تحويل فورييه المنفصل زمنيًا

في الرياضيات ، يعد تحويل فورييه المنفصل ( DTFT ) شكلاً من أشكال تحليل فورييه الذي ينطبق على سلسلة من القيم المنفصلة.

يُستخدم تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT) غالبًا لتحليل عينات من دالة متصلة . يشير مصطلح "الزمن المنفصل" إلى أن التحويل يعمل على بيانات منفصلة، ​​غالبًا عينات بفواصل زمنية محددة. من عينات متباعدة بانتظام، ينتج دالة تردد تمثل مجموعًا دوريًا لتحويل فورييه المتصل للدالة المتصلة الأصلية. بعبارة أبسط، عند إجراء تحويل فورييه المنفصل زمنيًا لعينات متباعدة بانتظام من إشارة متصلة، نحصل على نسخ متكررة (وربما متداخلة) من طيف تردد الإشارة، متباعدة بفواصل زمنية تتوافق مع تردد أخذ العينات. في ظل شروط نظرية معينة، موصوفة في نظرية أخذ العينات ، يمكن استعادة الدالة المتصلة الأصلية تمامًا من تحويل فورييه المنفصل زمنيًا، وبالتالي من العينات المنفصلة الأصلية. يُعد تحويل فورييه المنفصل زمنيًا نفسه دالة تردد متصلة، ولكن يمكن حساب عينات منفصلة منه بسهولة باستخدام تحويل فورييه المنفصل (DFT) (انظر قسم "  أخذ عينات من تحويل فورييه المنفصل زمنيًا" )، وهو الطريقة الأكثر شيوعًا في تحليل فورييه الحديث.

كلا التحويلين قابلان للعكس. يُعيد تحويل فورييه المنفصل المتقطع العكسي بناء تسلسل البيانات الأصلي المأخوذة عينات منه، بينما يُنتج تحويل فورييه المنفصل العكسي مجموعًا دوريًا للتسلسل الأصلي. يُعد تحويل فورييه السريع خوارزمية لحساب دورة واحدة من تحويل فورييه المنفصل، ويُنتج معكوسه دورة واحدة من تحويل فورييه المنفصل العكسي.

يترك${\displaystyle s(t)}$لتكن دالة متصلة في المجال الزمني . نبدأ بتعريف شائع لتحويل فورييه المتصل ، حيث${\displaystyle f}$يمثل التردد بالهرتز و${\displaystyle t}$يمثل الوقت بالثواني:

${\displaystyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt.}$

يمكننا اختزال التكامل إلى مجموع عن طريق أخذ العينات${\displaystyle s(t)}$على فترات من${\displaystyle T}$ثوانٍ (انظر تحويل فورييه §  التكامل العددي لسلسلة من الأزواج المرتبة ). على وجه التحديد، يمكننا استبدال${\displaystyle s(t)}$مع تسلسل منفصل لعيناته،${\displaystyle s(nT)}$، بالنسبة للقيم الصحيحة لـ${\displaystyle n}$واستبدل العنصر التفاضلي${\displaystyle dt}$مع فترة أخذ العينات${\displaystyle T}$وبالتالي، نحصل على صيغة واحدة لتحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT):

${\displaystyle S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi fTn}.}$

تُعدّ متسلسلة فورييه هذه (في التردد) دالة دورية متصلة ، ودوريتها هي تردد أخذ العينات.${\displaystyle 1/T}$الرمز السفلي${\displaystyle 1/T}$وهو ما يميزه عن تحويل فورييه المستمر${\displaystyle S(f)}$ومن صيغة التردد الزاوي لتحويل فورييه المنفصل. ويتم الحصول على هذه الصيغة الأخيرة بتعريف متغير التردد الزاوي.${\displaystyle \omega \triangleq 2\pi fT}$(التي لها وحدات معيارية بالراديان /العينة )، مما يعطينا دالة دورية للتردد الزاوي، مع دورية${\displaystyle 2\pi }$: ^{[ أ ]}

