تحويل هيلبرت

في الرياضيات ومعالجة الإشارات ، يُعد تحويل هيلبرت تكاملاً مفرداً خاصاً يأخذ دالة u ( t ) لمتغير حقيقي وينتج دالة أخرى لمتغير حقيقي H( u )( t ) . ويُعطى تحويل هيلبرت بالقيمة الرئيسية لكوشي للالتفاف مع الدالة.${\displaystyle 1/(\pi t)}$ (انظر §  التعريف ). يتميز تحويل هيلبرت بتمثيل بسيط للغاية في مجال التردد : فهو يُحدث إزاحة طورية مقدارها ±90° ( π /2  راديان) لكل مُركِّب ترددي للدالة، وتعتمد إشارة الإزاحة على إشارة التردد (انظر §  العلاقة مع تحويل فورييه ). يُعد تحويل هيلبرت مهمًا في معالجة الإشارات، حيث يُمثِّل مُركِّبًا من التمثيل التحليلي للإشارة الحقيقية u ( t ) . وقد قدّم ديفيد هيلبرت تحويل هيلبرت لأول مرة في هذا السياق، لحل حالة خاصة من مسألة ريمان-هيلبرت للدوال التحليلية.

يمكن اعتبار تحويل هيلبرت للدالة u بمثابة التفاف u ( t ) مع الدالة h ( t ) = 1 / πt ، والمعروفة باسم نواة كوشي . ولأن 1/ t غير قابلة للتكامل عند t = 0 ، فإن التكامل الذي يُعرّف الالتفاف لا يتقارب دائمًا. بدلًا من ذلك، يُعرّف تحويل هيلبرت باستخدام القيمة الرئيسية لكوشي (المُشار إليها هنا بـ pv ). وبشكلٍ صريح، يُعطى تحويل هيلبرت للدالة (أو الإشارة) u ( t ) بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }}\,\operatorname {pv} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,\mathrm {d} \tau ,}$$

بشرط وجود هذا التكامل كقيمة رئيسية. وهو تحديدًا التفاف u مع التوزيع المعتدل p.v. ⁠ 1 / π t ⁠ . ^{[ 1 ]} بدلاً من ذلك، بتغيير المتغيرات، يمكن كتابة تكامل القيمة الرئيسية بشكل صريح ^{[ 2 ]} على النحو التالي

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\,\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau .}$$

عند تطبيق تحويل هيلبرت مرتين متتاليتين على دالة u ، تكون النتيجة هي

$${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(t)=-u(t),}$$

بشرط أن تتقارب التكاملات التي تحدد كلا التكرارين بطريقة مناسبة. وعلى وجه الخصوص، فإن التحويل العكسي هو ${\displaystyle -\operatorname {H} }$. يمكن رؤية هذه الحقيقة بسهولة من خلال النظر في تأثير تحويل هيلبرت على تحويل فورييه لـ u ( t ) (انظر §  العلاقة مع تحويل فورييه أدناه).

بالنسبة للدالة التحليلية في النصف العلوي من المستوى المركب ، يصف تحويل هيلبرت العلاقة بين الجزء الحقيقي والجزء التخيلي للقيم الحدية. أي، إذا كانت f ( z ) دالة تحليلية في النصف العلوي من المستوى المركب { z  : Im{ z } > 0} ، و u ( t ) = Re{ f ( t + 0· i )} ، فإن Im{ f ( t + 0· i )} = H( u )( t ) حتى ثابت جمعي، بشرط وجود تحويل هيلبرت هذا.

