نواة التجميع

في الرياضيات، تُعرف نواة التجميع بأنها عائلة أو متتالية من الدوال الدورية القابلة للتكامل والتي تحقق مجموعة معينة من الخصائص المذكورة أدناه. وتُعد بعض النوى، مثل نواة فيجير ، مفيدة بشكل خاص في تحليل فورييه . ترتبط نوى التجميع بتقريب المتطابقة ؛ وتختلف تعريفات تقريب المتطابقة، ^{[ 1 ]} ولكن في بعض الأحيان يُعتبر تعريف تقريب المتطابقة هو نفسه تعريف نواة التجميع.

يترك${\displaystyle \mathbb {T}$ :=\mathbb {R} /\mathbb {Z} } . نواة الجمع هي متتالية${\displaystyle (k_{n})}$في${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$ذلك يرضي

1. ${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}$
2. ${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M}$(محدود بشكل منتظم)
3. ${\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$لكل${\displaystyle \delta >0}$.

لاحظ أنه إذا${\displaystyle k_{n}\geq 0}$للجميع${\displaystyle n}$، أي${\displaystyle (k_{n})}$إذا كانت نواة قابلة للجمع الموجب ، فإن الشرط الثاني يتبع تلقائيًا من الشرط الأول.

وفقًا للاتفاقية الأكثر شيوعًا${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$تصبح المعادلة الأولى${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}$وينبغي تمديد الحد الأعلى للتكامل على المعادلة الثالثة إلى${\displaystyle \pi }$وبالتالي، يجب أن يكون الشرط 3 أعلاه

${\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|k_{n}(t)|\,dt\to 0}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$لكل${\displaystyle \delta >0}$.

وهذا يعبر عن حقيقة أن الكتلة تتركز حول نقطة الأصل كما${\displaystyle n}$يزداد.

يمكن للمرء أيضًا أن يفكر${\displaystyle \mathbb {R} }$بدلاً من${\displaystyle \mathbb {T} }$ثم يتم دمج (1) و(2) على${\displaystyle \mathbb {R} }$و(3) على${\displaystyle |t|>\delta }$.

• نواة فيجير
• نواة بواسون (مؤشر متصل)
• نواة لاندو
• إن نواة ديريشليه ليست نواة قابلة للجمع، لأنها تفشل في الشرط الثاني .

يترك${\displaystyle (k_{n})}$أن تكون نواة قابلة للجمع، و${\displaystyle *}$تشير إلى عملية الالتفاف .

• لو${\displaystyle (k_{n}),f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}$(الدوال المتصلة على${\displaystyle \mathbb {T} }$)، ثم${\displaystyle k_{n}*f\to f}$في${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}$أي بشكل موحد، كما${\displaystyle n\to \infty }$. في حالة نواة فيجير، يُعرف هذا بنظرية فيجير .
• لو${\displaystyle (k_{n}),f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$، ثم${\displaystyle k_{n}*f\to f}$في${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$، مثل${\displaystyle n\to \infty }$.
• لو${\displaystyle (k_{n})}$متناقصة شعاعيًا ومتناظرة و${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$، ثم${\displaystyle k_{n}*f\to f}$نقطة بنقطة ae ، كما${\displaystyle n\to \infty }$يستخدم هذا دالة هاردي-ليتلوود القصوى . إذا${\displaystyle (k_{n})}$ليس التناظر متناقصًا شعاعيًا، بل التناظر المتناقص${\displaystyle {\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)}$يرضي${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k}}_{n}\|_{1}<\infty }$، ثم يظل التقارب ae قائماً، باستخدام حجة مماثلة.

• كاتزنيلسون، يتسحاق (2004)، مقدمة في التحليل التوافقي ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-54359-2