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=S_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i\omega n}.}$

المعادلة 1

تكمن فائدة تحويل فورييه المنفصل المتقطع في صيغة جمع بواسون ، والتي تخبرنا أن الدالة الدورية الممثلة بواسطة متسلسلة فورييه هي مجموع دوري لتحويل فورييه المستمر : ^{[ ب ]}

مجموع بواسون

${\displaystyle S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fTn}\;=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-k/T\right).}$

المعادلة 2

تتركز مكونات المجموع الدوري عند قيم صحيحة (يرمز لها بـ${\displaystyle k}$) بتردد معياري (دورات لكل عينة). التردد العادي/الفيزيائي (دورات في الثانية) هو ناتج${\displaystyle k}$ومعدل أخذ العينات،${\displaystyle f_{s}=1/T.}$ بالنسبة للكبير بما فيه الكفاية${\displaystyle f_{s},}$ال${\displaystyle k=0}$يمكن ملاحظة المصطلح في المنطقة${\displaystyle [-f_{s}/2,f_{s}/2]}$مع تشويه طفيف أو معدوم ( تداخل ) من الحدود الأخرى. يوضح الشكل 1 مثالاً حيث${\displaystyle 1/T}$ليست كبيرة بما يكفي لمنع التشويه.

ونشير أيضًا إلى أن${\displaystyle e^{-i2\pi fTn}}$هو تحويل فورييه لـ${\displaystyle \delta (t-nT).}$لذلك، فإن التعريف البديل لـ DTFT هو : ^{[ أ ]}

${\displaystyle S_{1/T}(f)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)\right\}.}$

المعادلة 3

دالة ديراك المعدلة هي تجريد رياضي يشار إليه أحيانًا باسم أخذ عينات النبضات . ^{[ 3 ]}

تُسمى العملية التي تستعيد تسلسل البيانات المنفصلة من دالة تحويل فورييه المنفصل المتقطع ( DTFT) بتحويل فورييه المنفصل المتقطع العكسي . على سبيل المثال، ينتج عن تحويل فورييه المستمر العكسي لكلا طرفي المعادلة 3 التسلسل على شكل دالة مشط ديراك معدلة .

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot \delta (t-nT)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{S_{1/T}(f)\right\}\ \triangleq \int _{-\infty }^{\infty }S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi ft}df.}$

ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن${\displaystyle S_{1/T}(f)}$إذا كانت دورية، فإن جميع المعلومات الضرورية موجودة ضمن أي فترة زمنية محددة.${\displaystyle 1/T.}$ في كل من المعادلتين 1 و 2 ، عمليات الجمع على${\displaystyle n}$هي متسلسلة فورييه ، بمعاملات${\displaystyle s[n].}$ الصيغ القياسية لمعاملات فورييه هي أيضاً التحويلات العكسية :

${\displaystyle {\begin{aligned}s[n]&=T\int _{\frac {1}{T}}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}1/T{\textrm {)}}}\\\displaystyle &={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }S_{2\pi }(\omega )\cdot e^{i\omega n}d\omega \quad \scriptstyle {{\text{(integral over any interval of length }}2\pi {\textrm {)}}}\end{aligned}}}$

المعادلة 4

عندما يكون تسلسل بيانات الإدخال${\displaystyle s[n]}$يكون${\displaystyle N}$يمكن اختزال المعادلة 2 الدورية حسابيًا إلى تحويل فورييه منفصل (DFT)، وذلك لأن :

• جميع المعلومات المتاحة موجودة في الداخل${\displaystyle N}$عينات.
• ${\displaystyle S_{1/T}(f)}$يتقارب إلى الصفر في كل مكان باستثناء المضاعفات الصحيحة لـ${\displaystyle 1/(NT),}$تُعرف هذه الترددات بالترددات التوافقية . عند هذه الترددات، يتباعد تحويل فورييه المنفصل (DTFT) بمعدلات مختلفة تعتمد على التردد. وتُحدد هذه المعدلات بواسطة تحويل فورييه المنفصل لدورة واحدة من${\displaystyle s[n]}$تسلسل.
• إن تحويل فورييه المنفصل دوري، لذا فإن الحد الأقصى لعدد سعات التوافقيات الفريدة هو${\displaystyle (1/T)/(1/(NT))=N.}$