ظهر تحويل هيلبرت في عمل هيلبرت عام 1905 حول مسألة طرحها ريمان تتعلق بالدوال التحليلية، ^{[ 6 ] [ 7 ]} والتي عُرفت فيما بعد بمسألة ريمان-هيلبرت . انصبّ اهتمام هيلبرت بشكل أساسي على تحويل هيلبرت للدوال المعرفة على الدائرة. ^{[ 8 ] [ 9 ]} يعود بعض أعماله السابقة المتعلقة بتحويل هيلبرت المتقطع إلى محاضرات ألقاها في غوتينغن . نُشرت النتائج لاحقًا بواسطة هيرمان فايل في أطروحته. ^{[ 10 ]} حسّن شور نتائج هيلبرت حول تحويل هيلبرت المتقطع ووسّعها لتشمل الحالة التكاملية. ^{[ 11 ]} اقتصرت هذه النتائج على الفضاءين L² وℓ² ^. في عام 1928، ^أثبت مارسيل ريس إمكانية تعريف تحويل هيلبرت للدالة u في${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$( فضاء L ^p ) لـ 1 < p < ∞ ، أن تحويل هيلبرت هو مؤثر محدود على${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$لـ 1 < p < ∞ ، وأن نتائج مماثلة تنطبق على تحويل هيلبرت على الدائرة وكذلك تحويل هيلبرت المتقطع. ^{[ 12 ]} كان تحويل هيلبرت مثالًا محفزًا لأنطوني زيغموند وألبرتو كالديرون خلال دراستهما للتكاملات الشاذة . ^{[ 13 ]} لعبت أبحاثهما دورًا أساسيًا في التحليل التوافقي الحديث. ولا تزال تعميمات مختلفة لتحويل هيلبرت، مثل تحويلات هيلبرت الثنائية والثلاثية، مجالات بحث نشطة حتى اليوم.

تحويل هيلبرت هو عامل ضرب . ^{[ 14 ]} عامل ضرب H هو σH ( _ω ) = −i sgn ( ω ) ، حيث sgn هي دالة الإشارة . لذلك:

$${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(\omega )=-i\operatorname {sgn}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),}$$

أين${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يرمز إلى تحويل فورييه . بما أن sgn( x ) = sgn( 2πx ) ، فإن هذه النتيجة تنطبق على التعريفات الثلاثة الشائعة لـ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

بحسب صيغة أويلر ، $${\displaystyle \sigma _{\operatorname {H} }(\omega )={\begin{cases}~~i=e^{+i\pi /2}&{\text{إذا كان }}\omega <0\\~~0&{\text{إذا كان }}\omega =0\\-i=e^{-i\pi /2}&{\text{إذا كان }}\omega >0\end{cases}}}$$

لذلك، فإن H( u )( t ) له تأثير في إزاحة طور مكونات التردد السالبة لـ u ( t ) بمقدار +90° ( π / 2  راديان) وطور مكونات التردد الموجبة بمقدار -90°، و i ·H( u )( t ) له تأثير في استعادة مكونات التردد الموجبة مع إزاحة مكونات التردد السالبة بمقدار +90° إضافية، مما يؤدي إلى نفيها (أي الضرب في -1).

عند تطبيق تحويل هيلبرت مرتين، تتغير طور مكونات التردد السالبة والموجبة للإشارة u ( t ) بمقدار +180° و-180° على التوالي، وهما مقداران متساويان. وبالتالي، تُعكس الإشارة؛ أي أن H(H( u )) = -u ، لأن

$${\displaystyle \left(\sigma _{\operatorname {H} }(\omega )\right)^{2}=e^{\pm i\pi }=-1\quad {\text{لـ }}\omega \neq 0.}$$

في الجدول التالي، معلمة التردد${\displaystyle \omega }$حقيقي.

إشارة${\displaystyle u(t)}$	تحويل هيلبرت [ fn 1 ]${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)}$
${\displaystyle \sin(\omega t+\varphi )}$[ fn 2 ]	${\displaystyle {\begin{array}{lll}\sin \left(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)=-\cos \left(\omega t+\varphi \right),\quad \omega >0\\\sin \left(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(\omega t+\varphi \right),\quad \omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle \cos(\omega t+\varphi )}$[ fn 2 ]	$\begin{array}{lll}\cos \left(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)=\sin \left(\omega t+\varphi \right),\quad \omega >0\\\cos \left(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}\right)=-\sin \left(\omega t+\varphi \right),\quad \omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle e^{i\omega t}}$	${\displaystyle {\begin{array}{lll}e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega >0\\e^{i\left(\omega t+{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle e^{-i\omega t}}$	${\displaystyle {\begin{array}{lll}e^{-i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega >0\\e^{-i\left(\omega t+{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega <0\end{array}}}$
${\displaystyle 1 \over t^{2}+1}$	${\displaystyle t \over t^{2}+1}$
${\displaystyle e^{-t^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi \,}}}F(t)}$(انظر دالة داوسون )
دالة سينك${\displaystyle \sin(t) \over t}$	${\displaystyle 1-\cos(t) \over t}$
دالة ديراك دلتا${\displaystyle \delta (t)}$	${\displaystyle {1 \over \pi t}}$
الدالة المميزة${\displaystyle \chi _{[a,b]}(t)}$	${\displaystyle {{\frac {1}{\,\pi \,}}\ln \left\vert {\frac {t-a}{t-b}}\right\vert }}$

ملحوظات

يتوفر جدول شامل لتحويلات هيلبرت. ^{[ 15 ]} لاحظ أن تحويل هيلبرت للثابت يساوي صفرًا.

