التحويل التكاملي

في الرياضيات ، يُعدّ التحويل التكاملي نوعًا من التحويلات التي تنقل دالة من فضاء دالتها الأصلي إلى فضاء دالتها الآخر عبر التكامل ، حيث يمكن تحديد بعض خصائص الدالة الأصلية ومعالجتها بسهولة أكبر مما هي عليه في فضاء دالتها الأصلي. ويمكن عمومًا إعادة الدالة المُحوّلة إلى فضاء دالتها الأصلي باستخدام التحويل العكسي .

التحويل التكاملي هو أي تحويل${\displaystyle T}$بالشكل التالي:

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt}$

المدخل لهذا التحويل هو دالة${\displaystyle f}$والناتج عبارة عن دالة أخرى${\displaystyle Tf}$التحويل التكاملي هو نوع خاص من المؤثرات الرياضية .

توجد العديد من التحويلات التكاملية المفيدة. ويتم تحديد كل منها باختيار الدالة.${\displaystyle K}$من متغيرين ، وهذا ما يسمى النواة أو مركز التحويل.

بعض النوى لها نواة عكسية مرتبطة بها${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$والذي ينتج عنه (بشكل تقريبي) تحويل عكسي:

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du}$

النواة المتناظرة هي التي لا تتغير عند تبديل المتغيرين؛ وهي دالة نواة.${\displaystyle K}$بحيث${\displaystyle K(t,u)=K(u,t)}$في نظرية المعادلات التكاملية، تتوافق النوى المتناظرة مع المؤثرات الذاتية المرافقة . ^{[ 1 ]}

توجد فئات عديدة من المسائل التي يصعب حلها، أو على الأقل تكون معقدة جبريًا، في تمثيلاتها الأصلية. يقوم التحويل التكاملي بنقل المعادلة من نطاقها الأصلي إلى نطاق آخر، حيث قد يكون التعامل مع المعادلة وحلها أسهل بكثير مما هو عليه في النطاق الأصلي. ويمكن بعد ذلك إعادة الحل إلى النطاق الأصلي باستخدام معكوس التحويل التكاملي.

هناك العديد من تطبيقات الاحتمالات التي تعتمد على التحويلات التكاملية، مثل "نواة التسعير" أو عامل الخصم العشوائي ، أو تنعيم البيانات المستعادة من الإحصاءات القوية؛ انظر النواة (الإحصاءات) .

كانت متسلسلة فورييه هي السلف للتحويلات، حيث كانت تُستخدم للتعبير عن الدوال في فترات محدودة. وفي وقت لاحق، تم تطوير تحويل فورييه لإزالة شرط الفترات المحدودة.

باستخدام متسلسلة فورييه، يمكن تمثيل أي دالة زمنية عملية تقريبًا ( مثل فرق الجهد بين طرفي جهاز إلكتروني ) كمجموع دوال جيبية وجيب تمامية ، مع تعديل كل منها بشكل مناسب (بضربها في عامل ثابت)، وإزاحتها (تقديمها أو تأخيرها زمنيًا)، و"ضغطها" أو "تمديدها" (زيادة أو نقصان ترددها). تُعد الدوال الجيبية والجيبية التمامية في متسلسلة فورييه مثالًا على أساس متعامد .

كمثال على تطبيق التحويلات التكاملية، لنأخذ تحويل لابلاس . هذه تقنية تحوّل المعادلات التفاضلية أو التكاملية التفاضلية في مجال الزمن إلى معادلات متعددة الحدود في مجال التردد المركب . (يشبه التردد المركب التردد الفيزيائي الفعلي، ولكنه أكثر عمومية. تحديدًا، يتوافق الجزء التخيلي ω من التردد المركب s = −σ + iω مع المفهوم المعتاد للتردد، أي معدل تكرار الموجة الجيبية، بينما يتوافق الجزء الحقيقي σ من التردد المركب مع درجة التخميد، أي الانخفاض الأسي في السعة). يمكن حل المعادلة المصاغة بدلالة التردد المركب بسهولة في مجال التردد المركب (جذور المعادلات متعددة الحدود في مجال التردد المركب تتوافق مع القيم الذاتية في مجال الزمن)، مما يؤدي إلى حل مصاغ في مجال التردد. باستخدام التحويل العكسي ، أي الإجراء العكسي لتحويل لابلاس الأصلي، نحصل على حل في المجال الزمني. في هذا المثال، تتوافق كثيرات الحدود في مجال التردد المركب (التي تظهر عادةً في المقام) مع متسلسلات القوى في المجال الزمني، بينما تتوافق الإزاحات المحورية في مجال التردد المركب مع التخميد الناتج عن الدوال الأسية المتناقصة في المجال الزمني.

تُستخدم تحويلة لابلاس على نطاق واسع في الفيزياء، وخاصة في الهندسة الكهربائية، حيث تتوافق المعادلات المميزة التي تصف سلوك الدائرة الكهربائية في مجال التردد المركب مع التراكيب الخطية للموجات الجيبية المخمدة ذات المقياس الأسي والمزاحة زمنيًا في المجال الزمني. كما تُستخدم تحويلات تكاملية أخرى في مجالات علمية ورياضية مختلفة.