تحويل فورييه المنفصل لدورة واحدة من${\displaystyle s[n]}$التسلسل هو :

${\displaystyle S[k]\triangleq \underbrace {\sum _{N}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any n-sequence of length N}},\quad k\in \mathbf {Z} .}$

و${\displaystyle s[n]}$يمكن التعبير عنها بدلالة التحويل العكسي، والذي يُشار إليه أحيانًا باسم متسلسلة فورييه المنفصلة (DFS) : ^{[ 1 ] : ص 542}

${\displaystyle s[n]={\frac {1}{N}}\underbrace {\sum _{N}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\text{any k-sequence of length N}},\quad n\in \mathbf {Z} .}$

باستخدام هذه التعريفات، يمكننا توضيح العلاقة بين تحويل فورييه المنفصل المتقطع (DTFT) وتحويل فورييه المنفصل (DFT) :

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{1/T}(f)&\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right]\cdot e^{-i2\pi fnT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\underbrace {\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\cdot e^{-i2\pi fnT}\right]} _{\operatorname {DTFT} \left(e^{i2\pi {\frac {k}{N}}n}\right)}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot {\frac {1}{T}}\sum _{M=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}-{\tfrac {M}{T}}\right)\end{aligned}}}$   ^{[ ج ] [ ب ]}

بسبب${\displaystyle N}$- دورية كلا الدالتين${\displaystyle k,}$يمكن تبسيط ذلك إلى :

${\displaystyle S_{1/T}(f)={\frac {1}{NT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{NT}}\right),}$

والذي يفي بشرط التحويل العكسي :

${\displaystyle {\begin{aligned}s[n]&=T\int _{0}^{\frac {1}{T}}S_{1/T}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\underbrace {\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df} _{{\text{zero for }}k\ \notin \ [0,N-1]}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\int _{0}^{\frac {1}{T}}\delta \left(f-{\tfrac {k}{NT}}\right)e^{i2\pi fnT}df\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{NT}}nT}\\&={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}S[k]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {k}{N}}n}\end{aligned}}}$

عندما يكون تحويل فورييه المنفصل (DTFT) متصلاً، فإن الممارسة الشائعة هي حساب عدد عشوائي من العينات${\displaystyle (N)}$دورة واحدة من الدالة الدورية${\displaystyle S_{1/T}}$: ^{[ 1 ] : ص 557 – 559 و 703 [ 2 ] : ص 76}  

${\displaystyle {\begin{aligned}\underbrace {S_{1/T}\left({\frac {k}{NT}}\right)} _{S_{k}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}\quad \quad k=0,\dots ,N-1\\&=\underbrace {\sum _{N}s_{_{N}}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},} _{\text{DFT}}\quad \scriptstyle {{\text{(sum over any }}n{\text{-sequence of length }}N)}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle s_{_{N}}}$هو مجموع دوري :

${\displaystyle s_{_{N}}[n]\ \triangleq \ \sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN].}$  (انظر متسلسلات فورييه المنفصلة )

ال${\displaystyle s_{_{N}}}$المتتالية هي تحويل فورييه المنفصل العكسي. وبالتالي، فإن أخذ عينات من تحويل فورييه المنفصل يجعل التحويل العكسي دوريًا. مصفوفة من${\displaystyle |S_{k}|^{2}}$تُعرف هذه القيم باسم مخطط الفترة ، والمعامل${\displaystyle N}$يُطلق عليها اسم NFFT في دالة Matlab التي تحمل نفس الاسم. ^{[ 4 ]}

لتقييم دورة واحدة من${\displaystyle s_{_{N}}}$عدديًا، نحتاج إلى طول محدود${\displaystyle s[n]}$التسلسل. على سبيل المثال، قد يتم اقتطاع تسلسل طويل بواسطة دالة نافذة بطول${\displaystyle L}$مما ينتج عنه ثلاث حالات جديرة بالذكر. ولتبسيط الترميز، ضع في اعتبارك ما يلي:${\displaystyle s[n]}$القيم أدناه لتمثيل القيم التي تم تعديلها بواسطة دالة النافذة.