ليس من الواضح على الإطلاق أن تحويل هيلبرت مُعرَّف جيدًا، إذ يجب أن يتقارب التكامل غير المحدود الذي يُعرِّفه بطريقة مناسبة. ومع ذلك، فإن تحويل هيلبرت مُعرَّف جيدًا لفئة واسعة من الدوال، وتحديدًا تلك الموجودة في${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$لـ 1 < p < ∞ .

بتعبير أدق، إذا كان u في${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$بالنسبة لـ 1 < p < ∞ ، فإن النهاية التي تحدد التكامل غير المحدود

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,d\tau }$$

توجد هذه الدالة لكل قيمة تقريبًا لـ t . كما أن دالة النهاية موجودة أيضًا في${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$وهي في الواقع النهاية في المتوسط ​​للتكامل غير المحدود أيضًا. أي،

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau \to \operatorname {H} (u)(t)}$$

عندما ε → 0 في معيار L ^p ، وكذلك نقطيًا تقريبًا في كل مكان، وفقًا لنظرية تيتشمارش . ^{[ 16 ]}

في حالة p = 1 ، يظل تحويل هيلبرت متقاربًا نقطيًا في كل مكان تقريبًا، ولكنه قد لا يكون قابلًا للتكامل، حتى محليًا. ^{[ 17 ]} على وجه الخصوص، لا يحدث التقارب في المتوسط ​​عمومًا في هذه الحالة. مع ذلك، يتقارب تحويل هيلبرت لدالة L1 في ^L1- ضعيف ، ^ويُعد تحويل هيلبرت مؤثرًا محدودًا من L1 إلى ^{L1 ,w} . ^{[ 18 ]} (على وجه الخصوص ، بما أن تحويل هيلبرت هو أيضًا مؤثر ضرب على L2 ^، فإن استيفاء مارسينكيويتش وحجة الازدواجية يقدمان برهانًا بديلًا على أن H محدود على Lp ⁾ .

يمكن فهم تحويل هيلبرت من خلال زوج من الدوال f ( x ) و g ( x ) بحيث تكون الدالة $${\displaystyle F(x)=f(x)+i\,g(x)}$$ هي القيمة الحدية لدالة تحليلية F ( z ) في النصف العلوي من المستوى المركب. ^{[ 32 ]} في ظل هذه الظروف، إذا كانت f و g قابلتين للتكامل بدرجة كافية، فإن إحداهما هي تحويل هيلبرت للأخرى.

لنفترض أن${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ).}$ثم، وفقًا لنظرية تكامل بواسون ، تقبل الدالة f امتدادًا توافقيًا فريدًا إلى النصف العلوي من المستوى، ويُعطى هذا الامتداد بواسطة

$${\displaystyle u(x+iy)=u(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {y}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\;\mathrm {d} s}$$

وهي عملية التفاف الدالة f مع نواة بواسون

$${\displaystyle P(x,y)={\frac {y}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}}$$

علاوة على ذلك، توجد دالة توافقية فريدة v معرفة في النصف العلوي من المستوى بحيث تكون F ( z ) = u ( z ) + iv ( z ) دالة تامة الشكل و $${\displaystyle \lim _{y\to \infty }v\,(x+i\,y)=0}$$

تُستخلص هذه الدالة التوافقية من f عن طريق إجراء عملية التفاف مع نواة بواسون المترافقة.

$${\displaystyle Q(x,y)={\frac {x}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}.}$$

هكذا $${\displaystyle v(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {x-s}{\,(x-s)^{2}+y^{2}\,}}\;\mathrm {d} s.}$$

في الواقع، الأجزاء الحقيقية والخيالية لنواة كوشي هي $${\displaystyle {\frac {i}{\pi \,z}}=P(x,y)+i\,Q(x,y)}$$

بحيث يكون F = u + iv هولومورفي حسب صيغة كوشي التكاملية .

