+iv)$	القطع الناقص، القطع الزائد	حقل الإبرة، يظهر قطبيًا لوغاريتميًا للمسافات الكبيرة
ثنائي القطب	$\coth(u+iv)$	دائرة، دائرة	يبدو كقطب ثنائي نقطي للمسافات الكبيرة
	${\sqrt {u+iv}}$	القطع الزائد، القطع الزائد	مجال الحافة الداخلية
	$u=x^{2}+2y^{2},\ y=vx^{2}$	القطع الناقص، القطع المكافئ

ديكارتي

القطب الشمالي

لوغاريتمي قطبي

قطع ناقص مكافئ

القطع المكافئ

ثنائي القطب النقطي

جذر(u+iv)

بيضاوي الشكل

ثنائي القطب

لوغاريتم قطبي معكوس

أمثلة على الإحداثيات المتعامدة ثنائية الأبعاد. ^{[ 5 ]}

جدول الإحداثيات المتعامدة ثلاثية الأبعاد

إلى جانب الإحداثيات الديكارتية المعتادة، تم إدراج 13 إحداثية أخرى في الجدول أدناه. ^{[ 6 ]}

الإحداثيات المنحنية ( q1 ، q2 _،q3 ₎	التحويل من الإحداثيات الديكارتية ( س ، ص ، ع )	عوامل المقياس
الإحداثيات الكروية $(r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}$
إحداثيات مكافئة $(u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}$
الإحداثيات الأسطوانية ثنائية القطب $(u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
الإحداثيات الإهليلجية ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,c^{2})\times (c^{2},b^{2})\times (b^{2},a^{2})\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1$ أين $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}$
إحداثيات القطع المكافئ ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\in [0,b^{2})\times (b^{2},a^{2})\times (a^{2},\infty )\\&b^{2}<a^{2}\end{aligned}}$	${\frac {x^{2}}{q_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q_{i}-b^{2}}}=2z+q_{i}$ أين $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )$	$h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})}}}$
الإحداثيات القطبية الأسطوانية $(r,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=r\cos \phi \\y&=r\sin \phi \\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=r\end{aligned}}$
الإحداثيات الأسطوانية الإهليلجية $(u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
إحداثيات كروية مفلطحة $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$
إحداثيات كروية متطاولة $(\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}$
الإحداثيات الكروية الثنائية $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
إحداثيات حلقية $(u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )$	${\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}$
إحداثيات أسطوانية مكافئة $(u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )$	${\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}$
الإحداثيات المخروطية ${\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}$	${\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{b^{2}-a^{2}}}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}$

ومن الأمثلة على نظام الإحداثيات المتعامدة الأكثر عمومية ولكنها لا تزال تحليلية نظام الإحداثيات الكروية المفلطحة المتشابهة (SOS)، ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} حيث يتم التعبير عن التحويل من الإحداثيات الديكارتية بالإضافة إلى عوامل المقياس على أنها مجاميع متقاربة لا نهائية باستخدام معاملات ذات الحدين المعممة.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ إريك دبليو. وايسشتاين . "نظام الإحداثيات المتعامدة" . ماث وورلد . تم الاسترجاع في 10 يوليو 2008 .
↑ مورس وفيشباخ 1953 ، المجلد 1، الصفحات 494-523، 655-666.
↑ دليل الرياضيات للصيغ والجداول (الطبعة الثالثة)، إس. ليبشوتز، إم آر شبيغل، جيه. ليو، سلسلة شوام للمخططات، 2009، رقم ISBN 978-0-07-154855-7.
^ تحليل المتجهات (الإصدار الثاني)، MR Spiegel، S. Lipschutz، D. Spellman، Schaum's Outlines، McGraw Hill (الولايات المتحدة الأمريكية)، 2009، ISBN 978-0-07-161545-7
↑ "نظام الإحداثيات المتعامدة" .
^ تحليل المتجهات (الإصدار الثاني)، MR Spiegel، S. Lipschutz، D. Spellman، Schaum's Outlines، McGraw Hill (الولايات المتحدة الأمريكية)، 2009، ISBN 978-0-07-161545-7
↑ سترونز، بافيل (2022). "الحل التحليلي لنظام إحداثيات كروي مفلطح مماثل". ميكانيكا سماوية وديناميات فلكية . 134 : 51. arXiv : 2109.12057 . doi : 10.1007/s10569-022-10099-z . S2CID 252973048 .
↑ سترونز، بافيل (2024). "الحل الداخلي لمعادلة لابلاس في الحالة المتناظرة سمتيًا في إحداثيات كروية مفلطحة متشابهة متعامدة". المجلة الأوروبية للفيزياء بلس . 139 : 409. arXiv : 2308.11398 . doi : 10.1140/epjp/s13360-024-05181-4 . S2CID 261064631 .

مراجع

Korn GA and Korn TM . (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers , McGraw-Hill, pp. 164–182.
مورس وفيشباخ (1953). أساليب الفيزياء النظرية، المجلد 1. ماكجرو هيل.
مارجيناو هـ. ومورفي جي إم. (1956) رياضيات الفيزياء والكيمياء ، الطبعة الثانية، فان نوستراند، ص 172-192.
ليونيد ب. ليبيديف ومايكل ج. كلاود (2003) تحليل الموترات ، ص 81-88.

[1] إريك دبليو. وايسشتاين . "نظام الإحداثيات المتعامدة" . ماث وورلد . تم الاسترجاع في 10 يوليو 2008 .

[2] مورس وفيشباخ 1953 ، المجلد 1، الصفحات 494-523، 655-666.

[3] دليل الرياضيات للصيغ والجداول (الطبعة الثالثة)، إس. ليبشوتز، إم آر شبيغل، جيه. ليو، سلسلة شوام للمخططات، 2009، رقم ISBN 978-0-07-154855-7.

[4] تحليل المتجهات (الإصدار الثاني)، MR Spiegel، S. Lipschutz، D. Spellman، Schaum's Outlines، McGraw Hill (الولايات المتحدة الأمريكية)، 2009، ISBN 978-0-07-161545-7

[5] "نظام الإحداثيات المتعامدة" .

[6] تحليل المتجهات (الإصدار الثاني)، MR Spiegel، S. Lipschutz، D. Spellman، Schaum's Outlines، McGraw Hill (الولايات المتحدة الأمريكية)، 2009، ISBN 978-0-07-161545-7

[7] سترونز، بافيل (2022). "الحل التحليلي لنظام إحداثيات كروي مفلطح مماثل". ميكانيكا سماوية وديناميات فلكية . 134 : 51. arXiv : 2109.12057 . doi : 10.1007/s10569-022-10099-z . S2CID 252973048 .

[8] سترونز، بافيل (2024). "الحل الداخلي لمعادلة لابلاس في الحالة المتناظرة سمتيًا في إحداثيات كروية مفلطحة متشابهة متعامدة". المجلة الأوروبية للفيزياء بلس . 139 : 409. arXiv : 2308.11398 . doi : 10.1140/epjp/s13360-024-05181-4 . S2CID 261064631 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