الحالة: تقليل التردد.${\displaystyle L=N\cdot I,}$لبعض الأعداد الصحيحة${\displaystyle I}$(عادةً 6 أو 8)

دورة من${\displaystyle s_{_{N}}}$يختزل إلى مجموع ما يلي:${\displaystyle I}$أجزاء من الطول${\displaystyle N.}$ ثم يُعرف جهاز DFT بأسماء مختلفة، مثل :

• افتراض النافذة FFT ^{[ 5 ]}
• الوزن، التداخل، الإضافة (WOLA) ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ C ] [ D ]}
• نظرية الكثافة الوظيفية متعددة الأطوار ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• بنك مرشحات متعدد الأطوار ^{[ 12 ]}
• [ 13 ]​^​​​

تذكر أن تقليل عدد عينات البيانات في مجال واحد (الزمن أو التردد) ينتج عنه تداخل (يُعرف أحيانًا باسم التداخل ) في المجال الآخر، والعكس صحيح. مقارنةً بـ${\displaystyle L}$DFT بطول n،${\displaystyle s_{_{N}}}$يؤدي الجمع/التداخل إلى تقليل التردد، ^{[ 1 ] : ص 558،} مما يترك فقط عينات DTFT الأقل تأثرًا بالتسرب الطيفي . عادةً ما تكون هذه أولوية عند تنفيذ بنك مرشحات FFT ( مُقسِّم القنوات ). باستخدام دالة نافذة تقليدية بطول${\displaystyle L,}$يُعدّ فقدان التردد الناتج عن التذبذب غير مقبول. لذا، تُنشأ نوافذ متعددة الكتل باستخدام أدوات تصميم مرشحات FIR . ^{[ 14 ] [ 15 ]}  يكون منحنى التردد فيها مسطحًا عند أعلى نقطة، ثم يتناقص بسرعة عند نقطة المنتصف بين عينات DTFT المتبقية. كلما زادت قيمة المعامل${\displaystyle I,}$كلما كان الأداء المحتمل أفضل.

قضية:${\displaystyle L=N+1}$

عندما يكون متناظرًا،${\displaystyle L}$دالة النافذة ذات الطول (${\displaystyle s}$إذا تم اقتطاع دالة (DFT) بمعامل واحد، فإنها تُسمى دورية أو زوجية من حيث تحويل فورييه المنفصل (DFT ). هذه ممارسة شائعة، لكن الاقتطاع يؤثر على تحويل فورييه المنفصل (التسرب الطيفي) بمقدار ضئيل. ومن المهم، على الأقل من الناحية الأكاديمية، تحديد خصائص هذا التأثير.${\displaystyle N}$ينتج عن تحويل فورييه المنفصل ذي الطول n للنافذة المقتطعة عينات ترددية على فترات زمنية قدرها n${\displaystyle 1/N,}$بدلاً من${\displaystyle 1/L.}$ العينات ذات قيم حقيقية، ^{[ 16 ] : ص 52،}  لكن قيمها لا تتطابق تمامًا مع تحويل فورييه المنفصل المتقطع للنافذة المتناظرة. الجمع الدوري،${\displaystyle s_{_{N}},}$بالإضافة إلى${\displaystyle N}$يمكن أيضًا استخدام تحويل فورييه المنفصل بطول n لأخذ عينات من تحويل فورييه المنفصل على فترات زمنية محددة.${\displaystyle 1/N.}$ هذه العينات ذات قيم حقيقية وتتطابق تمامًا مع تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (مثال: File:Sampling the Discrete-time Fourier transform.svg ). لاستخدام النافذة المتناظرة الكاملة للتحليل الطيفي عند${\displaystyle 1/N}$فيما يتعلق بالتباعد، يمكن للمرء أن يجمع بين${\displaystyle n=0}$و${\displaystyle n=N}$يتم أخذ عينات البيانات (بالإضافة، لأن النافذة المتناظرة تعطيها وزناً متساوياً) ثم يتم تطبيق النافذة المتناظرة المقتطعة و${\displaystyle N}$-طول DFT.