تُسمى الدالة v المُستنتجة من u بهذه الطريقة بالدالة التوافقية المرافقة لـ u . وتُعرف النهاية الحدية (غير المماسية) للدالة v ( x , y ) عندما y → 0 بتحويل هيلبرت للدالة f . وبالتالي، باختصار، $${\displaystyle \operatorname {H} (f)=\lim _{y\to 0}Q(-,y)\star f}$$

بالنسبة للدالة الدورية f، يُعرَّف تحويل هيلبرت الدائري على النحو التالي:

$${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{0}^{2\pi }f(t)\,\cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)\,\mathrm {d} t}$$

يُستخدم تحويل هيلبرت الدائري في توصيف فضاء هاردي وفي دراسة الدالة المرافقة في متسلسلات فورييه . النواة، $${\displaystyle \cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)}$$ يُعرف باسم نواة هيلبرت لأنه في هذا الشكل تمت دراسة تحويل هيلبرت في الأصل. ^{[ 8 ]}

يمكن الحصول على نواة هيلبرت (لتحويل هيلبرت الدائري) بجعل نواة كوشي دورية 1 / x . وبشكل أدق، عندما x ≠ 0

$${\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}\cot \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+2n\pi }}+{\frac {1}{\,x-2n\pi \,}}\right)}$$

يمكن استخلاص العديد من النتائج المتعلقة بتحويل هيلبرت الدائري من النتائج المقابلة لتحويل هيلبرت من هذه المطابقة.

ثمة اتصال آخر أكثر مباشرة يوفره تحويل كايلي C ( x ) = ( x – i ) / ( x + i ) ، الذي ينقل خط الأعداد الحقيقية إلى الدائرة والنصف العلوي من المستوى إلى قرص الوحدة . وهو يُنشئ خريطة وحدوية.

$${\displaystyle U\,f(x)={\frac {1}{(x+i)\,{\sqrt {\pi }}}}\,f\left(C\left(x\right)\right)}$$

من L ² ( T ) على${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}$ينقل المؤثر U فضاء هاردي H ² ( T ) إلى فضاء هاردي${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$[ ^{39 ]​}

بالنسبة للدالة المنفصلة،${\displaystyle u[n],}$باستخدام تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT)،${\displaystyle U(\omega )}$وتحويل هيلبرت المنفصل${\displaystyle {\widehat {u}}[n],}$تحويل فورييه المنفصل لـ${\displaystyle {\widehat {u}}[n]}$في المنطقة - π < ω < π تعطى بواسطة :

${\displaystyle \operatorname {DTFT} ({\widehat {u}})=U(\omega )\cdot (-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )).}$

إن التحويل العكسي لـ DTFT، باستخدام نظرية الالتفاف ، هو : ^{[ 46 ] [ 47 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {u}}[n]&={\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(U(\omega ))\ *\ {\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\\&=u[n]\ *\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \\&=u[n]\ *\ \underbrace {{\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\pi }^{0}i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega -\int _{0}^{\pi }i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \right]} _{h[n]},\end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle h[n]\ \triangleq \ {\begin{cases}0,&{\text{if }}n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}}&{\text{if }}n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

وهو استجابة نبضية لا نهائية (IIR).

الاعتبارات العملية ^{[ 48 ]}

الطريقة الأولى: الالتفاف المباشر للتدفق${\displaystyle u[n]}$البيانات مع تقريب FIR لـ${\displaystyle h[n],}$والتي سنحددها بواسطة${\displaystyle {\tilde {h}}[n].}$ أمثلة على النصوص المبتورة${\displaystyle h[n]}$يوضح الشكلان 1 و2 النتائج. الشكل 1 له عدد فردي من المعاملات غير المتناظرة ويُسمى النوع  الثالث. ^{[ 49 ]} يتميز هذا النوع بطبيعته باستجابات ذات سعة صفرية عند الترددين 0 وNyquist، مما ينتج عنه شكل مرشح تمرير نطاقي. ^{[ 50 ] [ 51 ]} أما الشكل 2  فيوضح تصميمًا من النوع الرابع (عدد زوجي من المعاملات غير المتناظرة) . ^{[ 52 ] [ 53 ]} وله استجابة ترددية عالية التمرير. ^{[ 54 ]} يُعد النوع الثالث هو الخيار المعتاد. ^{[ 55 ] [ 56 ]} للأسباب التالية :