مثال آخر على الاستخدام هو النواة في التكامل المساري :

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.}$

وهذا يعني أن السعة الكلية${\displaystyle \psi (x,t)}$للوصول إلى${\displaystyle (x,t)}$هو المجموع (التكامل) على جميع القيم الممكنة${\displaystyle x'}$من السعة الكلية${\displaystyle \psi (x',t')}$للوصول إلى النقطة${\displaystyle (x',t')}$مضروبًا في السعة للانتقال من${\displaystyle x'}$ل${\displaystyle x}$[ أي${\displaystyle K(x,t;x',t')}$^{[ 2} ] يُشار إليه غالبًا باسم المُوَصِّل لنظام مُعين. هذه النواة (الفيزيائية) هي نواة التحويل التكاملي. ^ومع ذلك ، لكل نظام كمومي نواة مختلفة. ^{[ 3 ]}

جدول التحويلات التكاملية

تحويل	رمز	ك	f ( t )	ت 1	t 2	K −1	u 1	يو ٢
تحويل أبيل	F، f	${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$		${\displaystyle u}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}}$[ 4 ]	ت	${\displaystyle \infty }$
تحويل أسوشيتد ليجندر	${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n,m}}$	${\displaystyle (1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
تحويل فورييه	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle e^{-2\pi iut}}$	${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle e^{2\pi iut}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
تحويل فورييه الجيبي	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	على${\displaystyle [0,\infty )}$، ذات قيمة حقيقية	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
تحويل فورييه الجيب التمامي	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	على${\displaystyle [0,\infty )}$، ذات قيمة حقيقية	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
تحويل هانكل		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle u\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
هارتلي يتحول	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
تحول هيرميت	${\displaystyle H}$	${\displaystyle e^{-x^{2}}H_{n}(x)}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
تحويل هيلبرت	${\displaystyle {\mathcal {H}}il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{ut}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{ut}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
تحويل جاكوبي	${\displaystyle J}$	${\displaystyle (1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
تحويل لاغير	${\displaystyle L}$	${\displaystyle e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
تحويل لابلاس	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
تحوّل ليجندر	${\displaystyle {\mathcal {J}}}$	${\displaystyle P_{n}(x)\,}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
ميلين يتحول	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle t^{u-1}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,}$[ 5 ]	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
تحويل لابلاس ثنائي الجانب	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	${\displaystyle e^{-ut}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
نواة بواسون		${\displaystyle {\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2\pi }$
تحول الرادون	Rƒ	${\displaystyle \delta (x\cos \theta +y\sin \theta -t)}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
تحويل فايرشتراس	${\displaystyle {\mathcal {W}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
تحويل الأشعة السينية	Xƒ			${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$

في حدود التكامل للتحويل العكسي، c ثابت يعتمد على طبيعة دالة التحويل. على سبيل المثال، في تحويل لابلاس أحادي الجانب وثنائي الجانب، يجب أن يكون c أكبر من أكبر جزء حقيقي لأصفار دالة التحويل.

لاحظ أن هناك رموزًا واتفاقيات بديلة لتحويل فورييه.

هنا يتم تعريف التحويلات التكاملية للدوال على الأعداد الحقيقية، ولكن يمكن تعريفها بشكل أكثر عمومية للدوال على مجموعة.

• إذا استخدمنا بدلاً من ذلك الدوال على الدائرة (الدوال الدورية)، فإن نوى التكامل تكون حينها دوال ثنائية الدورية؛ والالتفاف بواسطة الدوال على الدائرة ينتج عنه التفاف دائري .
• إذا استخدم المرء الدوال على المجموعة الدورية من الرتبة n ( C _n أو Z / n Z )، فإنه يحصل على مصفوفات n × n كنوى تكامل؛ ويتوافق الالتفاف مع المصفوفات الدائرية .

على الرغم من اختلاف خصائص التحويلات التكاملية اختلافًا كبيرًا، إلا أنها تشترك في بعض الخصائص. على سبيل المثال، كل تحويل تكاملي هو مؤثر خطي ، لأن التكامل مؤثر خطي، وفي الواقع إذا سُمح للنواة بأن تكون دالة معممة، فإن جميع المؤثرات الخطية هي تحويلات تكاملية (صيغة صحيحة لهذه العبارة هي نظرية نواة شوارتز ).

تُعرف النظرية العامة لهذه المعادلات التكاملية بنظرية فريدهولم . في هذه النظرية، يُفهم النواة على أنها مؤثر مضغوط يعمل على فضاء باناخ للدوال. وبحسب الحالة، يُشار إلى النواة بمسميات مختلفة، منها مؤثر فريدهولم ، أو المؤثر النووي ، أو نواة فريدهولم .

• أ. د. بوليانين وأ. ف. مانجيروف، دليل المعادلات التكاملية ، مطبعة سي آر سي، بوكا راتون، 1998. رقم ISBN 0-8493-2876-4
• آر كي إم ثامبيناياغام، دليل الانتشار: حلول تطبيقية للمهندسين ، ماكجرو هيل، نيويورك، 2011. ISBN 978-0-07-175184-1
• "التحويل التكاملي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• جداول التحويلات التكاملية في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.