الحالة: استيفاء التردد.${\displaystyle L\leq N}$

في هذه الحالة، يتبسط تحويل فورييه المنفصل إلى شكل أكثر ألفة :

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}s[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}.}$

للاستفادة من خوارزمية تحويل فورييه السريع لحساب تحويل فورييه المنفصل، يتم عادةً إجراء عملية الجمع على جميع${\displaystyle N}$الشروط، على الرغم من${\displaystyle N-L}$بعضها أصفار. لذلك، الحالة${\displaystyle L<N}$يُشار إليها غالبًا باسم "الحشو الصفري" .

يزداد التسرب الطيفي مع${\displaystyle L}$يؤدي انخفاض معدل نقل البيانات إلى الإضرار ببعض مؤشرات الأداء المهمة، مثل دقة فصل مكونات التردد المتعددة وكمية الضوضاء التي تقيسها كل عينة من تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT). لكن هذه الأمور لا تهم دائمًا، على سبيل المثال عندما...${\displaystyle s[n]}$المتتالية عبارة عن دالة جيبية (أو ثابتة) خالية من الضوضاء، يتم تشكيلها بواسطة دالة نافذة. ومن الممارسات الشائعة استخدام إضافة أصفار لعرض ومقارنة أنماط التسريب التفصيلية لدوال النافذة بيانياً. ولتوضيح ذلك بالنسبة لنافذة مستطيلة، لننظر إلى المتتالية التالية:

${\displaystyle s[n]=e^{i2\pi {\frac {1}{8}}n},\quad }$و${\displaystyle L=64.}$

الشكلان 2 و3 عبارة عن رسوم بيانية لقيمة تحويلين من نوع DFT مختلفين في الحجم، كما هو موضح في تسمياتهما. في كلتا الحالتين، يكون المكون المهيمن عند تردد الإشارة:${\displaystyle f=1/8=0.125}$كما يظهر في الشكل 2 نمط التسرب الطيفي لـ${\displaystyle L=64}$نافذة مستطيلة. ينتج الوهم البصري في الشكل 3 عن أخذ عينات من تحويل فورييه المنفصل المتقطع (DTFT) عند نقاط تقاطعه مع الصفر فقط. فبدلاً من أن يكون تحويل فورييه المنفصل المتقطع لمتتالية ذات طول محدود، فإنه يوحي بمتتالية جيبية لا نهائية الطول. من العوامل المساهمة في هذا الوهم البصري استخدام نافذة مستطيلة، واختيار تردد (1/8 = 8/64) يحتوي على 8 دورات (عدد صحيح) لكل 64 عينة. يمكن لنافذة هان أن تُنتج نتيجة مماثلة، إلا أن الذروة ستتسع إلى 3 عينات (انظر تحويل فورييه المنفصل المتقطع - نافذة هان الزوجية ).