• نموذجي (أي تمت تصفيته وأخذ عينات منه بشكل صحيح)${\displaystyle u[n]}$لا يحتوي التسلسل على مكونات مفيدة عند تردد نايكويست.
•  يتطلب استجابة النبض من النوع الرابع${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$انزياح العينة في${\displaystyle h[n]}$يؤدي هذا التسلسل إلى تحويل المعاملات ذات القيمة الصفرية إلى معاملات غير صفرية، كما هو موضح في الشكل  2. لذا، فإن تصميم النوع  الثالث قد يكون أكثر كفاءة بمرتين من تصميم النوع  الرابع.
• يمثل تأخير المجموعة في  تصميم من النوع الثالث عددًا صحيحًا من العينات، مما يسهل عملية المحاذاة.${\displaystyle {\widehat {u}}[n]}$مع${\displaystyle u[n]}$لإنشاء إشارة تحليلية . يكون تأخير المجموعة من النوع  الرابع في منتصف المسافة بين عينتين.

الانقطاع المفاجئ لـ${\displaystyle h[n]}$يُحدث ذلك تموجًا (تأثير جيبس) في استجابة التردد المسطحة. ويمكن التخفيف من ذلك باستخدام دالة نافذة للتضييق التدريجي.${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$إلى الصفر. ^{[ 57 ]}

الطريقة الثانية: الالتفاف القطعي. من المعروف أن الالتفاف المباشر أكثر استهلاكًا للموارد الحاسوبية من طرق أخرى مثل التداخل والحفظ، التي تتيح الاستفادة من كفاءة تحويل فورييه السريع عبر نظرية الالتفاف. ^{[ 58 ]} تحديدًا، تحويل فورييه المنفصل (DFT) لقطعة من${\displaystyle u[n]}$يتم ضربها نقطيًا بتحويل فورييه المنفصل لـ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$التسلسل. يتم إجراء تحويل فورييه المنفصل العكسي على الناتج، ويتم تجاهل التشوهات العابرة عند الحافتين الأمامية والخلفية للقطعة. تمنع القطع المدخلة المتداخلة حدوث فجوات في دفق الإخراج. وصف مكافئ في المجال الزمني هو أن القطع ذات الطول${\displaystyle N}$(معامل عشوائي) يتم دمجه مع الدالة الدورية :

${\displaystyle {\tilde {h}}_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\tilde {h}}[n-mN].}$

عندما تكون مدة القيم غير الصفرية لـ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$يكون${\displaystyle M<N,}$يتضمن تسلسل الإخراج${\displaystyle N-M+1}$عينات من${\displaystyle {\widehat {u}}.}$ ${\displaystyle M-1}$يتم تجاهل المخرجات من كل كتلة من${\displaystyle N,}$وتتداخل كتل الإدخال بهذا المقدار لمنع وجود فجوات.

الطريقة الثالثة: مماثلة للطريقة الثانية، باستثناء تحويل فورييه المنفصل (DFT) لـ${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$يتم استبدالها بعينات من${\displaystyle -i\operatorname {sgn} (\omega )}$التوزيع (الذي تكون مكوناته الحقيقية والخيالية كلها مجرد${\displaystyle 0}$أو ${\displaystyle \pm 1.}$) هذا يعقد${\displaystyle u[n]}$مع الجمع الدوري : ^{[ أ ]}

${\displaystyle h_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN],}$   ^{[ ب ] [ ج ]}

بالنسبة لبعض المعاملات العشوائية،${\displaystyle N.}$${\displaystyle h[n]}$ليست هذه مرشح استجابة نبضية محدودة (FIR)، لذا تمتد تأثيرات الحواف عبر كامل نطاق التحويل. ويُعدّ تحديد ما يجب حذفه ومقدار التداخل المقابل مسألة تصميم تعتمد على التطبيق.

يوضح الشكل 3 الفرق بين الطريقتين 2 و3. يظهر نصف استجابة النبضة غير المتناظرة فقط، والمعاملات غير الصفرية فقط. يمثل الرسم البياني الأزرق الطريقة 2 حيث${\displaystyle h[n]}$يتم اقتطاع الإشارة باستخدام دالة نافذة مستطيلة، بدلاً من تضييقها. يتم توليدها بواسطة دالة Matlab، hilb(65) . تأثيراتها العابرة معروفة بدقة ويمكن تجاهلها بسهولة. استجابة التردد، التي تحددها وسيطة الدالة، هي مسألة التصميم الوحيدة التي تعتمد على التطبيق.