تنص نظرية الالتفاف للمتتاليات على ما يلي :

${\displaystyle s*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$^{[ 17 ] : ص.297 [ د ]}

تُعدّ عملية الالتفاف الدائري للمتتاليتين s و y، المعرّفة بواسطة، حالة خاصة مهمة.${\displaystyle s_{_{N}}*y,}$أين${\displaystyle s_{_{N}}}$هي عملية جمع دورية. طبيعة التردد المنفصل لـ${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}}$يعني ذلك أن المنتج ذو الوظيفة المستمرة${\displaystyle \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}}$وهي منفصلة أيضاً، مما يؤدي إلى تبسيط كبير للتحويل العكسي :

${\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DTFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DTFT}}\displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s_{_{N}}\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y_{_{N}}\}\right].}$^{[ 18 ] [ 1 ] : ص 548}

بالنسبة لتسلسلات s و y التي تكون مدتها غير الصفرية أقل من أو تساوي N ، يكون التبسيط النهائي كما يلي :

${\displaystyle s_{_{N}}*y\ =\ \scriptstyle {\rm {DFT}}^{-1}\displaystyle \left[\scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{s\}\cdot \scriptstyle {\rm {DFT}}\displaystyle \{y\}\right].}$

يتم شرح أهمية هذه النتيجة في خوارزميات الالتفاف الدائري والالتفاف السريع .

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$هي متسلسلة فورييه يمكن التعبير عنها أيضًا بدلالة تحويل Z الثنائي . أي :

${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=\left.S_{z}(z)\,\right|_{z=e^{i\omega }}=S_{z}(e^{i\omega }),}$

حيث${\displaystyle S_{z}}$تُفرّق هذه الرموز بين تحويل Z وتحويل فورييه. لذلك، يمكننا أيضًا التعبير عن جزء من تحويل Z بدلالة تحويل فورييه .

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{z}(e^{i\omega })&=\ S_{1/T}\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}\right)\ =\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-k/T\right)\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right).\end{aligned}}}$

لاحظ أنه عند تغير المعامل T ، تتغير حدود${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$تبقى مسافة ثابتة${\displaystyle 2\pi }$تتباعد حدود S _{1/ T} ( f ) ويتغير عرضها بالزيادة أو النقصان. أما حدود S 1/ T ( f ) فتبقى بعرض ثابت، بينما يتغير تباعدها 1/ T بالزيادة أو النقصان.

يُبيّن الجدول أدناه بعض أزواج التحويلات الشائعة. وينطبق الترميز التالي :

• ${\displaystyle \omega =2\pi fT}$هو عدد حقيقي يمثل التردد الزاوي المستمر (بالراديان لكل عينة).${\displaystyle f}$بوحدة دورات/ثانية، و${\displaystyle T}$(بالثواني/العينة). في جميع الحالات المذكورة في الجدول، يكون تحويل فورييه المنفصل دوريًا بمقدار 2π (في${\displaystyle \omega }$).
• ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$يشير إلى دالة معرفة على${\displaystyle -\infty <\omega <\infty }$.
• ${\displaystyle S_{o}(\omega )}$يشير إلى دالة معرفة على${\displaystyle -\pi <\omega \leq \pi }$وصفر في أي مكان آخر. ثم:$${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S_{o}(\omega -2\pi k).}$$
• ${\displaystyle \delta (\omega )}$دالة ديراك دلتا
• ${\displaystyle \operatorname {sinc} (t)}$هي دالة sinc المعيارية
• ${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n \over L}\right]\triangleq {\begin{cases}1&|n|\leq L/2\\0&|n|>L/2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tri} (t)}$هي دالة المثلث
• يمثل n عددًا صحيحًا يمثل مجال الزمن المتقطع (بالعينات).
• ${\displaystyle u[n]}$هي دالة الخطوة الوحدية للزمن المتقطع
• ${\displaystyle \delta [n]}$دلتا كرونيكر${\displaystyle \delta _{n,0}}$