الرسم البياني الأحمر هو${\displaystyle h_{512}[n],}$وهو ما يتوافق مع الطريقة 3. وهو التحويل العكسي لـ DFT لـ${\displaystyle -i\operatorname {sgn} (\omega )}$التوزيع. تحديدًا، هي الدالة التي يتم دمجها مع جزء من${\displaystyle u[n]}$باستخدام دالة MATLAB ، hilbert(u,512) . ^{[ 61 ]} الجزء الحقيقي من متتالية الخرج هو متتالية الإدخال الأصلية، وبالتالي فإن الخرج المركب هو تمثيل تحليلي لـ${\displaystyle u[n].}$

عندما يكون المدخل عبارة عن جزء من دالة جيب التمام الصرفة، فإن عملية الالتفاف الناتجة لقيمتين مختلفتين من${\displaystyle N}$يُوضح الشكل 4 (الرسمان الأحمر والأزرق) ذلك. وتمنع تأثيرات الحواف النتيجة من أن تكون دالة جيبية خالصة (الرسم الأخضر).${\displaystyle h_{N}[n]}$ليست متتالية FIR، فالنطاق النظري للتأثيرات هو متتالية الإخراج بأكملها. لكن الاختلافات عن دالة الجيب تتضاءل مع المسافة من الحواف. المعامل${\displaystyle N}$يمثل طول تسلسل الإخراج. إذا تجاوز طوله طول تسلسل الإدخال، يتم تعديل الإدخال بإضافة عناصر قيمتها صفر. في معظم الحالات، يقلل ذلك من حجم تشوهات الحواف. لكن مدتها تتأثر بشكل كبير بأوقات الصعود والهبوط المتأصلة في${\displaystyle h[n]}$استجابة النبضة.

الشكل 5 مثال على الالتفاف القطعي، باستخدام الطريقتين 2 (باللون الأزرق) و3 (النقاط الحمراء). يتم إنشاء دالة جيبية بحساب تحويل هيلبرت المنفصل لدالة جيب التمام، والتي تمت معالجتها في أربعة أجزاء متداخلة، ثم تجميعها معًا. وكما توضح نتيجة FIR (باللون الأزرق)، فإن التشوهات الظاهرة في نتيجة IIR (باللون الأحمر) لا تنتج عن الفرق بين${\displaystyle h[n]}$و${\displaystyle h_{N}[n]}$(الأخضر والأحمر في الشكل 3 ). حقيقة أن${\displaystyle h_{N}[n]}$إنّ عبارة "مُقَصَّر" (أو " مُنَظَّر ") مفيدة في هذا السياق. المشكلة الحقيقية هي أنها ليست مُنَظَّرة بما فيه الكفاية. في الواقع،${\displaystyle M=N,}$بينما تحتاج طريقة الحفظ بالتداخل إلى${\displaystyle M<N.}$

يُعدّ تحويل هيلبرت في نظرية الأعداد امتدادًا ^{[ 62 ]} لتحويل هيلبرت المتقطع إلى الأعداد الصحيحة بتردد عدد أولي مناسب. وهو بذلك يتبع تعميم تحويل فورييه المتقطع إلى تحويلات نظرية الأعداد. ويمكن استخدام تحويل هيلبرت في نظرية الأعداد لتوليد مجموعات من المتتابعات المتعامدة المتقطعة. ^{[ 63 ]}

• إشارة تحليلية
• المرافق التوافقي
• مطيافية هيلبرت
• تحويل هيلبرت في المستوى المركب
• تحويل هيلبرت-هوانغ
• علاقات كرامرز-كرونيغ
• تحويل ريز
• تعديل النطاق الجانبي الأحادي
• عوامل التكامل المفردة من نوع الالتفاف
• تحوّل ستيلتجس

• اشتقاق محدودية تحويل هيلبرت
• تحويل هيلبرت من ماث وورلد — يحتوي على جدول بالتحويلات
• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية تيتشمارش" . عالم الرياضيات .
• "محاضرة GS256 رقم 3: تحويل هيلبرت" (ملف PDF) . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 27-02-2012.مقدمة تمهيدية لتحويل هيلبرت.