المجال الزمني s [ n ]	مجال التردد S 2 π ( ω )	ملاحظات	مرجع
${\displaystyle \delta [n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=1}$		[ 17 ] : ص 305
${\displaystyle \delta [n-M]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=e^{-i\omega M}}$	عدد صحيح${\displaystyle M}$
${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }\delta [n-Mm]\!}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega Mm}={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$ ${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-(M-1)/2}^{(M-1)/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$  م فردي${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {2\pi }{M}}\sum _{k=-M/2+1}^{M/2}\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{M}}\right)\,}$  حتى م	عدد صحيح${\displaystyle M>0}$
${\displaystyle u[n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$ ${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {1}{1-e^{-i\omega }}}+\pi \cdot \delta (\omega )\!}$	ال${\displaystyle 1/(1-e^{-i\omega })}$يجب تفسير المصطلح على أنه توزيع بمعنى القيمة الرئيسية لكوشي حول قطبيه عند${\displaystyle \omega =2\pi k}$.
${\displaystyle a^{n}u[n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )={\frac {1}{1-ae^{-i\omega }}}\!}$	${\displaystyle 0<|a|<1}$	[ 17 ] : ص 305
${\displaystyle e^{-ian}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=2\pi \cdot \delta (\omega +a),}$  -π < a < π ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )=2\pi \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega +a-2\pi k)}$	عدد حقيقي${\displaystyle a}$
${\displaystyle \cos(a\cdot n)}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=\pi \left[\delta \left(\omega -a\right)+\delta \left(\omega +a\right)\right],}$ ${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S_{o}(\omega -2\pi k)}$	عدد حقيقي${\displaystyle a}$مع${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \sin(a\cdot n)}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {\pi }{i}}\left[\delta \left(\omega -a\right)-\delta \left(\omega +a\right)\right]}$	عدد حقيقي${\displaystyle a}$مع${\displaystyle -\pi <a<\pi }$
${\displaystyle \operatorname {rect} \left[{n-M \over N}\right]\equiv \operatorname {rect} \left[{n-M \over N-1}\right]}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\sin(N\omega /2) \over \sin(\omega /2)}\,e^{-i\omega M}\!}$	عدد صحيح${\displaystyle M,}$وعدد صحيح فردي${\displaystyle N}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} (W(n+a))}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {rect} \left({\omega \over 2\pi W}\right)e^{ia\omega }}$	أرقام حقيقية${\displaystyle W,a}$مع${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}(Wn)\,}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {1}{W}}\operatorname {tri} \left({\omega \over 2\pi W}\right)}$	عدد حقيقي${\displaystyle W}$،${\displaystyle 0<W<0.5}$
${\displaystyle {\begin{cases}0&n=0\\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\text{elsewhere}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=j\omega }$	يعمل كمرشح تفاضلي
${\displaystyle {\frac {1}{(n+a)}}\left\{\cos[\pi W(n+a)]-\operatorname {sinc} [W(n+a)]\right\}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\frac {j\omega }{W}}\cdot \operatorname {rect} \left({\omega \over \pi W}\right)e^{ja\omega }}$	أرقام حقيقية${\displaystyle W,a}$مع${\displaystyle 0<W<1}$
${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}&n=0\\{\frac {(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}}&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=|\omega |}$
${\displaystyle {\begin{cases}0;&n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}};&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )={\begin{cases}j&\omega <0\\0&\omega =0\\-j&\omega >0\end{cases}}}$	تحويل هيلبرت
${\displaystyle {\frac {C(A+B)}{2\pi }}\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A-B}{2\pi }}n\right]\cdot \operatorname {sinc} \left[{\frac {A+B}{2\pi }}n\right]}$	${\displaystyle S_{o}(\omega )=}$	أرقام حقيقية${\displaystyle A,B}$ معقد${\displaystyle C}$

يوضح هذا الجدول بعض العمليات الرياضية في المجال الزمني والتأثيرات المقابلة لها في مجال التردد.

• ${\displaystyle *\!}$هي عملية الالتفاف المنفصلة لمتتاليتين
• ${\displaystyle s^{*}[n]}$هو المرافق المعقد لـ${\displaystyle s[n].}$

ملكية	المجال الزمني s [ n ]	مجال التردد${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )}$	ملاحظات	مرجع
الخطية	${\displaystyle a\cdot s[n]+b\cdot y[n]}$	${\displaystyle a\cdot S_{2\pi }(\omega )+b\cdot Y_{2\pi }(\omega )}$	الأعداد المركبة${\displaystyle a,b}$	[ 17 ] : ص 294
انعكاس الزمن / انعكاس التردد	${\displaystyle s[-n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(-\omega )\!}$		[ 17 ] : ص 297
الاقتران الزمني	${\displaystyle s^{*}[n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }^{*}(-\omega )\!}$		[ 17 ] : ص 291
عكس الزمن والاقتران	${\displaystyle s^{*}[-n]}$	${\displaystyle S_{2\pi }^{*}(\omega )\!}$		[ 17 ] : ص 291
جزء حقيقي في الوقت	${\displaystyle \operatorname {Re} {(s[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(S_{2\pi }(\omega )+S_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[ 17 ] : ص 291
جزء خيالي في الزمن	${\displaystyle \operatorname {Im} {(s[n])}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(S_{2\pi }(\omega )-S_{2\pi }^{*}(-\omega ))}$		[ 17 ] : ص 291
الجزء الحقيقي في التردد	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(s[n]+s^{*}[-n])}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(S_{2\pi }(\omega ))}}$		[ 17 ] : ص 291
الجزء التخيلي في التردد	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(s[n]-s^{*}[-n])}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(S_{2\pi }(\omega ))}}$		[ 17 ] : ص 291
تغير في التوقيت / تعديل في التردد	${\displaystyle s[n-k]}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\cdot e^{-i\omega k}}$	عدد صحيح k	[ 17 ] : ص 296
تغير في التردد / تعديل في الوقت	${\displaystyle s[n]\cdot e^{ian}\!}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega -a)\!}$	عدد حقيقي${\displaystyle a}$	[ 17 ] : ص 300
الإبادة	${\displaystyle s[nM]}$	${\displaystyle {\frac {1}{M}}\sum _{m=0}^{M-1}S_{2\pi }\left({\tfrac {\omega -2\pi m}{M}}\right)\!}$ [ هـ ]	عدد صحيح${\displaystyle M}$
تمدد زمني	${\displaystyle \scriptstyle {\begin{cases}s[n/M]&n={\text{multiple of M}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$	${\displaystyle S_{2\pi }(M\omega )\!}$	عدد صحيح${\displaystyle M}$	[ 1 ] : ص 172
مشتق في التردد	${\displaystyle {\frac {n}{i}}s[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {dS_{2\pi }(\omega )}{d\omega }}\!}$		[ 17 ] : ص 303
التكامل في التردد	${\displaystyle \!}$	${\displaystyle \!}$
التفاضل الزمني	${\displaystyle s[n]-s[n-1]\!}$	${\displaystyle \left(1-e^{-i\omega }\right)S_{2\pi }(\omega )\!}$
التجميع في الزمن	${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{n}s[m]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\left(1-e^{-i\omega }\right)}}S_{2\pi }(\omega )+\pi S(0)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -2\pi k)\!}$
الالتفاف الزمني / الضرب الترددي	${\displaystyle s[n]*y[n]\!}$	${\displaystyle S_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$		[ 17 ] : ص 297
الضرب في الزمن / الالتفاف في التردد	${\displaystyle s[n]\cdot y[n]\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }S_{2\pi }(\nu )\cdot Y_{2\pi }(\omega -\nu )d\nu \!}$	الالتفاف الدوري	[ 17 ] : ص 302
الارتباط المتبادل	${\displaystyle \rho _{sy}[n]=s^{*}[-n]*y[n]\!}$	${\displaystyle R_{sy}(\omega )=S_{2\pi }^{*}(\omega )\cdot Y_{2\pi }(\omega )\!}$
نظرية بارسيفال	${\displaystyle E_{sy}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{s[n]\cdot y^{*}[n]}\!}$	${\displaystyle E_{sy}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{S_{2\pi }(\omega )\cdot Y_{2\pi }^{*}(\omega )d\omega }\!}$		[ 17 ] : ص 302

• تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى
• التحويل متعدد الأبعاد
• زاك ترانسفورم